波利亚解题理论的主要内容

波利亚的怎样解题表

陕西师范大学 罗增儒 罗新兵

１乔治·波利亚

 乔治·波利亚(George Polya，1887～1985)是美籍匈牙利数学家、数学教育家．在解题方面，是数学启发法(指关于发现和发明的方法和规律，亦译为探索法)现代研究的先驱．由于他在数学教育方面取得的成就和对世界数学教育所产生的影响，在他93岁高龄时，还被ＩＣＭＥ（国际数学教育大会）聘为名誉主席．

作为一个数学家，波利亚在函数论、变分法、概率、数论、组合数学、计算和应用数学等众多领域，都做出了开创性的贡献，留下了以“波利亚”命名的定理或术语；他与其他数学家合著的《数学分析中的问题和定理》、《不等式》、《数学物理中的等周问题》、《复变量》等书堪称经典；而以200多篇论文构成的四大卷文集，在未来的许多年里，将是研究生攻读的内容．

作为一个数学教育家，波利亚的主要贡献集中体现在《怎样解题》(1945年)、《数学与似真推理》(1954年)、《数学的发现》(1962年)三部世界名著上，涉及“解题理论”、“解题教学”、“教师培训”三个领域．波利亚对数学解题理论的建设主要是通过“怎样解题”表来实现的，而在尔后的著作中有所发展，也在“解题讲习班”中对教师现身说法．

波利亚的怎样解题表

陕西师范大学 罗增儒 罗新兵

１乔治·波利亚

 乔治·波利亚(George Polya，1887～1985)是美籍匈牙利数学家、数学教育家．在解题方面，是数学启发法(指关于发现和发明的方法和规律，亦译为探索法)现代研究的先驱．由于他在数学教育方面取得的成就和对世界数学教育所产生的影响，在他93岁高龄时，还被ＩＣＭＥ（国际数学教育大会）聘为名誉主席．

作为一个数学家，波利亚在函数论、变分法、概率、数论、组合数学、计算和应用数学等众多领域，都做出了开创性的贡献，留下了以“波利亚”命名的定理或术语；他与其他数学家合著的《数学分析中的问题和定理》、《不等式》、《数学物理中的等周问题》、《复变量》等书堪称经典；而以200多篇论文构成的四大卷文集，在未来的许多年里，将是研究生攻读的内容．

作为一个数学教育家，波利亚的主要贡献集中体现在《怎样解题》(1945年)、《数学与似真推理》(1954年)、《数学的发现》(1962年)三部世界名著上，涉及“解题理论”、“解题教学”、“教师培训”三个领域．波利亚对数学解题理论的建设主要是通过“怎样解题”表来实现的，而在尔后的著作中有所发展，也在“解题讲习班”中对教师现身说法．

波利亚解题心得体会

一道题，自己总也想不出解法，而老师却能给出了一个绝妙的解法，这时你最希望知道的是“老师是怎么想出这个解法的?”如果这个解法不是很难时，“我自己完全可以想出，但为什么我没有想到呢?”

有人听到“数学”就会头痛，为什么又会有人热衷于解题呢？在解答这道或那道不涉及物质利益的题目的愿望背后，也许有着一个更深切的好奇心，一个要求理解解答的各种途径和方法、动机和步骤的愿望，当我们绞尽脑汁想的题突然被我们解答出来，那种心情只有真正经历过的人才懂。不管是我们自己或者我们去帮助别人，我们不仅要尽力去理解这道或那道题目的解答，而且要理解这个解答的动机和步骤，并尽力向别人解释这些动机和步骤。

在老师上课的时候，为什么很多学生能听懂例题却不能独立思考得出问题的答案，总是要等到提示、点拨后才恍然大悟呢？这是因为学生不懂得思考的方法，大多数老师讲题总是“头痛医头，脚痛医脚”，只有实战经验，没有形成方法论。但是学生要的不应该是一道道具体的题目，而是面对任何一道题目时的思维方法。这也就是波利亚要告诉我们的。

波利亚致力于解题的研究，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他专门研究了解题的思维过程，并把研究所得写成《怎样解题》一书。这本

浅谈对波利亚解题思想的认识

美籍匈牙利数学家乔治·波利亚的《怎样解题》一书系统阐述了解题的思维过程,并将其

归纳为四个解题步骤,但是它不仅仅在于告诉我们如何解决具体的数学问题,而且其中蕴含了丰富的数学思维与思想方法。教师要在整个解题过程中渗透波利亚解题思想,经过“两次使用”,降低难度,帮助学生在潜移默化中学会使用波利亚解题思想,从而不断地提高中学生的解题能力。

在数学学习过程中,许多学生解题时常会出现凭主观想象导致思考偏差,考虑不周造成思路受阻等问题。那么,怎样才能有一个好的解题思路呢?

为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题,美籍匈牙利数学家乔治·波利亚专门研究了解题的思维过程,并把研究所得写成了《怎样解题》一书,其核心是一张怎样解题表,把解题的全过程分成了“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”、“回顾”四个步骤,把寻找并发现解法的思维过程分解为5条建议和23个具有启发性的问题。它们好比寻找和发现解法的思维过程的慢动作镜头,使我们对整个思维过程看得见、摸得着,将思路打开,达到“山重水复疑无路,柳暗花明又一村”的结果,以下是笔者对于波利亚解题思想的一些认识以及看法:

笔者认为,波利亚的解题表不仅在于告诉

篇一：童年的主要内容

童年

主要内容：《童年》主要是记述了我随妈妈回到了外公家里。不受欢迎，但是外婆却对我很好，她陪我度过了很多有意义的时光。她教我读书让我学习。后来舅舅们因为怕我的妈妈来抢夺财产而逼走了外公。凶狠的外公因此对外婆发泄，我从而非常恨外公，不听他的话，遭受了很多打骂。但是就在外公为了逃避儿子而到处搬家的同时，我结识了很多人，每个人都给我带来了许多体悟，我也渐渐成长。直到有一天，外公身无分文，只好沿街讨饭。我今后的生活便彻底改变了。后面的就是在人间 了，童年就到此结束了。

精彩片段：外公那干瘦但却匀称的身躯偎依着我，他讲起了自己童年时代的艰苦岁月，他用词很粗鲁，难懂，但他讲的很流畅，有条有理。

他那双绿莹莹的眼睛充满着热情，闪闪发光，金色的茸毛欢乐地竖起来；他那尖尖的嗓音变得又粗又重，对着我的脸吹嘘起来：

“你到这里来坐的是轮船，是蒸汽送你来的，可是我年轻的时候，得靠自己的力气拉纤，在伏尔加河上逆水行船。船在水里走，我赤着脚在岸上拉纤，踩着又尖又利的碎石子，就这样从日出到黑夜，不停地拉呀，拉呀。太阳晒的后脑壳直冒油，脑袋里像烧化的生铁似的，可还得不停地拉，腰弯的头点地，弯的浑身骨头格格响，汗流满面，汗浸的睁不开眼，看不见路，心里直想哭，眼泪

社会文化理论的主要内容 一、调节论

社会文化理论认为，在个人与社会发展过程中，语言起到了不可忽视的调节作用。

（一）维果茨基（1987，转引自Mitchell and Myles，2004）指出，正像人类作用与物质世界一样，人类通过符号工具调节与他人的关系，调节自己的行为。这些符号中，语言是最重要的调节工具，是连接社会和个体的桥梁。

（二）调节论早期主要用于解释儿童心理的发展。从儿童的认知发展过程来看，儿童是在社会环境中和他人交流，学会知识与技能，其中语言是他们的交流工具，起到了调节语言交际和调解人际关系的作用。

1、 儿童认知阶段

客体调控（完全被环境左右）→他人调控（别人协助）→自我调控（能够控制自己的高级认知功能：记忆、注意、高级思维） →人类的高级认知是在参与社会文化活动中通过语言的调节形成的。

对于社会文化理论来说，学习过程也是在语言的调解下实现自我调控的过程。学习者通过第二语言与目的语者交流，参与外部的社会文化活动，不断地将外在的语言形式内化，直到成为自己思维的一部分。

二、最近发展区

（一） 维果茨基认为，儿童发展水平有两个层面：

1、实际发展水平：儿童已经具备的独立解决问题的能力； 2、潜在发展水平

社会文化理论的主要内容 一、调节论

社会文化理论认为，在个人与社会发展过程中，语言起到了不可忽视的调节作用。

（一）维果茨基（1987，转引自Mitchell and Myles，2004）指出，正像人类作用与物质世界一样，人类通过符号工具调节与他人的关系，调节自己的行为。这些符号中，语言是最重要的调节工具，是连接社会和个体的桥梁。

（二）调节论早期主要用于解释儿童心理的发展。从儿童的认知发展过程来看，儿童是在社会环境中和他人交流，学会知识与技能，其中语言是他们的交流工具，起到了调节语言交际和调解人际关系的作用。

1、 儿童认知阶段

客体调控（完全被环境左右）→他人调控（别人协助）→自我调控（能够控制自己的高级认知功能：记忆、注意、高级思维） →人类的高级认知是在参与社会文化活动中通过语言的调节形成的。

对于社会文化理论来说，学习过程也是在语言的调解下实现自我调控的过程。学习者通过第二语言与目的语者交流，参与外部的社会文化活动，不断地将外在的语言形式内化，直到成为自己思维的一部分。

二、最近发展区

（一） 维果茨基认为，儿童发展水平有两个层面：

1、实际发展水平：儿童已经具备的独立解决问题的能力； 2、潜在发展水平

高一生物必修二第七章 编制人： 审核人：

第七章第2节 现代生物进化理论的主要内容 第1课时 【作业点评与激励】：

【学习内容】：1.举例说明种群、基因库、基因频率的概念，学会用数学方法讨论基因

频率的变化。

2.结合教材阐明突变和基因重组是生物进化的原材料。

3.通过探究自然选择对种群基因频率的影响，理解自然选择决定生物进化的方向。

【学习目标】：1.用数学方法讨论基因频率的变化。2.自然选择对生物进化的作用。 【内容解析】：

【课前预习】

一、种群是生物进化的基本单位 1.以种群作为生物进化单位的理由

(1)达尔文认为自然选择直接作用的是生物个体，并且是个体的表现型，而个体表现型会随着个体的死亡而消失。

(2)决定生物性状的基因可以通过生殖而世代延续，并且在群体中扩散，因此生物进化应该研究群体的基因组成的变化。

2.种群的概念：生活在一定区域的同种生物的全部个体叫做种群。它是生物进化的基本单位，彼此之间可以交配，并通过繁殖将各自的基因传给后代。 3.基因库与基因频率

(1)基因库：一个种群中全部个体所含有的全部基因，叫做这个种群的基因库。 (2)基因频率：一个种群

篇一：汤姆索亚历险记主要内容 三篇

汤姆索亚历险记主要内容(一)

19世纪上半叶密西西比河畔的一小镇。汤姆索亚是个调皮的孩子，和哈克贝利费恩是好朋友。有一天晚上他们在墓地，看到印第安乔把鲁滨逊医生医生杀死了，然后又嫁祸于被打昏的波特身上。夏天来临时，法官将对波特的罪行作出判决。汤姆终于战胜了恐惧与自私，指出了印第安乔就是杀人凶手汤姆和贝基在野餐时走进了一个山洞，被困在里面，他们再一次遇见了印第安乔。村民救出汤姆和贝基之后封死了山洞。印第安乔死在山洞了。汤姆和哈克再次回到山洞里，找到了印第安乔的宝藏。

汤姆索亚历险记主要内容(二)

汤姆索亚和哈克发现了一个惊天的秘密——印第安人乔、医生和波特去盗墓，乔打晕了波特，并从他身上取下一把刀杀死了医生，拿走了宝藏。乔把刀放到波特手里，等他醒来，乔告诉波特是他杀死了医生，警察把波特抓了起来。在法庭上，汤姆索亚为波特做证，把他救了出来。后来，在主日学校组织去山洞聚餐时，贝琪和汤姆不幸迷路，看到了印第安人乔，他们觉得乔肯定把宝藏藏在了山洞里。于是，汤姆就和哈克一起把宝藏挖了出来，并平分了宝藏。

汤姆索亚历险记主要内容(三)

本书讲述的是发生在19世纪上半叶美国密西西比河畔的一个小

第七章《现代生物进化理论》第二节《现代生物进化理论的主要内容》

第1课时 7.2.1《种群基因频率的 改变与生物进化》

(一)种群是生物进化的基本单位1、种群的概念： 种群是生活在一定区域的同种生物的全部 个体。种群是生物繁殖的基本单位。个体间彼 此交配，通过繁殖将自己的基因传递给后代。 生活在这里的 每一种动物、植物 和微生物都构成一 个种群。生物个体 通过繁殖将自己的 基因传递给后代。

(一)种群是生物进化的基本单位2、一个种群中全部个体所含的全部基因叫做 这个种群的基因库，其中每个个体所含的基因 只是基因库的一部分。 这些金鱼各自有 自己的基因，共同构 成了种群的基因库。 它们各自的基因都是 基因库的一部分。个 体间的差异越大，基 因库也就越大。

(一)种群是生物进化的基本单位3、在一个种群基因库中，某个基因占全部等位 基因数的比率叫基因频率。生物进化其实就是 种群基因频率改变的过程。 人类把鲫鱼的后 代培育成金鱼，实质 就是通过选择改变基 因频率。从图中看， 显然红色基因的频率 显著提高了。

基因型频率：在一个种群中，某基 因型个体占全部个体 的比率。

基因频率的计算 某昆虫种群中，绿色翅的基因为A, 褐色翅的基 因位a,调查发现AA、Aa、aa