全概率和贝叶斯公式的应用

3.全概率公式和贝叶斯公式

【教学内容】：高等教育出版社浙江大学盛骤，谢式千，潘承毅编的《概率论与数理统计》 第一章第§5的条件概率中的全概率公式和贝叶斯公式

【教材分析】：前面讲到的条件概率是概率论的基本概念，下一节的独立性和条件概率关系紧密，而乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式是与条件概率有密切关系的公式，因此掌握此概念及计算公式为后续学习打下基础。 【学情分析】： 1、知识经验分析

前一节已经学习了条件概率和乘法公式，学生已经掌握了事件的概率的基本计算方法。

2、学习能力分析

学生虽然具备一定的基础知识和理论基础，但概念理解不透彻，解决问题的能力不高，方法应用不熟练，知识没有融会贯通。 【教学目标】： 1、知识与技能

掌握全概率公式和贝叶斯公式以及计算。 2、过程与方法

由本节内容的特点，教学中采用启发式教学法，应用实际问题逐步推导出全概率公式和贝叶斯公式。

3、情感态度与价值观

通过学习，培养学生学习数学的良好思维习惯和兴趣，树立学生善于创新的思维品质和严谨的科学态度。 【教学重点、难点】： 重点：掌握全概率公式和贝叶斯公式并会适当的应用。 难点：全概率公式

全概率公式和贝叶斯公式

测习题

The latest revision on November 22, 2020

1.设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第1,2车间生产的成品比例为2:3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率。

解：设B={从仓库中随机提出的一台是合格品}

A i ={提出的一台是第i 车间生产的}，i=1,2

则有分解B=A 1B ∪A 2B

由题意P(A1)=2/5,P(A2)=3/5,P(B|A1)=0.85,P(B|A2)=0.88

由全概率公式P(B)=P(A 1)P(B|A 1)+P(A 2)P(B|A 2)=0.4*0.85+0.6*0.88=0.868.

2.盒中有a 个红球，b 个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c 个，再从盒中第二次抽取一球，求第二次抽出的是黑球的概率。

解：设A={第一次抽出的是黑球}，B={第二次抽出的是黑球}，则B AB AB =+， 由全概率公式()()()()()

P B P A P B A P A P B A =+， 由题意(),(|),(),(|)b b

令狐文艳

令狐文艳 1.设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第1,2车间生产的成品比例为2:3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率。

令狐文艳

解：设B={从仓库中随机提出的一台是合格品}

A i ={提出的一台是第i 车间生产的}，i=1,2

则有分解B=A 1B ∪A 2B

由题意P(A1)=2/5,P(A2)=3/5,P(B|A1)=0.85,P(B|A2)=0.88 由全概率公式P(B)=P(A 1)P(B|A 1)+P(A 2)P(B|A 2)=0.4*0.85+0.6*0.88=0.868.

2. 盒中有a 个红球，b 个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c 个，再从盒中第二次抽取一球，求第二次抽出的是黑球的概率。

解：设A={第一次抽出的是黑球}，B={第二次抽出的是黑球}，则B AB AB =+， 由全概率公式

()()()()()P B P A P B A P A P B A =+， 由题意

(),(|),(),(|)b b c a b P A P B A P A P B A a b a b c a b

令狐文艳

令狐文艳 1.设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第1,2车间生产的成品比例为2:3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率。

令狐文艳

解：设B={从仓库中随机提出的一台是合格品}

A i ={提出的一台是第i 车间生产的}，i=1,2

则有分解B=A 1B ∪A 2B

由题意P(A1)=2/5,P(A2)=3/5,P(B|A1)=0.85,P(B|A2)=0.88 由全概率公式P(B)=P(A 1)P(B|A 1)+P(A 2)P(B|A 2)=0.4*0.85+0.6*0.88=0.868.

2. 盒中有a 个红球，b 个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c 个，再从盒中第二次抽取一球，求第二次抽出的是黑球的概率。

解：设A={第一次抽出的是黑球}，B={第二次抽出的是黑球}，则B AB AB =+， 由全概率公式

()()()()()P B P A P B A P A P B A =+， 由题意

(),(|),(),(|)b b c a b P A P B A P A P B A a b a b c a b

浅谈贝叶斯公式及其应用

摘 要

贝叶斯公式是概率论中很重要的公式，在概率论的计算中起到很重要的作用。本文通过对贝叶斯公式进行分析研究，同时也探讨贝叶斯公式在医学、市场预测、信号估计、概率推理以及工厂产品检查等方面的一些实例，阐述了贝叶斯公式在医学、市场、信号估计、推理以及产品检查中的应用。为了解决更多的实际问题，我们对贝叶斯公式进行了推广，举例说明了推广后的公式在实际应用中所适用的概型比原来的公式更广。从而使我们更好地了解到贝叶斯公式存在于我们生活的各个方面、贝叶斯公式在我们的日常生活中非常重要。

关键词：贝叶斯公式 应用 概率 推广

第一章 引言

贝叶斯公式是概率论中重要的公式，主要用于计算比较复杂事件的概率,它实质上是加法公式和乘法公式的综合运用。贝叶斯公式出现于17世纪，从发现到现在，已经深入到科学与社会的许多个方面。它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率.贝叶斯公式在实际中生活中有广泛的应用，它可以帮助人们确定某结果（事件

B）发生的最可能原因。

目前，社会在飞速发展，市场竞争日趋激烈，决策者必须综合考察已往的信息及现状从而作出综合判断，决策概率分析越来越显示其重要性。其中贝叶斯公式主要用于处理先验概率与后验概率

基于贝叶斯概率模型的机器学习

（应用于水华预测）

姓 名：白正彪

学 院：自动化学院

学 号： 2010203147

机器学习总结及朴素贝叶斯在水华预

警中的应用

一 机器学习总结

机器学习(Machine Learning)是研究计算机怎样模拟或实现人类的学习行为，以获取新的知识或技能，重新组织已有的知识结构使之不断改善自身的性能。他是人工智能的核心，是使计算机具有智能的根本途径，其应用遍及人工智能的各个领域，他主要使用归纳、综合而不是演译。学习能力是智能行为的一个非常重要的特征，但至今对学习的机理尚不清晰。人们曾对机器学习给出各种定义。H.A.Simon认为，学习是系统所作的适应性变化，使得系统在下一次完成同样或类似的任务时更为有效。R.s.Michalski认为，学习是构造或修改对于所经历事物的表示。从事专家系统研制的人们则认为学习是知识的获取。这些观点各有侧重，第一种观点强调学习的外部行为效果，第二种则强调学习的内部过程，而第三种主要是从知识工程的实用性角度出发的。

机器学习在人工智能的研究中具有十分重要的地位。一个不具有学习能力的智能系统难以称得上是个真正的智能系统，不过以往的智能系统都普遍缺少学习的能力。例如，他们遇

贝叶斯均衡及其应用

预备知识(共同知识) 静态博弈中的贝叶斯均衡 不完全信息下的古诺模型 用贝叶斯均衡解释混合策略均衡 显示原理 动态博弈中的贝叶斯均衡 信号传递博弈的精炼贝叶斯均衡 单一价格二手车模型 就业市场信号博弈 信息不完全条件下的囚徒困境问题

不完全信息博弈： 不完全信息意味着至少有一个参与人有多个类型。不完全 信息博弈是指、至少有一参与人不知道其他参与人的支付 函数。比如说, 你想去买件衣服时, 你并不清楚衣服的最低 价, 你和某人谈恋爱, 但在结婚前, 双方都是展现最好的一 面, 双方都不是很了解对方的很多品质, 等等, 这样的例子 举不胜举。在古代, 人们已经开始用到不完全信息博弈了。 比如在《三国演义》中, 周瑜伪造假降书, 诱骗曹操杀了蔡 摺、张允二将。曹操遂派蔡中、蔡和两兄弟假装降周瑜, 企图夺取东吴情报。周瑜识破曹操的诡计, 将计就计, 对黄 盖施以苦肉计。这一博弈中, 曹操只知道自己的部下蔡中、 蔡和是假降, 但不知道周瑜的情报周瑜知道蔡中、蔡和是 假降, 但曹操不知道周瑜知道自己是假降, 曹操不知道周瑜 已经识别了自己的计划。也就是说曹操的信息对周瑜的信 息是不完全的, 但周瑜很清楚曹操计谋, 于是周瑜就将计就 计。这

朴素贝叶斯分类

一、朴素贝叶斯分类方法描述

设样本集T有n个属性：A1,A2,....An，可能类别为m个：C1,C2,...,Cm，待分类样本为：

X?{x1,x2,...xn}，分别计算条件概率：P(Ci|X)?P(X|Ci)P(Ci)，（1）

P(X)则条件概率最大的P(Ci|X)对应的类Ci就是X的预测类。

在公式（1）中，计算等式左边的每个条件概率时，右边的分母相同，因此只需要计算分子，然后比较大小即可。其中P(Ci)?|Ci类|Ci类的样本数 ?（2）|T|训练集T中总的样本数另外，用朴素贝叶斯分类时还需假设各属性之间相互独立，此时：

P(X|Ci)?P(x1,x2,...,xn|Ci)?P(x1|Ci)P(x2|Ci)...P(xn|Ci)??P(xj|Ci)(3)

j?1n二、条件概率P(xj|Ci)的估计方法

1、 如果属性Aj为离散型随机变量，则条件概率

P(xj|Ci)?Ci类中属性Aj为xj的样本数Ci类的总样本数 （4）例1 表1是用于构造分类模型的训练集，包含14个样本和5个属性：

，它的取值有三个：Sunny（晴天）、Overcast（阴天）、Rain（下雨）； A1为Outlook（天气）

，它的取值有三个：Ho

通过提供图形化的方法来表示 和运算概率知识 ，贝 叶斯网络克服了基于规则 的 系统所具 有 的许多概念上和计算上的 困难 。贝 叶斯网络与统计技术相 结合 ，使得其在数据分析方面拥有了许多优点 ， 与规划挖掘 、决策树 、人工神 经网络 、密度估计 、分类 、回归 和聚类 等方法 相 比 ，贝 叶斯 网络 的优点 主要 体现在 ：

(1 )贝 叶斯 网络使 用 图形的方法描 述数据 间 的相互关系 ，语义 清晰 ，易 于理解 。 图形化 的知识 表示方法使得保持概率知识库的一致性和完整性变得容易 ，可以方便地针对条件的 改变进行网络模块的重新配置。

(2 )贝 叶斯网络易 于处理不完备数据集。对于传统标准的监督 学 习算法而言必 须知 道所有 可能的数据 输入 ， 如果缺少其中的 某一输入就会对建立的模型产生偏 差 ， 贝 叶斯网络的方法反映的是整 个数据 库 中数据间的概率关系模型 ， 缺少某 一数据变量仍 然 可以建立精 确 的模型 。

(3)贝 叶斯网络允许学习变量间的 因果关系 。在 以往 的数据分析中 ，一个问题 的 因果 关系在 干扰较多 时 ，系统就无法做 出精 确 的预测 。 而 这种 因果关系 已经包 含在 贝叶斯网络模型

数学期望：随机变量最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。又称期望或均值。它是简单算术平均的一种推广。例如某

城市有10万个家庭，没有孩子的家庭有1000个，有一个孩子的家庭有9万个，有两个孩子的家庭有6000个，有3个孩子的家庭有3000个， 则此城市中任一个家庭中孩子的数目是一个随机变量，记为X，它可取值0，1，2，3，其中取0的概率为0.01，取1的概率为0.9，取2的概率为0.06，取3的概率为0.03，它的数学期望为0×0.01＋1×0.9＋2×0.06＋3×0.03等于1.11，即此城市一个家庭平均有小孩1.11个，用数学式子表示为：E(X)=1.11。

也就是说，我们用数学的方法分析了这个概率性的问题，对于每一个家庭，最有可能它家的孩子为1.11个。

可以简单的理解为求一个概率性事件的平均状况。

各种数学分布的方差是：

1、 2、

一个完全符合分布的样本 这个样本的方差

概率密度的概念是：某种事物发生的概率占总概率(1)的比例,越大就说明密度越大。比如某地某次考试的成绩近似服从均值为80的正态分布，即平均分是

80分，由正态分布的图形知x=80时的函数值最大，即随机变量在80附近取值最密集，也即考试成绩在80分左右的人最