利用特征值和特征向量将矩阵对角化

高等数学 学术论文

年

月

长春教育学院学报

第

卷第

期

矩阵的特征值与特征向量及对角化问题的同步解决法王海东重庆邮电学院计算机学院,

重庆

刃

摘

要本文给出了一种新方法可使求矩阵的特征值特征向量与判定可否对角化的问,,

题同时得到解决中图分类号一引言、

。

关键词特征值特征向量方阵矩阵的对角化初等变换二

文献标识码

文章编号

一

一

一

并且,

是一个数域

是

上的一个

阶矩阵对

,

二

专,

,

…夸岛,,

,

,

…氛,

,

,

…氛,

,

的初等变换是指下列三种变换互换矩阵中两行列的位置以

二

入

,

…入入,,

,

…入

…入

其中入出现的次数为,

。。

中一个非零的数乘矩阵的某一行。

这种传统的方法需要求解一个的特征方程还需要解

次方程即个未知数,

,

列

个,

个方程

把矩阵的某一行列的列,,

倍加到另一行

的齐次线性方程组以求出它们的基础解系求解,

其中

二

的过程是重复而冗长的本人给出了一种只用矩

不难证明矩阵的第一种初等变换是非本质

阵的第三种初等变换就能同时求出矩阵的特征值与特征向量又能判定矩阵是否对角化的方法,

的因为由第二种初等变换与第三种初等变换可以推出第一种初等变换。

。

如果

入二

,

且存在

上

二方法与例子

、

维非零向量使得,

下面的定理与结论引自文献〔〕定理复数域上任意的,

七

入毛

阶矩阵,一

都与一’

则称入为征值

的一个特征值而七称为属于特。

,

高等数学 学术论文

年

月

长春教育学院学报

第

卷第

期

矩阵的特征值与特征向量及对角化问题的同步解决法王海东重庆邮电学院计算机学院,

重庆

刃

摘

要本文给出了一种新方法可使求矩阵的特征值特征向量与判定可否对角化的问,,

题同时得到解决中图分类号一引言、

。

关键词特征值特征向量方阵矩阵的对角化初等变换二

文献标识码

文章编号

一

一

一

并且,

是一个数域

是

上的一个

阶矩阵对

,

二

专,

,

…夸岛,,

,

,

…氛,

,

,

…氛,

,

的初等变换是指下列三种变换互换矩阵中两行列的位置以

二

入

,

…入入,,

,

…入

…入

其中入出现的次数为,

。。

中一个非零的数乘矩阵的某一行。

这种传统的方法需要求解一个的特征方程还需要解

次方程即个未知数,

,

列

个,

个方程

把矩阵的某一行列的列,,

倍加到另一行

的齐次线性方程组以求出它们的基础解系求解,

其中

二

的过程是重复而冗长的本人给出了一种只用矩

不难证明矩阵的第一种初等变换是非本质

阵的第三种初等变换就能同时求出矩阵的特征值与特征向量又能判定矩阵是否对角化的方法,

的因为由第二种初等变换与第三种初等变换可以推出第一种初等变换。

。

如果

入二

,

且存在

上

二方法与例子

、

维非零向量使得,

下面的定理与结论引自文献〔〕定理复数域上任意的,

七

入毛

阶矩阵,一

都与一’

则称入为征值

的一个特征值而七称为属于特。

,

第15章 求矩阵特征值和特征向量

幂 法

幂法规范化算法

1. 输入矩阵A、初始向量u，误差eps 2. k?1

3. 计算V(k) ?Au(k-1)

4. mk ?max(V), mk-1 ?max(V) 5. uk ? V(k)/mk

(1)

6. 如果| mk - mk-1|

注：如上算法中的符号max(V)表示取向量V中绝对值最大的分量。本算法使用了数据规范化处理技术以防止计算过程中出现益出错误。

(k)

(k-1)

(0)

规范化幂法程序

Clear[a,u,x];

a=Input[\系数矩阵A=\；

u=Input[\初始迭代向量u(0)=\； n= Length[u];

eps= Input[\误差精度eps =\；

nmax=Input[“迭代允许最大次数nmax=”]; fmax[x_]:=Module[{m=0,m1,m2},

Do[m1=Abs[x[[k]]];

If[m1>m,m2=x[[k]];m=m1], {k,1,Length[x]}]; m2] v=a.u; m0=fmax[

第五章 求矩阵特征值与特征向量

n阶方阵A的n个特征值就是其特征方程

det(A??I)?0

的n个根，方程A属于特征值?的特征向量x是线性方程组

Ax??x

的非零解。本章讨论求方阵A的特征值和特征向量的两个常用的数值方法。以及求实对称矩阵特征值的对分法。

5.1 幂 法

在实际问题中，矩阵的按模最大特征根起着重要的作用。例如矩阵的谱半径即矩阵的按模最大特征根的值，它决定了迭代矩阵是否收敛。本节先讨论求实方阵的按模最大特征根的常用迭代法：幂法。

5.1.1幂法的基本思想

幂法是求实方阵A按模最大特征值及其特征向量的一种迭代方法。它的基本思想是：先任取非零初始向量x0，然后作迭代序列

xk?1?Axk，k?0,1,??? （5。1）

再根据k增大时，xk各分量的变化规律：按模最大的特征向量会愈来愈突出，从而可求出方阵A的按模最大特征值及其特征向量。

先看一个计算实例。 例1 设矩阵

?1A???22?? 1?用特征方程容易求得A的两个特征值为

?1??1，?2?3

下面用幂法来计算，取初始向量x0??1,0?，计算向量序列 xk?1?Axk，k

方阵的特征值与特征向量

第三章 矩阵的特征值与特征向量3.1 方阵的特征值与特征向量 3.2 矩阵的对角化

方阵的特征值与特征向量

第一节 方阵的特征值与特征向量3.1.1 特征值与特征向量的概念 3.1.2 特征值与特征向量的性质

方阵的特征值与特征向量

矩阵的特征值与特征向量定义

设 A是 n阶 方 阵 。 如 果 n维 非 零 向 量 ξ 和 数 λ 满 足

Aξ = λξ称 λ是 矩 阵 的 特 征 值 ， 称 ξ 是 矩 阵 A的 对 应 特 征 值 λ 的 特 征 向 量

方阵的特征值与特征向量

例

2 1 1 A = 4 0 2 3 2 4

1 ξ1 = 2 1

2 ξ2 = 1 3

验证ξ1,ξ 2是否为A的特征向量。解

2 1 1 1 3 1 Aξ1 = 4 0 2 2 = 6 = 3 2 = 3ξ1 3 3 2 4 1 1

2 1 1 2 6 Aξ 2 =

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2.5 特征值与特征向量

1．特征值与特征向量的定义

设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A的一个特征值，而α称为A的属于特征值λ的一个特征向量．

2．特征多项式的定义

a

设A＝

c

λ－a －b 2

是一个二阶矩阵，λ∈R，我们把行列式f(λ)＝ ＝λ－(a＋d)λd －c λ－d

b

＋ad－bc称为A的特征多项式．

3．特征值与特征向量的计算 设λ是二阶矩阵A＝

a

c

d

b

的特征值，α为λ的特征向量，求λ与α的步骤为：

λ－a －b 2

第一步：令矩阵A的特征多项式f(λ)＝ ＝λ－(a＋d)λ＋ad－bc＝0，求出λ

－c λ－d

的值．

第二步：将λ的值代入二元一次方程组

x0 x0 λ－a x－by＝0， 得到一组非零解 ，于是非零向量 即为矩阵A的属于特征

y0 y0 －cx＋ λ－d y＝0，

值λ的一个特征向量．

4．Anα(n∈N*)的简单表示 (1)设二阶矩阵A＝ λnα(n∈N*)．

(2)设λ1，λ2是二阶矩阵A的两个不同特征值，α，β是矩阵A的分别属于特征值λ1，λ2

a

c

，α是矩阵A的属于

方阵的特征值与特征向量

第三章 矩阵的特征值与特征向量3.1 方阵的特征值与特征向量 3.2 矩阵的对角化

方阵的特征值与特征向量

第一节 方阵的特征值与特征向量3.1.1 特征值与特征向量的概念 3.1.2 特征值与特征向量的性质

方阵的特征值与特征向量

矩阵的特征值与特征向量定义

设 A是 n阶 方 阵 。 如 果 n维 非 零 向 量 ξ 和 数 λ 满 足

Aξ = λξ称 λ是 矩 阵 的 特 征 值 ， 称 ξ 是 矩 阵 A的 对 应 特 征 值 λ 的 特 征 向 量

方阵的特征值与特征向量

例

2 1 1 A = 4 0 2 3 2 4

1 ξ1 = 2 1

2 ξ2 = 1 3

验证ξ1,ξ 2是否为A的特征向量。解

2 1 1 1 3 1 Aξ1 = 4 0 2 2 = 6 = 3 2 = 3ξ1 3 3 2 4 1 1

2 1 1 2 6 Aξ 2 =

第四章 矩阵的特征值和特征向量

60??4??并判断它能否相似对角化。

例1 求下列矩阵的特征值与特征向量A??3?50，若能，

?????3?61??求可逆阵P，使PAP??（对角阵）。

例2 已知三阶方阵A的三个特征值为?2,3,4，则A的特征值为_______，A的特征值为_______，A 的特征值为_______，A?3A?2E的特征值为_______

*?1T?12?001???例3 设矩阵A?x1y 有三个线性无关的特征向量，则x,y应满足条件_______ ????100???200??200?????例5 已知矩阵A?002与B?0y0相似，则x?______y?______ ???????00?1???01x??例6 设n阶方阵A满足A?3A?2I?0，求A的特征值

2?211????1例7 已知向量??(1,k,1)T是矩阵A?121的逆矩阵A的特征向量，求常数k

????112??例8 设A为非零方阵，且A?0 (m为某自然数)，证明：A不能与对角阵相似 例9 设n阶方阵A满足A?7A?10I?0，求证：A相似于一个对角矩阵

结

2m论 总结

1

关于矩阵AB和BA的特征值与特征向量的讨论

福建农林大学 尤天革

一、特征值与特征向量的概念

1、特征值与特征向量定义：设V是数域F上的n维向量空间，?为其线性变换，A是?在基??i?下的方阵表示。若λ∈F及非零向量?∈V使

??=λ? 或Ax=λx

（x是?在基??i?下的坐标列），则称λ为?或A的特征值或特征根，?称为?的属于λ的特征

向量，x称为A的特征向量。

2、结论：设?是数域F上的线性变换，A是线性变换?在基?1，?2，…，?n下的矩阵，则线性

变换?与其对应的n阶矩阵A有相同的特征值，且n阶矩阵A的特征向量X是?的特征向量在基?1，?2，…，?n下的坐标。

特征值与特征向量是本书教学的一个中心，它是本书前面所学知识的一个应用，有关

特征值与特征向量的一些习题的证法或求法应当是前面所学的总结。下面举6个例子说明。

二、特征值与特征向量的几个例子

例1 试证：当n阶方阵A、B均为对称阵时，AB与BA有相同的特征值。

证明1：由特征多项式︱AB－λE︱=︱(AB??E)'︱=︱B'A'??E︱=︱BA－λE︱ 于是AB与BA有相同的特征多项式，从而它们有相同的特征值。 证明2：已证明过，方阵与它的转置方阵有相同的特征

关于矩阵AB和BA的特征值与特征向量的讨论

福建农林大学 尤天革

一、特征值与特征向量的概念

1、特征值与特征向量定义：设V是数域F上的n维向量空间，?为其线性变换，A是?在基??i?下的方阵表示。若λ∈F及非零向量?∈V使

??=λ? 或Ax=λx

（x是?在基??i?下的坐标列），则称λ为?或A的特征值或特征根，?称为?的属于λ的特征

向量，x称为A的特征向量。

2、结论：设?是数域F上的线性变换，A是线性变换?在基?1，?2，…，?n下的矩阵，则线性

变换?与其对应的n阶矩阵A有相同的特征值，且n阶矩阵A的特征向量X是?的特征向量在基?1，?2，…，?n下的坐标。

特征值与特征向量是本书教学的一个中心，它是本书前面所学知识的一个应用，有关

特征值与特征向量的一些习题的证法或求法应当是前面所学的总结。下面举6个例子说明。

二、特征值与特征向量的几个例子

例1 试证：当n阶方阵A、B均为对称阵时，AB与BA有相同的特征值。

证明1：由特征多项式︱AB－λE︱=︱(AB??E)'︱=︱B'A'??E︱=︱BA－λE︱ 于是AB与BA有相同的特征多项式，从而它们有相同的特征值。 证明2：已证明过，方阵与它的转置方阵有相同的特征