一次不定方程

探究二元一次不定方程

（Inquires into the dual indefinite equation）

冯晓梁（XiaoLiang Feng） （江西科技师范学院 数计学院 数一班 330031）

【摘 要】:二元一次不定方程是最简单的不定方程, 一些复杂的不定方程常常化为二元一次

不定方程问题加以解决。我们讨论二元一次方程的整数解。

The dual indefinite equation is the simple the indefinite equation, some complex indefinite equations change into the dual indefinite equation question to solve frequently. We discuss the dual linear equation the integer solution.

【关键字】：二元一次不定方程 初等数论 整数解

（Dual indefinite equation Primary theory of numbers Integer solution）

二元一次方程的概念：含有两个未知

初一奥赛培训17：二元一次不定方程的解法

一、解答题（共15小题，满分150分）

1、小张带了5角钱去买橡皮和铅笔，橡皮每块3分，铅笔每支1角1分，问5角钱刚好买几块橡皮和几支铅笔？ 2、求不定方程x﹣y=2的正整数解．

3、求证：如果a，b是互质的正整数，c是整数，且方程ax+by=c ①，有一组整数解x0，y0，则此方程的一切整数解可以表示为

，其中t=0，±1，±2，±3，…．

4、求11x+15y=7的整数解．

5、求方程6x+22y=90的非负整数解． 6、求方程7x+19y=213的所有正整数解． 7、求方程37x+107y=25的整数解．

8、某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法？ 9、求方程9x+24y﹣5z=1000的整数解．

10、今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．用100个钱买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？

11、求下列不定方程的整数解： （1）72x+157y=1； （2）9x+21y=144； （3）103x﹣91y=5．

12、求下列不定方程的正整数解： （1）3x﹣5y=19； （2）12x+5y=125．

13、求下列不定方程的整数解： （1

六年级奥数 不定方程

【知识要点】

如果一个方程（组）的未知数的个数多于方程的个数，那么这个方程（组）就叫做不定方程（组）。 不定方程是数论中最古老的一个分支，它的研究在我国已延续了数千年，至今仍是令人感兴趣的课题。 不定方程的内容非常丰富，但在小学数学竞赛中，我们主要讨论二元一次不定方程，形如ax±by=c(a、b、c为已知的整数)的方程，我们称为二元一次不定方程，又称丢番图方程，以纪念生于公元三世纪的希腊数学家丢番图，他写了一本关于这类方程的书。

一个不定方程一般总有无穷多组解，但小学阶段主要涉及整系数不定方程的整数解。不定方程通常利用不等式及整除性来求解。 例1．

求3x+4y＝23的自然数解。

练习一

1、 求3x+2y＝25的自然数解。

2、 求4x+5y＝37的自然数解。

3、 求5x－3y＝16的最小自然数解。

例2

求下列方程组的正整数解。

5x+7y+3z＝25 3x－y－6z＝2

练习2

求下面方程组的自然数解。

1、 4x+3y－2z＝7 2、 7x+9y+11z＝68

3x+2y+4z＝21 5x+7y+9z＝52

1

不定方程

———研究其解法

方程，这个词对于同学们来说，再熟悉不过了，它在数学中占了很大的一个板块，许多题目都可以通过方程来得到答案，那么自然而然，它的解法就尤为重要了。 然而，我今天想为大家介绍的是一种特殊的方程——不定方程，因为它往往有多个或无数个解，他的解法相对较多较难，以下就是关于不定方程的一些问题。

一、不定方程是指未知数的个数多于方程个数的方程，其特点是往往有不唯一的解。 二、不定方程的解法 1、筛选试验法

根据方程特点，确定满足方程整数的取值范围，对此范围内的整数一一加以试验，筛去不合理的值。

如：方程x﹢y﹢z = 100共有几组正整数解？

解：当x = 1时y﹢z = 99，这时共有98个解：(y，z)为(1，98) (2，97)??(98，1)。 当x = 2时y﹢z = 98，这时共有97个解：(y，z)为(1，97) (2，96)??(97，1)。 ??

当 x = 98时，y﹢z = 2，这时有一个解。

∵ 98﹢97﹢96﹢??﹢1=

98?99= 4851 2∴ 方程x﹢y﹢z = 100共有4851个正整数解。

2、表格记数法

如：方程式4x﹢7 y =55共有哪些正

1

不定方程

———研究其解法

方程，这个词对于同学们来说，再熟悉不过了，它在数学中占了很大的一个板块，许多题目都可以通过方程来得到答案，那么自然而然，它的解法就尤为重要了。 然而，我今天想为大家介绍的是一种特殊的方程——不定方程，因为它往往有多个或无数个解，他的解法相对较多较难，以下就是关于不定方程的一些问题。

一、不定方程是指未知数的个数多于方程个数的方程，其特点是往往有不唯一的解。 二、不定方程的解法 1、筛选试验法

根据方程特点，确定满足方程整数的取值范围，对此范围内的整数一一加以试验，筛去不合理的值。

如：方程x﹢y﹢z = 100共有几组正整数解？

解：当x = 1时y﹢z = 99，这时共有98个解：(y，z)为(1，98) (2，97)??(98，1)。 当x = 2时y﹢z = 98，这时共有97个解：(y，z)为(1，97) (2，96)??(97，1)。 ??

当 x = 98时，y﹢z = 2，这时有一个解。

∵ 98﹢97﹢96﹢??﹢1=

98?99= 4851 2∴ 方程x﹢y﹢z = 100共有4851个正整数解。

2、表格记数法

如：方程式4x﹢7 y =55共有哪些正

不定方程选讲

一、一次不定方程（组）

1．求不定方程x+y+z=2007正整数解的个数。 2．求不定方程2x+3y+5z=15的正整数解。 3．解不定方程11x+15y=7。 4．解不定方程50x+45y+36z=10。

?5x+7y+2z＝24，

5．解不定方程组?

?3x－y－4z＝4．

6．解不定方程6x+15y+21z+9w=30。

7．求有多少个正整数对(m,n)，使得7m+3n=102004，且m︱n。(04年日本数学奥林匹克) 二、二次不定方程及其常用解法

8．求满足方程2x2+5y2=11(xy－11)的正整数数组(x，y)。 9．解不定方程14x2－24xy+21y2+4x－12y－18=0。 10．解不定方程3x2+5y2=345。

11．解不定方程x2－5xy+6y2－3x +5y－11=0。 12．求方程xy－2x+y=4的整数解。

35

13求能使等式 + =1成立的所有正整数m，n。

mn14．求方程2xy－2x2+3x－5y+11=0的整数解。 15．求方程3xy+y2－6x－2y=2的整数解。 16．求方程x2+y= x2y－1000的正整数解。 17．求所有的整数对(x，y)，使得x3 = y3+2y2 +1。

不定方程选讲

一、一次不定方程（组）

1．求不定方程x+y+z=2007正整数解的个数。 2．求不定方程2x+3y+5z=15的正整数解。 3．解不定方程11x+15y=7。 4．解不定方程50x+45y+36z=10。

?5x+7y+2z＝24，

5．解不定方程组?

?3x－y－4z＝4．

6．解不定方程6x+15y+21z+9w=30。

7．求有多少个正整数对(m,n)，使得7m+3n=102004，且m︱n。(04年日本数学奥林匹克) 二、二次不定方程及其常用解法

8．求满足方程2x2+5y2=11(xy－11)的正整数数组(x，y)。 9．解不定方程14x2－24xy+21y2+4x－12y－18=0。 10．解不定方程3x2+5y2=345。

11．解不定方程x2－5xy+6y2－3x +5y－11=0。 12．求方程xy－2x+y=4的整数解。

35

13求能使等式 + =1成立的所有正整数m，n。

mn14．求方程2xy－2x2+3x－5y+11=0的整数解。 15．求方程3xy+y2－6x－2y=2的整数解。 16．求方程x2+y= x2y－1000的正整数解。 17．求所有的整数对(x，y)，使得x3 = y3+2y2 +1。

一次函数与二元一次方程专题

一．选择题（共10小题）

1．如图，两个一次函数图象的交点坐标为（2，4），则关于x，y的方程组的解为（ ）

A． B． C． D．

2．如图，已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组A．

B．

C．

的解是（ ）

D．

3．已知直线y=2x与y=﹣x+b的交点为（﹣1，a），则方程组A．

B．

C．

D．

的解为（ ）

4．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=x+3与直线l2：y=mx+n交于点A（﹣1，b），则关于x、y的方程组

的解为（ ）

A． B． C． D．

5．直线l是以二元一次方程8x﹣4y=5的解为坐标所构成的直线，则该直线不经过的象限是（ ）

1

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

6．用图象法解方程组时，下图中正确的是（ ）

A． B． C． D．

7．用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象如图所示，则所解的二元一次方程组是（ ）

A． B．C． D．的解是

8．若关于x，y的二元一次方程组﹣x+5的交点坐标为（ ）

，则直线与y=

A．（4，1） B．（1，4） C．（﹣4，1）

一次函数与二元一次方程专题

一．选择题（共10小题）

1．如图，两个一次函数图象的交点坐标为（2，4），则关于x，y的方程组的解为（ ）

A． B． C． D．

2．如图，已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组A．

B．

C．

的解是（ ）

D．

3．已知直线y=2x与y=﹣x+b的交点为（﹣1，a），则方程组A．

B．

C．

D．

的解为（ ）

4．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=x+3与直线l2：y=mx+n交于点A（﹣1，b），则关于x、y的方程组

的解为（ ）

A． B． C． D．

5．直线l是以二元一次方程8x﹣4y=5的解为坐标所构成的直线，则该直线不经过的象限是（ ）

1

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

6．用图象法解方程组时，下图中正确的是（ ）

A． B． C． D．

7．用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象如图所示，则所解的二元一次方程组是（ ）

A． B．C． D．的解是

8．若关于x，y的二元一次方程组﹣x+5的交点坐标为（ ）

，则直线与y=

A．（4，1） B．（1，4） C．（﹣4，1）

目录

正文

第一篇：解一元一次方程教案

解一元一次方程教案

教学过程

解一元一次方程来探究方程中含有括号的一元一次方程的解法.

解方程2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x).

分析 方程中有括号,设法先去括号.

解2x-4-12x + 3 = 9-9x,????去括号

-10x-1 =9-9x,?????? 方程两边分别合并同类项

-10x + 9x = 1 + 9,?????? 移项

-x =10, ????????合并同类项

x = -10. ????????系数化为1

注意 (1)括号前边是“-”号,去括号时,括号内各项都要变号;

(2)用分配律去括号时,不要漏乘括号内的项;

(3) -x =10,不是方程的解,必须把系数化为1,得x = -10,才是结果.从上面的解方程可知,解含有括号的一元一次方程的步骤是:

(1)去括号;

(2)移项;

(3)合并同类项;

(4)系数化为1.

三、实践应用

例1 解方程:3(x-2)+1 = x-(2