12微分方程-3y+2y=2c满足2-1的特解为

第十二章 微分方程

一、内容提要

（一）主要定义

【定义12.1】 微分方程 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程,叫做微分方程.未知函数是一元函数的叫做常微分方程； 未知函数是多元函数的叫做偏微分方程.

【定义12.2】 微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数,称为微分方程的阶.

一般形式为： Fx,y,y?,y??,?,y标准形式为：y?n??(n)??0.

??fx,y,y?,?,y?n?1?.

?【定义12.3】 微分方程的解 若将函数y???x?代入微分方程使其变成恒等式 即 F?x,??x?,???x????n???x????0,

或者 ??n??x????x?,?,??n?1??x?? f?x,?x,?????则称y???x?为该方程的解.

根据y?y?x?是显函数还是隐函数 ,分别称之为显示解与隐式解.若解中含有任意常数,当独立的任意常数的个数正好与方程的阶数相等时该解叫做通解(或一般解)；不含有任意常数的解叫特解.

【定义12.4】 定解条件 用来确定通解中任意常数的条件称为定解条件,最常见的定解条件是初始条件.

例

【例1

常微分方程试题库

二、计算题（每题6分）

1. 解方程：tanydx?cotxdy?0； 2. 解方程：3. 解方程：4. 解方程：

dy?2y?ex； dx；

dx?3x?e2t； dt5. 解方程：e?ydx?(2y?xe?y)dy?0；

y6. 解方程：dx?(y3?lnx)dy?0；

x7. 解方程：(2xy?3x2y2)dx?(x2?2x3y)dy?0；

8. 解方程：x????5x???8x??4x?0； 9. 解方程：x(7)?2x(5)?x(3)?0； 10. 解方程：x????x???2x?0； 11. 解方程：x??y??0,x??y??1；

dy?ylny； dxdy13. 解方程：?ex?y；

dx14. 解方程：(x2?1)y??2xy2?0；

dy15. 解方程：?y2cosx；

dx16. 解方程：(y2?xy2)dx?(x2?yx2)dy；

dy17. 解方程：?2xy?4x；

dxd?18.解方程：?3??2；

d?2dy19. 解方程：?xe2y?x；

dx20. 解方程：xy??2y?2x4；

12. 解方程：

选题说明：每份试卷选2道题为宜。

二、计算题参考答案与评分标准：

常微分方程试题库

2. 解方程：3. 解方程：4. 解方程：

二、计算题（每题6分）

1. 解方程：tanydx?cotxdy?0；

dy?2y?ex； dx；

dx?3x?e2t； dt5. 解方程：e?ydx?(2y?xe?y)dy?0；

y6. 解方程：dx?(y3?lnx)dy?0；

x7. 解方程：(2xy?3x2y2)dx?(x2?2x3y)dy?0；

8. 解方程：x????5x???8x??4x?0； 9. 解方程：x(7)?2x(5)?x(3)?0； 10. 解方程：x????x???2x?0； 11. 解方程：x??y??0,x??y??1；

dy?ylny； dxdy13. 解方程：?ex?y；

dx14. 解方程：(x2?1)y??2xy2?0；

dy15. 解方程：?y2cosx；

dx16. 解方程：(y2?xy2)dx?(x2?yx2)dy；

dy17. 解方程：?2xy?4x；

dxd?18. 解方程：?3??2；

d?2dy19. 解方程：?xe2y?x；

dx20. 解方程：xy??2y?2x4；

12. 解方程：

选题说明：每份试卷选2道题为宜。

二、计算题参考答案与评分标准：

船舶振动与噪声控制

第2章 离散系统的振动微分方程

第2章 离散系统的振动微分方程江苏科技大学

振动噪声研究所

第2章 单自由度系统的振动

第2章 离散系统的振动微分方程2.1 实际系统离散化的力学模型 2.2 力学基础

2.3 振动微分方程的建立 2.4 振动微分方程的一般形式第1章 概 论 第2章 单自由度系统的振动

2.1.1.实际系统的离散化 工程实际中，即使是一台很简单的机器 ，也是由无限多个质点组成的，这些质 点之间既有弹性，也有阻尼。----连续系 统 任何实际系统的质量、弹性和阻尼都是 连续分布的。因此，用质点动力学的方 法作系统分析时，必须用无穷多个微分

方程来表示。

第2章 离散系统的振动微分方程

简化力学模型的依据 系统本身的复杂程度 外界作用形式 分析精度等等

第2章 离散系统的振动微分方程

简化方法：对系统质量、弹性和阻尼集中处理① 机器中弹性较小而质量较大的构件可以简化成不计

弹性的集中质量；② 质量较小而弹性较大的构件可以简化成不计质量的

弹簧；③ 构件之间阻尼较大的部分用不计质量和弹性的阻尼

器表示。第2章 离散系统的振动微分方程

将某些质量、弹性和阻尼没有明显差别的构件 划分成若干单元，把单元的总弹性和总阻尼作 为无质量

微分方程

初值问题数值解

习题课

一、应用向前欧拉法和改进欧拉法求由如下积分

y??x0e?t2dt

所确定的函数y在点x =0.5,1.0,1.5的近似值。 解：该积分问题等价于常微分方程初值问题

?x??y'?e? ??y(0)?02其中h=0.5。其向前欧拉格式为

?(ih)??yi?1?yi?he?

y0?0??2改进欧拉格式为

22h?(ih)2??(i?1)h?e)?yi?1?yi?(e2?

?y?0?0将两种计算格式所得结果列于下表 i 0 1 2 3

xi 0 0.5 1.0 1.5 向前欧拉法yi 0 0.5 0.88940 1.07334 改进欧拉法yi 0 0.44470 0.73137 0.84969 1

二、应用4阶4步阿达姆斯显格式求解初值问题

?y'?x?y?1? 0?x?0.6

y(0)?1?取步长h=0.1.

解：4步显式法必须有4个起步值，y0已知，其他3个龙格库塔方法求出。

本题的信息有：

步长h=0.1；结点

y1,y2,y3用4阶

xi?ih?0.1i(i?0,1,?,6)

；

f(x,y)?x?y?1,y0?y(0)?1

经典的4阶龙格库塔公式为

yi?1?yi?h6(k1?2k2?2k3?k4)

船舶振动与噪声控制

第2章 离散系统的振动微分方程

第2章 离散系统的振动微分方程江苏科技大学

振动噪声研究所

第2章 单自由度系统的振动

第2章 离散系统的振动微分方程2.1 实际系统离散化的力学模型 2.2 力学基础

2.3 振动微分方程的建立 2.4 振动微分方程的一般形式第1章 概 论 第2章 单自由度系统的振动

2.1.1.实际系统的离散化 工程实际中，即使是一台很简单的机器 ，也是由无限多个质点组成的，这些质 点之间既有弹性，也有阻尼。----连续系 统 任何实际系统的质量、弹性和阻尼都是 连续分布的。因此，用质点动力学的方 法作系统分析时，必须用无穷多个微分

方程来表示。

第2章 离散系统的振动微分方程

简化力学模型的依据 系统本身的复杂程度 外界作用形式 分析精度等等

第2章 离散系统的振动微分方程

简化方法：对系统质量、弹性和阻尼集中处理① 机器中弹性较小而质量较大的构件可以简化成不计

弹性的集中质量；② 质量较小而弹性较大的构件可以简化成不计质量的

弹簧；③ 构件之间阻尼较大的部分用不计质量和弹性的阻尼

器表示。第2章 离散系统的振动微分方程

将某些质量、弹性和阻尼没有明显差别的构件 划分成若干单元，把单元的总弹性和总阻尼作 为无质量

22.1 二次函数的图象和性质22.1.4 二次函数y=ax +bx+c 的图象和性质

回顾反思y=a(x-h)2+k

顶点式a>0 a<0

开口方向顶点坐标 对称轴 增 减 性

向上 (h ,k) x=h

向下 (h ,k) x=h

倍 极值 速 x=h时,y最小=k x=h时,y最大=k 课 时 2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移 抛物线 y=a(x-h) 学 练 得到的。 x:左加右减

当x<h时, 当x<h时， y随着x的增大而减小。y随着x的增大而增大。 当x>h时， 当x>h时， y随着x的增大而增大。y随着x的增大而减小。

y:上加下减

课前练习顶点坐标

对称轴

最值

y=-2x2 y=-2x2-5

y轴 (0,0) (0,-5) y轴(-2,0) 直线x=-2 (-2,4) (4,3) ? ? 直线x=-2 直线x=4

y=-2(x+2)2y=-2(x+2)2-4倍 速 课 时 学 练

0 -5 0 -4 3 ? ?

y=(x-4)2+3y=-5x2+3x y=3x2+x-6

??

函数y=ax²+bx+c的图象 怎样把函数y=3x2-6x+5的转化成y=a(x-h)2+k的形式?

y 3x 6 x

第二节 可分离变量微分方程可分离变量方程

第七章

dy f1 ( x) f 2 ( y ) dx M1 ( x)M 2 ( y) d x N1 ( x) N 2 ( y) d y 0转化

解分离变量方程 g ( y) d y f ( x) d x目录 上页 下页 返回 结束

分离变量方程的解法:

g ( y ) d y f ( x) d xg ( ( x)) ( x) d x f ( x) d x两边积分, 得

①

设 y= (x) 是方程①的解, 则有恒等式

f ( x) d x

设左右两端的原函数分别为 G(y), F(x), 则有 ②

当G(y)与F(x) 可微且 G (y) g(y) 0 时, 说明由②确定的隐函数 y= (x) 是①的解. 同样, 当 F (x) = f (x)≠0 时, 由②确定的隐函数 x= (y) 也是①的解.

称②为方程①的隐式通解, 或通积分.目录 上页 下页 返回 结束

例1. 求微分方程

的通解.

dy 2 3 x d x 说明: 在求解过程中 解: 分离变量得 y 每一步不一定是同解 变形, 因此可能增、 两边积分 减解. 或 3 ln y x C1 得即

令C

第1章 引 言

1.1 课程设计的意义

高等学校的实践教学一般包括课程实验、综合性设计(课程设计)、课外科技活动、社会实践、毕业设计等，基本上可以分为三个层次：

第一，紧扣课堂教学内容，以掌握和巩固课程教学内容为主的课程实验和综合性设计； 第二，以社会体验和科学研究体验为主的社会实践和课外科技活动； 第三，以综合应用专业知识和全面检验专业知识应用能力的毕业设计。

课程实践(含课程实验和课程设计)是大学教育中最重要也最基础的实践环节，直接影响后继课程的学习以及后继实践的质量。由于课程设计是以培养学生的系统设计与分析能力为目标，通过团队式合作、研究式分析、工程化设计完成较大型系统或软件的设计题目的，因此课程设计不仅有利于学生巩固、提高和融合所学的专业课程知识，更重的是能够培养学生多方面的能力，如综合设计能力、动手能力、文献检索能力、团队合作能力、工程化能力、研究性学习能力、创新能力等。

《常微分方程课程设计》（Curriculum Design of the Ordinary Differential Equations）是一门继《数学实验》和《常微分方程》（ODE）之后开设的实验性课程，主要是指导性的讲解方程求解的数值方法和软件编程(如MATL

大学英语II-C卷

Part I??Listening Comprehension Section A

Directions: In this section, you will hear several short and long conversations. At the end of each conversation, one or more questions will be asked about what was said. Both the conversation and the questions will be spoken only once. After each question there will be a pause. During the pause, you must read the four choices marked A), B), C) and D), and decide which is the best answer. Then mark the corresponding letter on the Answer Sheet with a single line through the