线性方程组的矩阵形式

高等代数课程设计,

**大学理学院

本科考查（课程论文）专用封面

学年学期：2019-2020学年第1学期

课程名称：高等代数

任课教师：**

论文/作业题目：《线性方程组及其矩阵解法》

年级专业：19数学类

姓名学号：************

提交时间：2019.12.15

评阅成绩：

评阅意见：

阅卷教师签名：2020年1月4日

高等代数课程设计,

运用矩阵解线性方程组

摘要

解方程是代数中一个基本的问题，对于多元一次方程组，用矩阵来求解及讨论其的是否有解，是否只有唯一解和多解之间的解的结构问题是一个相对简便和可行的办法。本文主要列出矩阵和多元线性方程组性质和概念，对其定理进行证明和讨论，然后找出定理的推论进行归纳总结。最后提出个人的思考与留下的疑问。

关键词：高等代数；线性方程组；矩阵；性质；证明；思考

Abstract

Solving equations is a basic problem in algebra. For multivariate linear equations, the matrix is used to solve and discuss whether there is a solution, whether there is only one

一、 用列主元素高斯削去法求解下述线性方程组：

?x1?13x2?2x3?34x4?13?2x?6x?7x?10x??22?1234 ??10x?x?5x?9x?141234????3x1?5x2?15x4??36程序：

function x=gaussa(a)

m=size(a); n=m(1); x=zeros(n,1); for k=1:n-1

[c,i]=max(abs(a(k:n,k))); q=i+k-1; if q~=k

d=a(q,:);a(q,:)=a(k,:);a(k,:)=d end

for i=k+1:n

a(i,:)=a(i,:)-a(k,:)*a(i,k)/a(k,k) end end

for j=n:-1:1

x(j)=(a(j,n+1)-a(j,j+1:n)*x(j+1:n))/a(j,j) end

执行过程：

>> a=[1 13 -2 -34 13;2 6 -7 -10 -22;-10 -1 5 9 14; -3 -5 0 15 -36] a =

-10 -1 5 9 14 2 6 -7 -10

线性方程组在现实中的应用

线性方程组在现实生活中的应用非常广泛的，不仅可以广泛地应用于工程学，计算机科学，物理学，数学，经济学，统计学，力学，信号与信号处理，通信，航空等学科和领域，同时也应用于理工类的后继课程，如电路、理论力学、计算机图形学、信号与系统、数字信号处理、系统动力学、自动控制原理等课程。 为了更好的运用这种理论，必须在解题过程中有意识地联系各种理论的运用条件，并根据相应的实际问题，通过适当变换所知，学会选择最有效的方法来进行解题，通过熟练地运用理论知识来解决数学得问题.

一、 线性方程组的表示

1.按照线性方程组的形式表示有三种 1）一般形式的表示

?a11x1?a12x2?...?a1nxn?b1??a21x1?a22x2?...?a2nxn?b2?...??ax?ax?...?ax?bn22nnnn?n11

2）向量形式：

x1?1?x2?2?...?xn?n??

3）矩阵形式的表示 ：

AX??,A???1,?2,...,?n?X??x1,x2,...,xn?T

?0特别地，当?AX???0时，AX??称为齐次线性方程组，而当?时，

称为非齐次线性方程组

2.按照次数分类又可分为两类 1）齐次线性方程组

第四章 线性方程组

1． 设A 为n 阶方阵，若2)(-=n A R ，则0=AX 的基础解系所含向量的个数是（ ）。

)(A 0个(即不存在) )(B 1个 )(C 2个 )(D n 个

2．如果n 元非齐次线性方程组b AX =的系数矩阵A 的秩小于n ，则（ ）。

)(A 方程组有无穷多个解 )(B 方程组有惟一解

)(C 方程组无解 )(D 不能断定解的情况

3．设33)(?=ij a A 满足条件：(1)ij ij A a =(3,2,1,=j i )，其中ij A 是元素ij

a 的代数余子式；(2) 133-=a ；(3) ||1A =，则方程组

b AX =，

T b )1,0,0(=的解是（ ）。

)(A T )2,5,3( )(B T )3,2,1( )(C T )1,0,0(- )(D T )1,0,1(-

4．设A 为n 阶奇异方阵，A 中有一元素ij a 的代数余子式0≠ij A ，则齐次线性方程组0=AX 的基础解系所含向量个数为（ ）。

)(A i 个 )(B j 个 )(C 1个 )(D n 个

数值分析第二次上机实习报告

——线性方程组迭代解法

一、问题描述

设 Hn = [hij ] ∈ Rn×n 是 Hilbert 矩阵, 即

hij=

对n = 2,3,4，…15, 1 i+j 1

1 x ∈Rn×n，及bn=Hnx，用SOR迭代法和共轭梯度法来求解，并与直取=

1

接解法的结果做比较。

二、方法描述

1. SOR迭代法

记H = D – L – U，SOR法的分量形式可以写成向量形式

x(k+1)=(1 ω)x(k)+ωD 1(b+Lx(k+1)+Ux(k))

(D ωL)x(k+1)=[(1 ω)D+ωU]x(k)+ωb

整理成

x(k+1)=Lwx(k)+ω(D ωL) 1b

其中，Lw为SOR法的迭代矩阵：

Lw=(D ωL) 1[(1 ω)D+ωU]

这相当于方程组Hx=b的系数矩阵分裂为H = M – N，其中

=M

N=1ω1(D ωL)

ω[(1 ω)D+ωU]

由此得到等价方程组x = M-1Nx+M-1b，利用它构造迭代法。

2. 共轭梯度法

梯度法通常的做法是先任意给定一个初始向量，然后确定一个搜索的方向和搜索步长，如此循环直到找到极小值。共轭梯度法是从整体来寻找最佳的搜索方向。它的第一步是取负梯度方向作为搜索方

常系数线性方程组基解矩阵的计算

董治军

（巢湖学院 数学系，安徽 巢湖 238000）

摘 要：微分方程组在工程技术中的应用时非常广泛的，不少问题都归结于它的求解问题，基解矩阵的存在和具体寻求是不同的两回事，一般齐次线性微分方程组的基解矩阵是无法通过积分得到的，但当系数矩阵是常数矩阵时，可以通过 方法求出基解矩阵，这时可利用矩阵指数expAt，给出基解矩阵的一般形式，本文针对应用最广泛的常系数线性微分方程组，结合微分方程，线性代数等知识，讨论常系数齐次线性微分方程的基解矩阵的几个一般的计算方法. 关键词；常系数奇次线性微分方程组；基解矩阵；矩阵指数

Calculation of Basic solution Matrix of Linear Homogeneous System with Constant

Coefficients

Zhijun Dong

(Department of Mathematics, Chaohu College Anhui, Chaohu)

Abstract: Differential equations application in engineering technology is very extensive

线性方程组解法的探究

摘 要线性方程组源自于生活中一些未知元素的一系列特定的关系而转化成的

一组数据关系。对其进行求解可以解决一些方案的设计问题，例如给以新品的开发的多种原料的成分设计提供多种不同的配方。本文将以多种方法对线性方程组求解，并讲诉线性方程组的类别。

关键词

齐次线性方程组 非齐次线性方程组 克拉默（Cramer）法则

Gauss消去法 广义逆矩阵 减号逆矩阵 增广矩阵 矩阵的初等行变换 矩阵的秩

引言

克莱姆法则，又译克拉默法则（Cramer's Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。它适用于变量和方程数目相等的线性方程组，是瑞士数学家克莱姆（1704-1752）于1750年，在他的《线性代数分析导言》中发表的。高斯消元法（或译：高斯消去法），是线性代数中的一个算法，可用来为线性方程组求解，求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。当用于一个矩阵时，高斯消元法会产生出一个“行梯阵式”。高斯消元法可以用在电脑中来解决数千条等式及未知数。不过，如果有过百万条等式时，这个算法会十分费时。一些极大的方程组通常会用迭代法来解决。亦有一些方法特地用来解决一些有特别排列的系数的方程组。广义逆的思想可追

3.1 方程组的逆矩阵解法及其MATLAB程序

3.1.3 线性方程组有解的判定条件及其MATLAB程序 判定线性方程组Am?nX?b是否有解的MATLAB程序

function [RA,RB,n]=jiepb(A,b)

B=[A b];n=length(b); RA=rank(A); RB=rank(B);zhica=RB-RA; if zhica>0,

disp('请注意：因为RA~=RB，所以此方程组无解.') return end

if RA==RB if RA==n

disp('请注意：因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解.') else

disp('请注意：因为RA=RB

例3.1.4 判断下列线性方程组解的情况.如果有唯一解，则用表 3-2方法求解.

?3x1?4x2?5x3?7x4?0,?2x1?3x2?x3?5x4?0,?2x?3x?3x?2x?0,?3x?x?2x?7x?0,1234?1234(1) ? (2) ? ??4x1?11x2?13x3?16x4?0,?4x1?x2?3x3?6x4?0,???7x1?2x2?x3?3x4?0;?x1?2x2?4x3?7x4?0;?4x1?2x2?

3.4 向量和矩阵的范数

为了研究线性方程组近似解的误差估计和迭代法的收敛性，我们需要对Rn(n维

向量空间)中的向量或Rnxn中矩阵的“大小”引入一种度量，——向量和矩阵的范 数。

向量和矩阵的范数

在一维数轴上，实轴上任意一点x到原点的距离用|x|表示。而任意两点x1,

x2之间距离用| x1-x2 |表示。

向量和矩阵的范数

而在二维平面上，平面上任意一点P(x,y)到原点的距离用 x 2 y 2 | OP 表示。而平面上 | 任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离用 表示。 推广到n维空间，则称为向量范数。

| P1 P2 | ( x1 x 2 ) ( y1 y 2 )2

2

向量范数定义3.4.1 设任一向量x R n , 按某一确定的

x ||, 且满足 : 1)非负性： || x || 0,当且仅当x 0时， || x || 0; 2)奇次性： || kx || | k ||| x ||, k R; 3)三角不等式：对任意 x, y R , 都有 || x y || || x || || y || ,法则对应于一非负实数 ||n

则称 || x || 为向量x的范数。

常见的向量范数设向

3.4 向量和矩阵的范数

为了研究线性方程组近似解的误差估计和迭代法的收敛性，我们需要对Rn(n维

向量空间)中的向量或Rnxn中矩阵的“大小”引入一种度量，——向量和矩阵的范 数。

向量和矩阵的范数

在一维数轴上，实轴上任意一点x到原点的距离用|x|表示。而任意两点x1,

x2之间距离用| x1-x2 |表示。

向量和矩阵的范数

而在二维平面上，平面上任意一点P(x,y)到原点的距离用 x 2 y 2 | OP 表示。而平面上 | 任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离用 表示。 推广到n维空间，则称为向量范数。

| P1 P2 | ( x1 x 2 ) ( y1 y 2 )2

2

向量范数定义3.4.1 设任一向量x R n , 按某一确定的

x ||, 且满足 : 1)非负性： || x || 0,当且仅当x 0时， || x || 0; 2)奇次性： || kx || | k ||| x ||, k R; 3)三角不等式：对任意 x, y R , 都有 || x y || || x || || y || ,法则对应于一非负实数 ||n

则称 || x || 为向量x的范数。

常见的向量范数设向