2x2矩阵运算
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线性代数 第2章 矩阵及其运算
第二章矩阵及其运算
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第一章
矩阵
一、矩阵概念的引入二、矩阵的定义三、小结、思考题
第二节矩阵及其运算2
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n n n n m m mn n m
a x a x a x
b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=??
??+++=?1111221121122222
1122 1. 线性方程组的解取决于
(),,,;,,,,ij a i m j n ==1212 系数()
,,,i b i m =12 常数项一、矩阵概念的引入
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n n m m mn
m a a a b a a a b a a a b ????????????
11
12112122221
2
对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究.
线性方程组的系数与常数项按原位置可排为
2. 某航空公司在A,B,C,D 四城市之间开辟了若干航线,如图所示表示了四城市间的航班图,如果从A 到B 有航班,则用带箭头的线连接A 与B.
A
B
C
D
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四城市间的航班图情况常用表格来表示:
发站
到站A
B C D A
B C D
其中表示有航班.
为了便于计算,把表中的改成1,空白地方填上
0,就得到一个数表:
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111111
第2章 - 矩阵及其运算（熊维玲版）
《 线性代数》教案 (熊维玲.第一版） 第二章 矩阵及其其运算 第二章 矩 阵
【教学章节】§2.1 矩阵的概念 §2.2 矩阵的运算 【教学内容】矩阵的概念,矩阵的运算. 【教学学时】2学时
【教学目的】1.理解矩阵的概念;
2.了解单位矩阵、对角矩阵、零矩阵、上(下)三角矩阵及矩阵相等的概念; 3.熟练掌握矩阵的线性运算、乘法运算、转置运算及它们的运算规律; 4.理解方阵的幂、方阵的行列式及其性质.
【教学重点、难点】矩阵的运算 【教学方法、方式】课堂讲授 【教学过程】
§2.1 矩阵的概念
================================================================================
引例
?1，从i市到j市有一条单向航线例1 四城市间的单线航线通航图如右图所示,令 aij??
0；从i市到j市没有单向航线?则此航线图可用数表表示为
0 1 1 1 ① ② 1 0 0 1 1 0 0 0
③ ④ 0 0 1 0
例2 若n个变量x1,x2,?,xn与m个变量y1,y2,?,ym之间有变换关系
第2章 - 矩阵及其运算（熊维玲版）
《 线性代数》教案 (熊维玲.第一版） 第二章 矩阵及其其运算 第二章 矩 阵
【教学章节】§2.1 矩阵的概念 §2.2 矩阵的运算 【教学内容】矩阵的概念,矩阵的运算. 【教学学时】2学时
【教学目的】1.理解矩阵的概念;
2.了解单位矩阵、对角矩阵、零矩阵、上(下)三角矩阵及矩阵相等的概念; 3.熟练掌握矩阵的线性运算、乘法运算、转置运算及它们的运算规律; 4.理解方阵的幂、方阵的行列式及其性质.
【教学重点、难点】矩阵的运算 【教学方法、方式】课堂讲授 【教学过程】
§2.1 矩阵的概念
================================================================================
引例
?1，从i市到j市有一条单向航线例1 四城市间的单线航线通航图如右图所示,令 aij??
0；从i市到j市没有单向航线?则此航线图可用数表表示为
0 1 1 1 ① ② 1 0 0 1 1 0 0 0
③ ④ 0 0 1 0
例2 若n个变量x1,x2,?,xn与m个变量y1,y2,?,ym之间有变换关系
理解矩阵2
理解矩阵与矩阵乘积（二）
数学日记, 重温线性代数Add comments
本篇有些内容是孟岩《理解矩阵（三）》中观点的严密化与深化。 数域 上的两个向量空间
则称 为线性映射。
矩阵及矩阵的乘法与线性映射有十分重大的联系。为了看清这一点，我们采取以下步骤： 一、从一维空间谈起
显然，数域 本身可以看作 上的向量空间，记做 向量空间 表示为
都同构于
，即取定
的一组基底
的形式，因此
中的向量与
，并且， 上的任何一个一维的
称作
到
的一个映射 ，若保持加法和数量乘法，即满足
后， 中的任何向量都可以唯一地
中的向量是一一对应的。我们把
上一维向量空间的坐标系统。 上的两个一维向量空间 基底
与
和 。设
量空间的坐标系统之间就衍生出一个线性映射 间，只需要研究它们的坐标系统 研究它们坐标系统之间的线性映射
之间的一个线性映射 ，在分别取定
，则
和
上的
之后，，因此
。这样，在两个一维向
，我们要研究前述的两个向量空
，因为它们是一一对应并且性质相同的。
到
的任何一个线性
，要研究前述两个向量空间之间的线性映射，只需要
空间是由基底 1 张成的向量空间，那么根据上面的论述，映射 都有 中的唯一一
矩阵的运算及其运算规则
矩阵的运算及其运算规则
一、矩阵的加法与减法
1、运算规则
设矩阵 则
，，
简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！
注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可行的．
2、 运算性质 （假设运算都是可行的） 满足交换律和结合律 交换律 结合律
；
．
二、矩阵与数的乘法
1、 运算规则
数乘矩阵A，就是将数
乘矩阵A中的每一个元素，记为
或．
特别地，称称为
的负矩阵．
2、 运算性质
满足结合律和分配律
结合律： (λμ)A=λ(μA) ； (λ+μ)A =λA+μA． 分配律： λ (A+B)=λA+λB．
典型例题
例6.5.1 已知两个矩阵
满足矩阵方程，求未知矩阵
．
解 由已知条件知
三、矩阵与矩阵的乘法
1、 运算规则
设，，则A与B的乘积是这样一个矩阵：
．
列元素对应相乘，再取
(1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即 (2) C的第行第乘积之和．
典型例题 例6.5.2 设矩阵
列的元素
由A的第行元素与B的第
计算 解
矩阵乘法运算效率
矩阵乘法运算效率
摘要
近年来，处理器运行速度的增长和存储器访问速度的增长之间存在着巨大的差距，这使得两者之间的速度差距越来越大，现代计算机体系结构中广泛采用高速缓冲存储器（Cache）来缓解这两者之间的速度差距。
本文根据矩阵乘法运算的六种不同程序代码，构建了矩阵乘法运算时间的测试程序，得到矩阵乘法运算六种不同版本的运行时间；并通过分析六种不同矩阵乘法运算程序代码中的空间局部性与时间局部性，得出由于高速缓冲存储器和程序访问的局部性差异，同一算法的不同程序代码运行时间相差很大。为了充分利用高速缓冲存储器，提高程序运行效率，在编写程序时需要考虑程序和数据的空间局部性和时间局部性。
为了充分利用高速缓冲存储器，论文又给出了分块矩阵乘法运算程序，它可以进一步提高矩阵乘法运算效率。 关键字：高速缓冲存储器；矩阵乘法；分块矩阵；局部性原理；时间局部性；空间局部性
Abstract
Recent years, there has been a big gap between the growth of processor and memory runs access speed, which makes the speed difference b
矩阵及其基本运算
第1章 矩阵及其基本运算
第1章 矩阵及其基本运算
MATLAB，即“矩阵实验室”，它是以矩阵为基本运算单元。因此，本书从最基本的运算单元出发，介绍MATLAB的命令及其用法。
1.1 矩阵的表示
1.1.1 数值矩阵的生成
1．实数值矩阵输入
MATLAB的强大功能之一体现在能直接处理向量或矩阵。当然首要任务是输入待处理的向量或矩阵。
不管是任何矩阵（向量），我们可以直接按行方式输入每个元素：同一行中的元素用逗号（，）或者用空格符来分隔，且空格个数不限；不同的行用分号（；）分隔。所有元素处于一方括号（[ ]）内；当矩阵是多维（三维以上），且方括号内的元素是维数较低的矩阵时，会有多重的方括号。如：
>> Time = [11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10]
Time =
11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
>> X_Data = [2.32 3.43；4.37 5.98]
X_Data =
2.43 3.43 4.37 5.98
>> vect_a = [1 2 3 4 5]
vect_a =
1 2 3 4 5
>> Matrix
矩阵及其基本运算
第1章 矩阵及其基本运算
第1章 矩阵及其基本运算
MATLAB，即“矩阵实验室”，它是以矩阵为基本运算单元。因此，本书从最基本的运算单元出发，介绍MATLAB的命令及其用法。
1.1 矩阵的表示
1.1.1 数值矩阵的生成
1．实数值矩阵输入
MATLAB的强大功能之一体现在能直接处理向量或矩阵。当然首要任务是输入待处理的向量或矩阵。
不管是任何矩阵（向量），我们可以直接按行方式输入每个元素：同一行中的元素用逗号（，）或者用空格符来分隔，且空格个数不限；不同的行用分号（；）分隔。所有元素处于一方括号（[ ]）内；当矩阵是多维（三维以上），且方括号内的元素是维数较低的矩阵时，会有多重的方括号。如：
>> Time = [11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10]
Time =
11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
>> X_Data = [2.32 3.43；4.37 5.98]
X_Data =
2.43 3.43 4.37 5.98
>> vect_a = [1 2 3 4 5]
vect_a =
1 2 3 4 5
>> Matrix
稀疏矩阵乘法运算
稀疏矩阵的乘法运算
程序代码：
#include int i,j; int e; struct OLnode *right,*down; }OLnode,*Olink; typedef struct { Olink *rhead,*chead; int mu,nu,tu; }Crosslist; //在十字链表M.rhead[row]中插入一个t结点 void insert_row(Crosslist &M,OLnode *t,int row) { OLnode *p; int col=t->j; if(M.rhead[row]==NULL||M.rhead[row]->j>col) { t->right=M.rhead[row]; M.rhead[row]=t; } else { for(p=M.rhead[row];
2.2矩阵的运算
第二章§2 矩阵的运算
一、矩阵的加法定义：设有两个 m×n 矩阵 A = (aij),B = (bij) ,那么矩阵 A 与 B 的和记作 A+B,规定为 a11 b11 a21 b21 A B am 1 bm 1 a12 b12 a22 b22 am 2 bm 2 a1n b1n a2 n b2 n amn bmn
说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.
矩阵加法的运算规律：A B B A 交换律 ( A B) C A ( B C )
结合律
二、数与矩阵相乘定义：数 l 与矩阵 A 的乘积记作 l A 或 A l ,规定为 l a11 l a21 l A Al l am 1
la 12 l a22
l am 1
la n 1 la n 2 l amn
数乘矩阵的运算规律：(l ) A l( A )
结合律 分配律
(l ) A l A A
l ( A B