圆锥曲线蝴蝶定理高考
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圆锥曲线中的蝴蝶定理及其应用_3
圆锥曲线中的蝴蝶定理及其应用
金荣生(上海市市北中学 200071)
2003年北京高考数学卷第18(III )题考查了椭圆内的蝴蝶定理的证明,本文给出了一般圆锥曲线的蝴蝶定理的两种形式,并由它们得到圆锥曲线的若干性质.
定理1:在圆锥曲线中,过弦AB 中点M 任作两条弦CD 和EF ,直线CE 与DF 交直线AB 于P ,Q ,则有MQ MP =. 证明:如图1,以M 为原点,AB 所在的直线为y 轴,建立直角坐标系.
设圆锥曲线的方程为022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax (*),设A (0,t ),B (0,-t ),知t ,-t 是02=++F Ey Cy 的两个根,所以0=E .
若CD ,EF 有一条斜率不存在,则P ,Q 与A ,B 重合,结论成立.
若CD ,EF 斜率都存在,设C (x 1,k 1x 1), D (x 2,k 1x 2),E (x 3,k 2x 3), F (x 4,k 2x 4),P (
,
p
)
,
Q
(
,
q
)
,
111131132)(:
x k x x x x x k x k y CE +-?--=,1321
31111131132)
()0(x x k k x x x k x x x x k x k p --
圆锥曲线中的蝴蝶定理及其应用_3
圆锥曲线中的蝴蝶定理及其应用
金荣生(上海市市北中学 200071)
2003年北京高考数学卷第18(III )题考查了椭圆内的蝴蝶定理的证明,本文给出了一般圆锥曲线的蝴蝶定理的两种形式,并由它们得到圆锥曲线的若干性质.
定理1:在圆锥曲线中,过弦AB 中点M 任作两条弦CD 和EF ,直线CE 与DF 交直线AB 于P ,Q ,则有MQ MP =. 证明:如图1,以M 为原点,AB 所在的直线为y 轴,建立直角坐标系.
设圆锥曲线的方程为022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax (*),设A (0,t ),B (0,-t ),知t ,-t 是02=++F Ey Cy 的两个根,所以0=E .
若CD ,EF 有一条斜率不存在,则P ,Q 与A ,B 重合,结论成立.
若CD ,EF 斜率都存在,设C (x 1,k 1x 1), D (x 2,k 1x 2),E (x 3,k 2x 3), F (x 4,k 2x 4),P (
,
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,
Q
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,
111131132)(:
x k x x x x x k x k y CE +-?--=,1321
31111131132)
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圆锥曲线中设而不求(维达定理)
x2y2+=1的左、右焦点. 1、设F1、F2分别是椭圆54(Ⅰ)若P是该椭圆上的一个动点,求PF1?PF2的最大值和最小值;
(Ⅱ)是否存在过点A(5,0)的直线l与椭圆交于不同的两点C、D,使得|F2C|=|F2D|?
若存在,求直线l的方程;若不存在,请说明理由.
2、已知平面上一定点C(4,0)和一定直线l:x?1,P为该平面上一动点,作PQ?l,垂足为Q,且(PC?2PQ)(PC?2PQ)?0.
(1)问点P在什么曲线上?并求出该曲线的方程;
(2)设直线l:y?kx?1与(1)中的曲线交于不同的两点A、B,是否存在实数k,使
得以线段AB为直径的圆经过点D(0,-2)?若存在,求出k的值,若不存在,说明理由.
???????????? 1
x2?y2?1,双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点,而3、已知椭圆C1的方程为4C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点. (Ⅰ)求双曲线C2的方程;
(Ⅱ)若直线l:y?kx?2与椭圆C1及双曲线C2都恒有两个不同的交点,且l与C2
的两个交点A和B满足OA?OB?6(其中O为原点),求k的取值范围.
4、已知圆
2015高考数学(文)圆锥曲线
圆锥曲线
1. 【2015高考新课标1,文5】已知椭圆E的中心为坐标原点,离心率为
1,E的右焦点与2抛物线C:y2?8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|? ( ) (A)3 (B) 6 (C) 9 (D)12
x2y22.【2015高考重庆,文9】设双曲线2?2?1(a?0,b?0)的右焦点是F,左、右顶点分别
ab是A1,A2,过F做A1A2的垂线与双曲线交于B,C两点,若A1B?A2C,则双曲线的渐近线的斜率为( ) (A)?12 (B) ? (C) ?1 (D) ?2 222y2?1的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线的3.【2015高考四川,文7】过双曲线x?3两条渐近线于A,B两点,则|AB|?( )
(A)
43 (B) 23 (C) 6 (D) 43 34.【2015高考陕西,文3】已知抛物线y2?2px(p?0)的准线经过点(?1,1),则抛物线焦点坐标为( )
A.(?1,0) B.(1,0) C
2011高考圆锥曲线解答题
江西理20. (本小题满分13分)
x2y2
P(x0,y0)(x0 a)是双曲线E:2 2 1(a 0,b 0)上一点,M,N分别是双曲线E的左、右
ab
顶点,直线PM,PN的斜率之积为
1
. 5
(1)求双曲线的离心率;
(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A、B两点,O为坐标原点,C为双曲线上一点,
满足OC OA OB,求 的值.
---
---
---
x2y2
【解析】(1)点P(x0,y0)(x0 a)是双曲线E:2 2 1(a 0,b 0)上,有
ab
xyy0y01
02 02 1,由题意又有 ,可得a2 5b2,
x0 ax0 a5ab
c2 a2 b2 6b2
则e
22
c
a5
x2 5y2 5b2
22
(2)联立 ,得4x 10cx 35b 0,设A(x1,y1),B(x2,y2)
y x c
5c
x x 12 --- --- --- --- x3 x1 x2 2
OC OA OBOC (x,y)则 ,设,,即 332
y3 y1 y2 xx 35b
12 4
又C为双曲线上一点,即x3 5y3 5b2,有( x1 x2) 5( y1 y2) 5b
2
2
2
22
化简得: 2(x1 5y1) (x2 5y2) 2 (x1x2
圆锥曲线利用点的坐标解决圆锥曲线问题
第九章 利用点的坐标处理解析几何问题 解析几何
利用点的坐标处理解析几何问题
有些解析几何的题目,问题的求解不依赖于传统的“设点,联立,消元,韦达定理整体代入”步骤,而是能够计算出交点的坐标,且点的坐标并不复杂,然后以点的坐标作为核心去处理问题。 一、基础知识:
1、韦达定理的实质:在处理解析几何的问题时,韦达定理的运用最频繁的,甚至有的学生将其视为“必备结构”,无论此题是否有思路,都先联立方程,韦达定理。然而使用“韦达定理”的实质是什么?实质是“整体代入”的一种方式,只是因为在解析几何中,一些问题的求解经常与x1?x2,x1x2,y1?y2,y1y2相关,利用“韦达定理”可进行整体代入,可避免因为这几个根的形式过于复杂导致运算繁琐。所以要理解“韦达定理”并不是解析几何的必备工具,只是在需要进行整体代入时,才运用的一种手段。 2、利用点坐标解决问题的优劣:
(1)优点:如果能得到点的坐标,那么便可应对更多的问题,且计算更为灵活,不受
x1?x2,x1x2,y1?y2,y1y2形式的约束
(2)缺点:有些方程的根过于复杂(例如用求根公式解出的根),从而使得点
2018年高考圆锥曲线大题
2018年高考圆锥曲线大题
一.解答题(共13小题)
1.已知斜率为k的直线l与椭圆C:(1)证明:k<﹣;
(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且并求该数列的公差.
2.已知斜率为k的直线l与椭圆C:(1)证明:k<﹣;
(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且
第1页(共22页)
+=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0).
++=.证明:||,||,||成等差数列,
+=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0).
++=,证明:2||=||+||.
3.双曲线﹣=1,F1、F2为其左右焦点,C是以F2为圆心且过原点的圆.
(1)求C的轨迹方程;
(2)动点P在C上运动,M满足
4.设椭圆C:
+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).
=2
,求M的轨迹方程.
(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程; (2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.
第2页(共22页)
5.已知椭圆M:+=1(a>b>0)的离心率为,焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有
两个不同的交点A,B. (Ⅰ)求椭圆M的方
文科圆锥曲线
高考数学练习题---文科圆锥曲线
一、选择题
x2y21.【2012高考新课标文4】设F1F2是椭圆E:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点,P为直
ab线x?
3a上一点,?F2PF1是底角为30的等腰三角形,则E的离心率为( ) 212??(A) (B) (C) (D)
23??【答案】C
【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思想,是简单题.
0【解析】∵△F2PF1是底角为30的等腰三角形, ∴?PF2A?600,|PF2|?|F1F2|?2c,∴|AF2|=c,∴2c?33a,∴e=,故选C. 242.【2012高考新课标文10】等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线
y2?16x的准线交于A,B两点,AB?43;则C的实轴长为( )
(A)2 (B) 22 (C)? (D)?
【答案】C
【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系,是简单题. 【解析】由题设知抛物线的准线为:x?4,设等轴双曲线方程为:x?y?a,将x?4代入等轴双曲线方程解得y=?16?a2,∵
2018年高考圆锥曲线大题
2018年高考圆锥曲线大题
一.解答题(共13小题)
1.已知斜率为k的直线l与椭圆C:(1)证明:k<﹣;
(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且并求该数列的公差.
2.已知斜率为k的直线l与椭圆C:(1)证明:k<﹣;
(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且
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+=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0).
++=.证明:||,||,||成等差数列,
+=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0).
++=,证明:2||=||+||.
3.双曲线﹣=1,F1、F2为其左右焦点,C是以F2为圆心且过原点的圆.
(1)求C的轨迹方程;
(2)动点P在C上运动,M满足
4.设椭圆C:
+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).
=2
,求M的轨迹方程.
(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程; (2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.
第2页(共22页)
5.已知椭圆M:+=1(a>b>0)的离心率为,焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有
两个不同的交点A,B. (Ⅰ)求椭圆M的方
圆锥曲线利用点的坐标解决圆锥曲线问题
第九章 利用点的坐标处理解析几何问题 解析几何
利用点的坐标处理解析几何问题
有些解析几何的题目,问题的求解不依赖于传统的“设点,联立,消元,韦达定理整体代入”步骤,而是能够计算出交点的坐标,且点的坐标并不复杂,然后以点的坐标作为核心去处理问题。 一、基础知识:
1、韦达定理的实质:在处理解析几何的问题时,韦达定理的运用最频繁的,甚至有的学生将其视为“必备结构”,无论此题是否有思路,都先联立方程,韦达定理。然而使用“韦达定理”的实质是什么?实质是“整体代入”的一种方式,只是因为在解析几何中,一些问题的求解经常与x1?x2,x1x2,y1?y2,y1y2相关,利用“韦达定理”可进行整体代入,可避免因为这几个根的形式过于复杂导致运算繁琐。所以要理解“韦达定理”并不是解析几何的必备工具,只是在需要进行整体代入时,才运用的一种手段。 2、利用点坐标解决问题的优劣:
(1)优点:如果能得到点的坐标,那么便可应对更多的问题,且计算更为灵活,不受
x1?x2,x1x2,y1?y2,y1y2形式的约束
(2)缺点:有些方程的根过于复杂(例如用求根公式解出的根),从而使得点