空间向量坐标知识点总结

解析几何复习知识点总结

第一章 向量与坐标

第一节 向量的概念：空间中具有大小和方向的量叫做空间向量。向量的大小叫做向量的长度或模（moduius)。

规定，长度为0的向量叫做零向量，记为0. 模为1的向量称为单位向量。

与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量。记为-a 方向相等且模相等的向量称为相等向量。

长度为一个单位（即模为1）的向量，叫做单位向量．与向量a同向，且长度为单位1的向量，叫做a方向上的单位向量，记作a0，a0=a/|a|。

1共线向量定理

两个空间向量a,b向量(b向量不等于0），a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb

2共面向量定理

如果两个向量a,b不共线，则向量c与向量a,b共面的充要条件是：存在唯一的一对实数x,y,使c=ax+by

3空间向量分解定理

如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc。

任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，零向量的表示唯一。

1.2 向量的加法

三角形定则解决向量加减的方法：将各个向量依次首尾顺次相接，结果为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点。

平行四边形定则解决向量加法的方法：将两个

解析几何复习知识点总结

第一章 向量与坐标

第一节 向量的概念：空间中具有大小和方向的量叫做空间向量。向量的大小叫做向量的长度或模（moduius)。

规定，长度为0的向量叫做零向量，记为0. 模为1的向量称为单位向量。

与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量。记为-a 方向相等且模相等的向量称为相等向量。

长度为一个单位（即模为1）的向量，叫做单位向量．与向量a同向，且长度为单位1的向量，叫做a方向上的单位向量，记作a0，a0=a/|a|。

1共线向量定理

两个空间向量a,b向量(b向量不等于0），a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb

2共面向量定理

如果两个向量a,b不共线，则向量c与向量a,b共面的充要条件是：存在唯一的一对实数x,y,使c=ax+by

3空间向量分解定理

如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc。

任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，零向量的表示唯一。

1.2 向量的加法

三角形定则解决向量加减的方法：将各个向量依次首尾顺次相接，结果为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点。

平行四边形定则解决向量加法的方法：将两个

空间向量与立体几何知识点归纳总结

一．知识要点。

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

????运算律：⑴加法交换律：a?b?b?a

??????⑵加法结合律：(a?b)?c?a?(b?c)

????⑶数乘分配律：?(a?b)??a??b

?????????????????????????????????OB?OA?AB?a?b;BA?OA?OB?a?b;OP??a(??R)

运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共

??线向量或平行向量，a平行于b，记作

?????（2）共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b存在实数

??a//b。 ???λ，使a＝λb。

（3）三点共线：A、B、C三点共线<=>AB??AC

<=>OC?xOA?yOB(其中x?y?1)

?a（4）与共线的单位向量为

aa

???x,y使

一对一授课教案

学员姓名： 年级： 所授科目：

上课时间： 年 月 日 时 分至 时 分共 小时

老师签名 教学主题 上次作业检查 本次上课表现 本次作业 空间向量与立体几何 学生签名

一．知识要点。

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

????运算律：⑴加法交换律：a?b?b?a

??????⑵加法结合律：(a?b)?c?a?(b?c)

????⑶数乘分配律：?(a?b)??a??b

? ????????????????????????????????OB?OA?AB?a?b;BA?OA?OB?a?b;OP??a(??R)

???b，记作a//b。

运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3

页眉内容

《位置与坐标》知识点

一、确定位置

1、平面内确定一个物体的位置需要2个数据。

2、（1）行列定位法：在这种方法中常把平面分成若干行、列，然后利用行号和列号表示平面上点的位置，在此方法中，要牢记某点的位置需要两个互相独立的数据，两者缺一不可。（2）方位角距离定位法：方位角和距离。

（3）经纬定位法：它也需要两个数据：经度和纬度。

（4）区域定位法：只描述某点所在的大致位置。如“解放路22号”

3、弄清（a,b）中a与b各代表什么含义，顺序不能写错；图形与语言的相互转换。

二、平面直角坐标系相关概念

1、定义：在平面内，两条相互垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；x轴和y轴统称坐标轴。它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。

2、象限：为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

注意：x轴和y轴上的点（坐标轴上的点），不属于任何一个象限。

3、点的坐标

对于平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a，b）叫做点P的坐

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《位置与坐标》知识点

一、确定位置

1、平面内确定一个物体的位置需要2个数据。

2、（1）行列定位法：在这种方法中常把平面分成若干行、列，然后利用行号和列号表示平面上点的位置，在此方法中，要牢记某点的位置需要两个互相独立的数据，两者缺一不可。（2）方位角距离定位法：方位角和距离。

（3）经纬定位法：它也需要两个数据：经度和纬度。

（4）区域定位法：只描述某点所在的大致位置。如“解放路22号”

3、弄清（a,b）中a与b各代表什么含义，顺序不能写错；图形与语言的相互转换。

二、平面直角坐标系相关概念

1、定义：在平面内，两条相互垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；x轴和y轴统称坐标轴。它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。

2、象限：为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

注意：x轴和y轴上的点（坐标轴上的点），不属于任何一个象限。

3、点的坐标

对于平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a，b）叫做点P的坐

空间点、直线、平面的位置关系

（1）平面

① 平面的概念： A.描述性说明； B.平面是无限伸展的；

② 平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；

也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC。

③ 点与平面的关系：点A在平面 内，记作A ；点A不在平面 内，记作A 点与直线的关系：点A的直线l上，记作：A∈l； 点A在直线l外，记作A l； 直线与平面的关系：直线l在平面α内，记作l α；直线l不在平面α内，记作l α。

（2）公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。

（即直线在平面内，或者平面经过直线）

应用：检验桌面是否平； 判断直线是否在平面内

用符号语言表示公理1：A l,B l,A ,B l

（3）公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一

平面。

公理2及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据 ②它是证明平面重合的依据

（4）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线

符号：平面α和β相交，交线是a，记作α∩β＝a。

符号语言：P A B

空间向量与立体几何

【知识要点】

1．空间向量及其运算： (1)空间向量的线性运算：

①空间向量的加法、减法和数乘向量运算：平面向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则拓广到空间依然成立．

②空间向量的线性运算的运算律： 加法交换律：a＋b＝b＋a；

加法结合律：(a＋b＋c)＝a＋(b＋c)；

分配律：(??＋??)a＝??a＋??a；??(a＋b)＝??a＋??b． (2)空间向量的基本定理：

①共线(平行)向量定理：对空间两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数??，使得a∥??b．

②共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是存在惟一一对实数??，??，使得c＝??a＋??b．

③空间向量分解定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组??1，??2，??3，使得p＝??1a＋??2b＋??3c．

(3)空间向量的数量积运算：

①空间向量的数量积的定义：a·b＝|a｜|b｜cos〈a，b〉； ②空间向量的数量积的性质：

a·e＝|a｜cos＜a，e＞；a⊥b?a·b＝0； |a|2＝a·a；|a·b|≤|a｜|b｜． ③空间向量的数量积的运算律： (??a

平面直角坐标系

平面直角坐标系的有关概念

夯实基础

一．有序数对

在日常生活中，可以用有序数对来描述物体的位置，这样可以用含有两个数的组合来表示一个确定的位置，其中两个数各自表示不同的含义，我们把这种有顺序的两个数a 与b 组成的数对，叫做有序数对，记作()b a ,。

温馨提示

()b a ,与()a b ,顺序不同，含义就不同。例如：用()5,3表示第3列的第5位同学，那么()3,5就表示第5列的第3位同学。

例1：（1）在一层的电影院内如何找到电影票上所指的位置（2）在电影票上，如果把“5排8号”简记为（5,8），那么“4排9号”如何表示（8,3）表示什么含义

二．平面直角坐标系

三．象限

x 轴和y 轴把坐标平面分成四个部分，称为四个象限，按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，如图。 第一象限 第二象限

第三象限 第四象限 y

O

x

温馨提示

如果所表示的平面直角坐标系具有实际意义，一般在表示横轴、纵轴的字母后附上单位。 例2：设()b

a M ,为平面直角坐标系中的点。

（

1）当0,0<>

极坐标与参数方程

一、参数方程 1.参数方程的概念

一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函

数，即 ??x?f(t)

?y?f(t)并且对于t每一个允许值，由方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上（即曲线上的点在方程上，方程的解都在曲线上），那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数．

相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化

曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程. 练习

1．若直线的参数方程为?A．

?x?1?2t(t为参数)，则直线的斜率为（ ）

?y?2?3t2233 B．? C． D．? 33222．下列在曲线??x?sin2?(?为参数)上的点是（ ）

?y?cos??sin?31,) C．(2,3) D．(1,3) 42A．(,?2) B．(?122??x?2?sin?(?为参数)化为普通方程为（ ） 3．将参数方程?2??y?sin?A．y?x?2