高等数学点到直线的垂线方程

§7.8 空间直线及其方程一、空间直线的一般方程 二、空间直线的对称式方程与参数方程方向向量、直线的对称式方程、直线的参数方程

三、两直线的夹角两直线的夹角及夹角余弦、两直线平行与垂直的条件

四、直线与平面的夹角直线与平面的夹角、夹角正弦 直线与平面平行与垂直的条件

五、杂例平面束

一、空间直线的一般方程空间直线L可以看作是两个平面 1和 2的交线. 如果两个相交平面 1和 2的方程分别为 A 1x B 1y C 1z D 1 0和A 2x B 2y C 2z D 2 0, z 那么直线L上的任一点的坐标应满足方程组 A1 x B1 y C1 z D1 0, A2 x B2 y C2 z D2 0.

1L

2

反过来，如果点M不在直线 L 上， 那么它不可能满足上述方程组.因此， 直线L可以用上述方程组来表示. 上述方程组叫做空间直线的一般方程. x O y

二、空间直线的对称式方程与参数方程方向向量： 如果一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量就叫做这 条直线的方向向量. z s

O x

y

二、空间直线的对称式方程与参数方程方向向量： 如果一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量就叫做这 条直线

§7.8 空间直线及其方程一、空间直线的一般方程 二、空间直线的对称式方程与参数方程方向向量、直线的对称式方程、直线的参数方程

三、两直线的夹角两直线的夹角及夹角余弦、两直线平行与垂直的条件

四、直线与平面的夹角直线与平面的夹角、夹角正弦 直线与平面平行与垂直的条件

五、杂例平面束

一、空间直线的一般方程空间直线L可以看作是两个平面 1和 2的交线. 如果两个相交平面 1和 2的方程分别为 A 1x B 1y C 1z D 1 0和A 2x B 2y C 2z D 2 0, z 那么直线L上的任一点的坐标应满足方程组 A1 x B1 y C1 z D1 0, A2 x B2 y C2 z D2 0.

1L

2

反过来，如果点M不在直线 L 上， 那么它不可能满足上述方程组.因此， 直线L可以用上述方程组来表示. 上述方程组叫做空间直线的一般方程. x O y

二、空间直线的对称式方程与参数方程方向向量： 如果一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量就叫做这 条直线的方向向量. z s

O x

y

二、空间直线的对称式方程与参数方程方向向量： 如果一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量就叫做这 条直线

第十二章 微分方程

§ 1 微分方程的基本概念

1、由方程x2-xy+y2=C所确定的函数是方程（ ）的解。 A. (x-2y)y?=2-xy B.(x-2y)y?=2x-y C.(x-2)dx=(2-xy)dy D.(x-2y)dx=(2x-y)dy

2、曲线族y=Cx+C2 (C为任意常数) 所满足的微分方程 （ ） 4.微分方程y?= A.dy?dx1写成以

2x?yy为自变量，x为函数的形式为（ ）

1 C. x?=2x-y D. y?=2x-y 2x?y12x?y B.dx?dy§2 可分离变量的微分方程

1.方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0是（ ）

A.可分离变量的微分方程 B.一阶微分方程的对称形式， C.不是微分方程 D.不能变成

dxQ(x,y)?? dyP(x,y)2、方程xy?-ylny=0的通解为（ ）

A y=ex B. y=Cex C.y=ecx D.y=e

张喜林制

2.2.4 点到直线的距离

教材知识检索

考点知识清单

1．点到直线的距离公式设P(x1,y1)是平面上一点，直线l:Ax By C 0(AB不同时为零），则P到L的距离d

2．平行线之间的距离公式

两条平行线l1:Ax By C1 0与l2:Ax By C2 0（A、B不同时为零）之间的距离d 要点核心解读

1． 点到直线的距离

点P(x1,y1)到直线Ax By C 0的距离

d |Ax1 By1 C|

A B22

(1)如果给出的方程不是一般式，应先将方程化为一般式方程．

(2)若点P在直线上，点P到直线的距离为零，距离公式仍然成立．

(3)求点到直线的距离的计算步骤：

①给点的坐标赋值：x1 ?,y1 ?,

②给A、B、C赋值：A ?,B ?,C ?; ③计算d |Ax1 By1 C|

A B22;

④给出d的值．

(4)点到几种特殊直线的距离．

①点P(x0,y0)到x轴的距离d

y0|;

②点P(x0,y0)到y 轴的距离d |x0|;

③点P(x0,y0)到直线y a的距离d |y0 a|;

④点P(x0,y0)到直线x a的距离d |x0 a|.

2．两条平行直线间的距离

两条平行直线l1:Ax By C1 0与l2:Ax By C2 0的距离为

d |C1 C

章节 第七章 微分方程 §1 微分方程的基本概念 §2可分离变量微分方程 课时 2 教 学 掌握微分方程的基本概念，可分离变量微分方程的解法 目 的 教学 重点 及 突出 方法 可分离变量微分方程的解法 教学 难点 及 突破 方法 可分离变量微分方程的解法 相关 参考 资料

《高等数学（第三册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社 《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社 教学思路、主要环节、主要内容 7.1 微分方程的基本概念 在许多科技领域里，常会遇到这样的问题： 某个函数是怎样的并不知道，但根据科技领域的普遍规律，却可以知道这个未知函数及其导数与自变量之间会满足某种关系。下面我们先来看一个例子： 例题：已知一条曲线过点(1,2)，且在该直线上任意点P(x,y)处的切线斜率为2x，求这条曲线方程 解答：设所求曲线的方程为y=y(x)，我们根据导数的几何意义，可知y=y(x)应满足方程： 我们发现这个方程中含有未知函数y的导数。这里我们先不求解。 微分方程的概念 我们把含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程。 在一个微分方程中所出

章节 第七章 微分方程 §1 微分方程的基本概念 §2可分离变量微分方程 课时 2 教 学 掌握微分方程的基本概念，可分离变量微分方程的解法 目 的 教学 重点 及 突出 方法 可分离变量微分方程的解法 教学 难点 及 突破 方法 可分离变量微分方程的解法 相关 参考 资料

《高等数学（第三册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社 《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社 教学思路、主要环节、主要内容 7.1 微分方程的基本概念 在许多科技领域里，常会遇到这样的问题： 某个函数是怎样的并不知道，但根据科技领域的普遍规律，却可以知道这个未知函数及其导数与自变量之间会满足某种关系。下面我们先来看一个例子： 例题：已知一条曲线过点(1,2)，且在该直线上任意点P(x,y)处的切线斜率为2x，求这条曲线方程 解答：设所求曲线的方程为y=y(x)，我们根据导数的几何意义，可知y=y(x)应满足方程： 我们发现这个方程中含有未知函数y的导数。这里我们先不求解。 微分方程的概念 我们把含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程。 在一个微分方程中所出

AnnalsofMathematics,157(2003),919–938

LargeRiemannianmanifolds

whichare exible

ByA.N.Dranishnikov,StevenC.Ferry,andShmuelWeinberger*

Abstract

Foreachk∈Z,weconstructauniformlycontractiblemetriconEuclideanspacewhichisnotmodkhypereuclidean.WealsoconstructapairofuniformlycontractibleRiemannianmetricsonRn,n≥11,sothattheresultingmani-foldsZandZ areboundedhomotopyequivalentbyahomotopyequivalencewhichisnotboundedlyclosetoahomeomorphism.Weshowthatfortheself(Z)→K (C (Z))fromlocally -spacestheC -algebraassemblymapK

niteK-homologytotheK-th

第四章 常微分方程

§4.1 基本概念和一阶微分方程

（甲） 内容要点 一、基本概念

1、 常微分方程和阶 2、解、通解和特解3、初始条件4、齐次线性方程和非齐次线性方程 二、变量可分离方程及其推广

1、

dy

p(x)Q(y)dx

(Q(y) 0) 2、齐次方程：

dy dx

y f x

三、一阶线性方程及其推广

1、

dydy

P(x)y Q(x) 2、 P(x)y Q(x)y dxdx

( 0,1)

四、全微分方程及其推广（数学一）

1、 P(x,y)dx Q(x,y)dy 0,满足

Q P

x y

2、 P(x,y)dx Q(x,y)dy 0,五、差分方程（数学三） （乙）典型例题 例1、求y x

2

2

Q p (RQ) (RP)

但存在R(x,y)，使 x y x y

dydy

xy的通解。 dxdx

解：y (x xy)

22

dy

0dx

y

dyy2 x dxxy x2 y

1 x

2

yduu2

令 u,则u x udx x(1 u)du 0

xdxu 11 udx

du u x C1 ln|xu| u C1

xu e

例2

C1 u

ce, y

编号：

《高等数学（一）》课 程 自 学 辅 导 材 料 配套教材： 《高等数学（一）微积分》 主 编： 章学诚 出 版 社： 武汉大学出版社 版 次： 2004年版 适应层次： 本 科 内 部 使 用 2012年9月 ●●●●●

目 录 第一部分 自学指导 第1章：函数及其图形…………………………………………………………………3 第2章：极限和连续……………………………………………………………………3 第3章：一元函数的导数和微分………………………………………………………3 第4章：微分中值定理和导数的应用…………………………………………………3 第5章：一元函数积分学………………………………………………………………3 第6章：多元函数微积分………………………………………………………………3 第二部分 复习思考题 一．单选题 ……………………………………………………………………………4 二．填空题 ……………………………………………………………………………24 三．计算题 ………………………

教学设计:点到直线的距离公式 设计者：卢伟峰

一、教学分析:

1、教学内容的分析: 点到直线的距离公式是《平面解析几何》第一章最后一节内容，是在研究了平面内直线的方程，两直线的位置关系的基础上的一个重要内容，它既是第一章的终点部分，又是第二章解决一些轨迹问题的基础，同时，这节课也是培养学生迁移，联想及探索创新能力的好素材。

2、学生的分析：学生刚学完两条直线的位置关系，在处理一些简单问题上有了一个明显的认识，但在较复杂的应用方面还不够熟练，所以进行必要的引导很有必要

二、教学目标：（依据教纲和本节教材的特点确定） （1）知识目标：A：理解点到直线距离公式的推导过程。

B：掌握点到直线的距离公式。

（2）能力目标：培养学生迁移，联想能力，逻辑思维能力，数

形结合能力。

（3） 情感目标：通过多种手法，进行数学的美学教育，提高学生

的学习积极性。

三、教学重点：点到直线的距离公式。

四、教学难点：引导学生迁移，联想，创新思维，找出证明途径。 五、教学关键：教师必须抓住学生思维的火花，让学生的内在动机外

显行为化。

六、教法分析:（遵循“教师为主导，学生为主体”的原则） 1、教师必