一条线段的最值问题

浅谈初中数学线段之和最值问题

近年来，在全国各地出现的中考试题的平面几何最值问题中，呈现出变化多、涉及面广、形式灵活的景象，对学生来讲是个难点；如果深入思考，可以发现：这类试题的命制都是立足于教材，解决途径都是运用转化的思想“化折为直”。本文中，笔者根据近几年的中考试题，结合浙教版教材和自己的教学体会，谈谈初中数学中求线段之和最值的求解策略。

1.直接应用定（公）理求最值

平面几何解决最短线路问题时常用的公理(定理)：①两点之间线段最短.②三角形的两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边（②是由①得出）；③直线外一点到直线的所有线段中垂线段最短.

1.1应用两点之间线段最短

教材链接：七上7.3线段的长短作业题： D如图，A、B、C、D表示4个村庄.村民们准备合打一口水井，（1）略（2）你能给出一中使水井到各村庄的距离之和最小的方案吗？若能，请标出水井的位置，并说明理由. A 解题分析：

教材作业题中，因点D与点B、点A与点C是定点，当水井打在AC与BD的交点时，水井到各村庄的距离之和最小，直接利用“两点之间线段最短”的原理。

中考链接：（2009山东潍坊）已知边长为a的正三角形ABC(一象限),两顶点A,B分别在平面直角坐标系的x轴,y轴的

浅谈初中数学线段之和最值问题

近年来，在全国各地出现的中考试题的平面几何最值问题中，呈现出变化多、涉及面广、形式灵活的景象，对学生来讲是个难点；如果深入思考，可以发现：这类试题的命制都是立足于教材，解决途径都是运用转化的思想“化折为直”。本文中，笔者根据近几年的中考试题，结合浙教版教材和自己的教学体会，谈谈初中数学中求线段之和最值的求解策略。

1.直接应用定（公）理求最值

平面几何解决最短线路问题时常用的公理(定理)：①两点之间线段最短.②三角形的两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边（②是由①得出）；③直线外一点到直线的所有线段中垂线段最短. 1.1应用两点之间线段最短 教材链接：七上7.3线段的长短作业题： DC 如图，A、B、C、D表示4个村庄.村民们准备合打一口水井，（1）略（2）你能给出一中使水井到各村庄的距离之和最小的方案吗？若能，请标出水井的位置，并说明理由. A 解题分析： B 教材作业题中，因点D与点B、点A与点C是定点，当水井打在AC与BD的交点时，水井到各村庄的距离之和最小，直接利用“两点之间线段最短”的原理。

中考链接：（2009山东潍坊）已知边长为a的正三角形ABC(一象限),两顶点A,B分别在平面直角坐标系的x

浅谈初中数学线段之和最值问题

近年来，在全国各地出现的中考试题的平面几何最值问题中，呈现出变化多、涉及面广、形式灵活的景象，对学生来讲是个难点；如果深入思考，可以发现：这类试题的命制都是立足于教材，解决途径都是运用转化的思想“化折为直”。本文中，笔者根据近几年的中考试题，结合浙教版教材和自己的教学体会，谈谈初中数学中求线段之和最值的求解策略。

1.直接应用定（公）理求最值

平面几何解决最短线路问题时常用的公理(定理)：①两点之间线段最短.②三角形的两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边（②是由①得出）；③直线外一点到直线的所有线段中垂线段最短.

1.1应用两点之间线段最短

教材链接：七上7.3线段的长短作业题： D如图，A、B、C、D表示4个村庄.村民们准备合打一口水井，（1）略（2）你能给出一中使水井到各村庄的距离之和最小的方案吗？若能，请标出水井的位置，并说明理由. A 解题分析：

教材作业题中，因点D与点B、点A与点C是定点，当水井打在AC与BD的交点时，水井到各村庄的距离之和最小，直接利用“两点之间线段最短”的原理。

中考链接：（2009山东潍坊）已知边长为a的正三角形ABC(一象限),两顶点A,B分别在平面直角坐标系的x轴,y轴的

中考数学压轴题解题策略

几何图形中线段和差最值问题的解题策略

两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如图1）．

三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如图2）．

两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最大值就是第三边的长．如图3，PA与PB的差的最大值就是AB，此时点P在AB的延长线上，即P′．

解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，本讲不涉及函数最值问题．

图1 图2 图3

，?BAC?45°，?BAC的平分线交BC于点1.如图，在锐角△ABC中，AB?42D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM?MN的最小值是___________ ．

C D

P D C A M N M

A N B B （第1题第2题图

2．如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是_____________．

“一师一优课”

《动态最值问题——圆内最值问题》教学设计

西安爱知中学 郭晏铖

【学情分析】

在运动变化中求最值的问题灵活性较强，涉及的知识面较广，对学生思维能力要求较高，经常令学生束手无策。因此如何正确快速的求解成为学生学习中的难点。本节课前,学生已经学习了圆的基本知识,以及点和圆、直线和圆的位置关系。四班的同学在年级中属中等偏上水平，对于基本知识的学习掌握的较快，但缺乏应用的灵活性。与圆有关的最值问题可以变零散的知识为学生整体的认识，变重复枯燥的学习为新奇有趣的探索，在训练学生逻辑思维的同时，还能培养学生的探索能力 【教学方法】

对于圆中求最值问题,学生经常感到无从下手，处理此类题目首先要明确题目中运动的对象，然后就是根据按照题目要求作出运动过程中某一时刻的图象。现在学生普遍欠缺作图能力，因此我在题目的设置上也遵循由易到难的原则，从给出图形到简单作图再到复杂作图，让学生在这个过程中体会作图的重要性。

任何运动变化问题中总隐含着定量和不变关系，这也是解决这类问题的关键。在设计时我也注重设计情境，引导学生自己挖掘题目中的信息，找到这些关键点。从例1中的定量过渡到不变的位置关系再到不变的数量关系，剥茧抽丝，层层递进，从而体会探究的乐趣。

课题： 数列中的最值问题

执 教：宋荷娟

班 级：高三（1）班 教学目标：

1.理解函数单调性与数列单调性的关系，掌握用单调性求数列最值的方法． 2.在解决问题的过程中，体会运用函数性质研究数列性质、求数列最值的方法要领．

3.在交流的过程中，分享多角度解决问题的成功经验，提高综合分析、解决问题的能力，提升数学素养．

教学重点：利用研究函数最值的方法解决数列中的最值问题． 教学难点：利用单调性解决数列中的最值问题．

教学过程：

一． 实例引入

数列作为离散函数的典型代表之一，不仅在高中数学中具有重要位置，而且，在现实生活中有着非常广泛的作用．

问题1：在一次人才招聘会上，A、B两家公司分别开出它们的工资标准：A公司允诺第一年月工资为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；B公司允诺第一年月工资为2000元，以后每年月工资在上一年的基础上递增5%。设某人年初被A，B两家公司同时录用，试问：该人在A公司工作比在B公司工作的月工资最多时可高出多少元（精确到1元）？

【设计说明】让学生在实际情境中自觉领会和发现知识的形成过程，在思维碰撞中深刻体会其蕴含的数学思想和方法．

思路分析：由题意可知，此人在A、B两公司工作的第n年月

拔高专题 圆中的最值问题

一、基本模型构建 常见模型 图(1) 图（2） 思考 图（1）两点之间线段 最短 ； 图（2）垂线段 最短 。 .在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的 对称 点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点． 二、拔高精讲精练 探究点一：点与圆上的点的距离的最值问题

例1：如图，A点是⊙O上直径MN所分的半圆的一个三等分点，B点是弧AN的中点，P点是MN上一动点，⊙O的半径为3，求AP+BP的最小值。

解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，AA′． ∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点， ∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，∵点B是弧AN的中点，

∴∠BON=30°，∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，又∵OA=OA′=3， ∴A′B=32．∵两点之间线段最短，∴PA+PB=PA′+PB=A′B=32．

【教师总结】解决此题的关键是确定点P的位置．根据轴对称和两点之间线段最短的知识，把两条线段的和转化为一条

篇一：一条鞭法改革的重要意义

广西财经学院2015-2016学年第一学年

《中国财政史》期末综合测试小论文

班级：财政1243 姓名：黄熹 学号：120301404123 得分：

浅析“一条鞭法”税制改革的影响

摘要：“一条鞭法”作为明王朝为了解决财政收入减少而采取的赋税及徭役制度在历史上占有重要的地位，同时，研究这一制度这也有助于我们对整个明王朝的财政现状有一个进一步的认识。

关键词：统一赋役 银差 官收官解

一、历史背景

明代徭役原有里甲正役、均徭和杂泛差役。其中以里甲为主干，以户为基本单位，户又按丁粮多寡分为三等九则，作为编征差徭的依据。丁指十六至六十岁的合龄男丁，粮指田赋。粮之多寡取决于地亩，因而徭役之中也包含有一部分地亩税。这种徭役制的实行，以自耕农小土地所有制广泛存在及地权相对稳定为条件。

明中叶后，土地兼并剧烈，地权高度集中，加以官绅包揽、大户诡寄、徭役日重、农民逃徙，里甲户丁和田额已多不实，政府财政收入减少。针对这种现象，不少人提出改革措施，国家从保证赋役出发，遂逐渐把编征徭役的重心由户丁转向田亩。商品经济的发展，货币作用的上升，也为推行“一条鞭法”这一变革创造了条件

二、主要内容

“一条鞭法”是张居正执政时期开始的针对明王朝土地兼并过于严重，中

　　引导语：世界上最奇异的鱼，它能在长时间缺水、缺食物的情况下，忍着不死，并且通过长时间的休眠和不懈的自我解救，最终等来雨季，赢得新生，它便是非洲的杜兹肺鱼。

在距非洲撒哈拉沙漠不远处的利比亚东部，有一个叫杜兹的偏远农村，这里白天的平均气温高达42摄氏度，一年中除了秋季会有短暂的雨水外，其他绝大部分时间都是骄阳似火。

然而，就在这样一个恶劣的环境中，却生长着一种世界上最奇异的鱼，它能在长时间缺水、缺食物的情况下，忍着不死，并且通过长时间的休眠和不懈的自我解救，最终等来雨季，赢得新生，它便是非洲的杜兹肺鱼。

每年当干旱季节来临时，杜兹河流的水都会枯竭，当地的农民便再也无法从河流里取到现成的饮用水了。为了省事，当他们在劳作时口渴了，便会深挖出河床里的淤泥，找出几条深藏在其中的肺鱼，肺鱼体内的肺囊里储存了不少干净的水。

农民们将挖出来的肺鱼对准自己的嘴巴，然后用力猛地挤上一顿，肺鱼体内的水便会全部流了出来，帮他们方便地解渴。

然后，农民便会将其随意地一扔，不再顾及它们的死活。

有一条叫“黑玛”的杜兹肺鱼就不幸遇见了这样的事情：当一个农民挤干了它的水分后，便将它抛弃在河岸上。无遮无挡的黑玛被太阳晒得直冒油，生命垂危。好在它拼命地蹦呀、跳呀

【篇一：一条河流的声音作文】

一条河流正在开音乐会。

只见小鱼从水里跳上去，跳得老高老高的，仿佛要跳到天空中，又好像一位跳水运动员。然后跳到水里，扑通！紧接着，一大群跳水运动员”也接着跳到水里，顿时！一阵巨大声响起，扑通！扑通！扑通！”

青蛙看着水里那么热闹，也唱起歌来。青蛙好像一位歌手，向人们炫耀自己的歌呱呱呱”。

一些顽皮的小朋友，拿着石头扔向河里哗哗，哗哗”。

最有趣的，就要数孩子们游泳的场面了。

孩子们下水，有的正在游蛙泳；有的个子高的小孩子就站在水里；有的小朋友不会游泳，就站在上面，眼睁睁地看着那些孩子游泳，孩子们游泳，水泛着波纹叮咚，叮咚”。

啊！这条河流的声音可真多呀！下次我还要到这河边听音乐会！

【篇二：一条河流的声音作文】

一条弯弯曲曲的河流伸向了远方，听，他正唱着优美的歌呢！

扑通”一声，一条小鱼跃出水面，紧接着上百条小鱼也跃出水面，组成了一首动听的叮当歌。小鱼确实很有活力，但是青蛙也不认输，在荷叶上唱着青蛙版本的《小星星》。呱呱呱，呱呱呱”

再听，远方的渔船正在捕鱼，渔船不停地发出呜呜”声。告诉人们，他们正满载而归。在河岸边，也有在钓鱼的，鱼竿咻&