函数导数综合题

导数综合题集锦

1．已知函数f(x)?x?alnx,其中a为常数，且a??1.

（Ⅰ）当a??1时，求f(x)在[e,e2]（e=2.718 28…）上的值域； （Ⅱ）若f(x)?e?1对任意x?[e,e2]恒成立,求实数a的取值范围. 2. 已知函数f(x)?alnx?1,a?R. x （I）若曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x?2y?0垂直，求a的值； （II）求函数f(x)的单调区间；

（III）当a=1，且x?2时，证明：f(x?1)?2x?5. 3. 已知f(x)?x3?6ax2?9a2x（a?R）． （Ⅰ）求函数f(x)的单调递减区间；

（Ⅱ）当a?0时，若对?x??0,3?有f(x)?4恒成立，求实数a的取值范围． 4．已知函数f(x)?13x?ax2?(a2?1)x?b(a,b?R). 3 （I）若x=1为f(x)的极值点，求a的值；

（II）若y?f(x)的图象在点（1，f(1)）处的切线方程为x?y?3?0，

（i）求f(x)在区间[-2，4]上的最大值；

（ii）求函数G(x)?[f'(x)?(m?2)x?m]e(m?R)的单调区间

5．已知函数f(x)?lnx??xa. x

导数综合题集锦

1．已知函数f(x)?x?alnx,其中a为常数，且a??1.

（Ⅰ）当a??1时，求f(x)在[e,e2]（e=2.718 28…）上的值域； （Ⅱ）若f(x)?e?1对任意x?[e,e2]恒成立,求实数a的取值范围. 2. 已知函数f(x)?alnx?1,a?R. x （I）若曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x?2y?0垂直，求a的值； （II）求函数f(x)的单调区间；

（III）当a=1，且x?2时，证明：f(x?1)?2x?5. 3. 已知f(x)?x3?6ax2?9a2x（a?R）． （Ⅰ）求函数f(x)的单调递减区间；

（Ⅱ）当a?0时，若对?x??0,3?有f(x)?4恒成立，求实数a的取值范围． 4．已知函数f(x)?13x?ax2?(a2?1)x?b(a,b?R). 3 （I）若x=1为f(x)的极值点，求a的值；

（II）若y?f(x)的图象在点（1，f(1)）处的切线方程为x?y?3?0，

（i）求f(x)在区间[-2，4]上的最大值；

（ii）求函数G(x)?[f'(x)?(m?2)x?m]e(m?R)的单调区间

5．已知函数f(x)?lnx??xa. x

以三次函数为载体为导数综合题 1.已知实数a满足1＜a≤2，设函数f(x)＝x3－

1a?123x2＋ax．

(Ⅰ) 当a＝2时，求f (x)的极小值；

(Ⅱ) 若函数g(x)＝4x3＋3bx2－6(b＋2)x (b∈R) 的极小值点与f (x)的极小值点相同，

求证：g(x)的极大值小于等于10．

2

(Ⅰ)解：当a＝2时，f ′(x)＝x－3x＋2＝(x－1)(x－2)．列表如下：

x (－?，1) 1 (1，2) 2 (2，＋?)

f ′＋ 0 － 0 ＋

(x)

f 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 (x) 所以，f (x)的极小值为f (2)＝

232

(Ⅱ) 解：f ′(x)＝x－(a＋1)x＋a＝(x－1)(x－a)．由于a＞1，

所以f (x)的极小值点x＝a，则g(x)的极小值点也为x＝a．

而g ′ (x)＝12x＋6bx－6(b＋2)＝6(x－1)(2x＋b＋2)，所以a??2

．

b?22，即b＝－2(a＋1)．

又因为1＜a≤2，所以 g(x)极大值＝g(1)＝4＋3b－6(b＋2)＝－3b－8＝6a－2≤10．

故g(x)的极大值小于等于10

2已知函数f(x)?x3?ax2?bx?4在(??,

高等数学

五、其它题型（共 121 小题，）

x?0,?cosx 1、讨论f(x)??点的可导性。 在 x?0　1 , x?0??sinx2，　　x?0?2、设f(x)??x，讨论f(x)在 x?0　处的可导性。

?0　　　，　x?0?1　，x?a，3、研究f(x)?.在 x?a点的可导性。 x?a　　　0　　　　　　，x?a2(x?a)　arctanarctanx2　　，x?04、讨论f(x)?，在 x?0处的可导性。 x　　0　　　，x?05、讨论f(x)?(x?6、

?2)cosx，在x??2处的可导性。

?2x?1　　，x?1，讨论　f(x)??在x?1处的可导性.

lnx?3　　，x?1，?7、

?ex　　，x?0，讨论　f(x)??在x?0处的可导性.

?x?1　，x?08、

?1?cosx　　，x?0，讨论　f(x)??在x?0处的可导性. 2　x　　　，x?0?9、

设f(x)??(x)??cost2dt02xx则x?0为f(x)的那一种类型的间断点?为什么?10、

，其中?(x)在x?0处可导且?(0)?0

讨论f(x)?sinx在x??处的可导性.

11、

设　?(x)在x

【16】f(x)+f(1-x)

=a^x/(a^x+√a)+a^(1-x)/(a^(1-x)+√a)

=a^x[a^(1-x)+√a]+a^(1-x)(a^x+√a)/(a^x+√a)(a^(1-x)+√a)

=[a+a^x√a+a+a^(1-x)√a]/[a+a^x√a+a^(1-x)√a+a) =1

已知函数f(x)=(x的1/3次方-x的-1/3次方）/5,g(X)=(x的1/3次方+x的-1/3次方）/5

（1）证明：f(x)是奇函数,并求f(x)的单调区间

（2）分别计算f（4）-5f(2)g(2),f(9)-5f(3)g(3)的值,由此解概括出涉及函数f(x)和g(x)的对所有不等于零的实数x都成立的一个不等式,并加以证明.

【】1.F(-X)=(x的-1/3次方-x的1/3次方）/5=-(x的1/3次方-x的-1/3次方）/5=-F(X) 所以F(X)是奇函数.对F(x)求导得F'(X)=(X的-2/3+X的-4/3）/15 令F'(X)=0得x=0 列表

所以F(X)在（-无穷,0）上单调递减 在（0,+无穷）上单调递增

2.首先,F(X)G(X)=)=(x的2/3次方-x的-2/3次方）/25 所以 f（4）-5f(2)g(

第一部分：一次函数

考点归纳：

一次函数：若y=kx+b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数，特别的，当b=0时，

一次函数就成为y=kx(k是常数，k≠0)，这时，y叫做x的正比例函数，当k=0时，一次函数就成为若y=b，这时，y叫做常函数。 ☆A与B成正比例?A=kB(k≠0)

直线位置与k，b的关系：

（1）k＞0直线向上的方向与x轴的正方向所形成的夹角为锐角； （2）k＜0直线向上的方向与x轴的正方向所形成的夹角为钝角； （3）b＞0直线与y轴交点在x轴的上方； （4）b＝0直线过原点；

（5）b＜0直线与y轴交点在x轴的下方；

平移

1x向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到直线 。 332， 直线y??x?1向下平移2个单位，再向左平移1个单位得到直线________ 41，直线y?方法：直线y=kx+b，平移不改变斜率k，则将平移后的点代入解析式求出b即可。

直线y=kx+b向左平移2向上平移3 <=> y=k(x+2)+b+3;（“左加右减，上加下减”）。

练习：直线m:y=2x+2是直线n向右平移2个单位再向下平移5个单位得到的，而（2a,7）

在直线n上，则a=________

二次函数综合

二次函数

一、选择题

1、（2007天津市）已知二次函数y ax2 bx c(a 0)的图象如图所示，有下列5个结论：① abc 0；② b a c；③ 4a 2b c 0；④ ⑤ a b m(am b)，（m 1的实数）其中正确的结论有（ ）2c 3b；B

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

2、（2007南充）如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A（－3，0），对称轴为x＝－1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a＋b=0；③a－b＋c=0；④5a＜b．其中正确结论是（ ）．B （A）②④ （B）①④ （C）②③ （D）①③ 3、（2007广州市）二次函数y x 2x 1与x轴的交点个数是（ ）B A．0 B．1 C．2 D．3 4、（2007云南双柏县）在同一坐标系中一次函数y ax b和二次函数

y ax bx

2

2

的图象可能为（ ）A

A

5、（2007四川资阳）已知二次函数y ax2 bx c(a≠0)的图象开口向上，并经过点(-1，

2)，(1，0) . 下列结论正确的是( )D

A. 当x>0时，函数值y

二次函数综合

二次函数

一、选择题

1、（2007天津市）已知二次函数y ax2 bx c(a 0)的图象如图所示，有下列5个结论：① abc 0；② b a c；③ 4a 2b c 0；④ ⑤ a b m(am b)，（m 1的实数）其中正确的结论有（ ）2c 3b；B

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

2、（2007南充）如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A（－3，0），对称轴为x＝－1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a＋b=0；③a－b＋c=0；④5a＜b．其中正确结论是（ ）．B （A）②④ （B）①④ （C）②③ （D）①③ 3、（2007广州市）二次函数y x 2x 1与x轴的交点个数是（ ）B A．0 B．1 C．2 D．3 4、（2007云南双柏县）在同一坐标系中一次函数y ax b和二次函数

y ax bx

2

2

的图象可能为（ ）A

A

5、（2007四川资阳）已知二次函数y ax2 bx c(a≠0)的图象开口向上，并经过点(-1，

2)，(1，0) . 下列结论正确的是( )D

A. 当x>0时，函数值y

【16】f(x)+f(1-x)

=a^x/(a^x+√a)+a^(1-x)/(a^(1-x)+√a)

=a^x[a^(1-x)+√a]+a^(1-x)(a^x+√a)/(a^x+√a)(a^(1-x)+√a)

=[a+a^x√a+a+a^(1-x)√a]/[a+a^x√a+a^(1-x)√a+a) =1

已知函数f(x)=(x的1/3次方-x的-1/3次方）/5,g(X)=(x的1/3次方+x的-1/3次方）/5

（1）证明：f(x)是奇函数,并求f(x)的单调区间

（2）分别计算f（4）-5f(2)g(2),f(9)-5f(3)g(3)的值,由此解概括出涉及函数f(x)和g(x)的对所有不等于零的实数x都成立的一个不等式,并加以证明.

【】1.F(-X)=(x的-1/3次方-x的1/3次方）/5=-(x的1/3次方-x的-1/3次方）/5=-F(X) 所以F(X)是奇函数.对F(x)求导得F'(X)=(X的-2/3+X的-4/3）/15 令F'(X)=0得x=0 列表

所以F(X)在（-无穷,0）上单调递减 在（0,+无穷）上单调递增

2.首先,F(X)G(X)=)=(x的2/3次方-x的-2/3次方）/25 所以 f（4）-5f(2)g(

高一上数学同步练习（6）--函数综合题

一、选择题 1．如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么它在区间[-7，-3]上是（ ） （A）增函数且最小值为-5 （B）增函数且最大值为-5 （C）减函数且最小值为-5 （D）减函数且最大值为-5 2．已知P>q>1,0a（B）P>q（C）aq3.若-1

2x

-x

x -x

0

q

a

a

-p

-q

-a

-a

（D）2<2<0.2

x-xx

4.函数y=(a-1)与它的反函数在（0，+?）上都是增函数，则a的取值范围是（ ） （A）12 （D）a>1

5．函数y=logax当x>2 时恒有y>1，则a的取值范围是（ ） （A）

12?a?2且a?1 （B）0?a?12或1?a?2

12（C）1?a?2 （D）a?1或0?a?

6．函数y=loga2(x2-2x-3)当x<-1时为增函数，则a的取值范围是（ ） （A）a>1 （B）-11或a<-1 7．函数f(x)的图像与函数g(x)=(为（ ）

（A）（0，1） （B）[1，+?） （C）（-?，1］ （D）[1，2） 8．设函数f(x)对x?R都满足f