高中切比雪夫不等式
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切比雪夫不等式证明
切比雪夫不等式证明一、
试利用切比雪夫不等式证明:能以大小0.97的概率断言,将一枚均匀硬币连续抛1000次,其出现正面的次数在400到600之间。
分析:将一枚均匀硬币连续抛1000次可看成是1000重贝努利试验,因此 1000次试验中出现正面H的次数服从二项分布.
解:设X表示1000次试验中出现正面H的次数,则X是一个随机变量,且 ~XB(1000,1/2).因此 500 2 1
1000=×==npEX, 250) 2
答题完毕,祝你开心! 1 1( 2 1
1000)1(= ××= =pnpDX, 而所求的概率为
}500600500400{}600400{ << =< }100100{< < =EXXP }100{< =EXXP 975.0 100 1 2 = ≥ DX . 二、
切比雪夫(Chebyshev)不等式
对于任一随机变量X ,若EX与DX均存在,则对任意ε>0,
恒有P{|X-EX|>=ε}<=DX/ε^2 或P{|X-EX|<ε}>=1-DX/ε^2 切比雪夫不等式说明,DX越小,则 P{|X-EX|>=ε}
越小,P{|X-EX|<ε
切比雪夫不等式及其应用
切比雪夫不等式及其应用
王林(2013080201031)
指导教师:吕恕
摘要:切比雪夫不等式是概率论中的一个重要内容,它是证明切比雪夫大数定律的重要
工具和理论基础。从切比雪夫不等式的证明切入,然后利用切比雪夫不等式证明了切比雪夫大数定律,最后给出了切比雪夫不等式的一些应用,讨论了切比雪夫不等式的概率边界问题。 关键词:切比雪夫不等式 切比雪夫大数定律 实际应用
0.引言
切比雪夫不等式是概率论中的一个重要内容,它不但用于理论证明,而且用于随机变量取值概率的估计,且其推广形式有许多方面的应用。
1.切比雪夫不等式
设随机变量X存在数学期望E(X)和方差D(X),则对任意实数?有:P{X-E(X)}??}? 证明:(1)设X为离散型随机变量,其分布列为P(X=Xi)=Pi(i=1,2,3...)则P{|X-E(X)|??}=
D(X)?2
|Xi?E(X)|???Pi?1?2?(Xi?E(X))2Pi?i?1?D(X)
?2(2)设X为连续性随机变量,其概率密度为P(X),由于E(X),D(X)均存在
二维切比雪夫不等式
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二维切比雪夫不等式
作者:唐建航
来源:《学习导刊》2013年第10期
摘要:本文根据一维切比雪夫不等式推导出二维切比雪夫不等式 关键字:概率论 切比雪夫不等式 二维切比雪夫不等式
概率论中,切比雪夫不等式显示了随机变量的“几乎所有”值都会“接近”平均.切比雪夫不等式对任何分布形状的数据都适用.本文简述了二维切比雪夫不等式. 定义一 对于两个随机变量和 记
称作随机变量和的协方差,如果,, 则
称作随机变量和的相关系数.
定理一 切比雪夫不等式 设是某一概率空间,,是非负随机变量.那么,对任意, 证明:注意到
其中是集合的示性函数. 于是,根据数学期望的性质 从而切比雪夫不等式得证.
定理二 已知随机变量,.且其数学期望为和.那么存在
证明 我们知道,对于某一概率空间,是某一随机变量,其值域为如果设,则显然可以表示为
其中为概率空间
切比雪夫不等式证明优秀3篇
篇一:经典不等式证明-柯西不等式-排序不等式-切比雪夫不等式-均值不等式 篇一
mathwang
几个经典不等式的关系
一 几个经典不等式
(1)均值不等式
设a1,a2,?an?0是实数
a?a???a12n ???
111n?+??a1a2an
其中ai?0,i?1,2,?n.当且仅当a1?a2???an时,等号成立。
n
(2)柯西不等式
设a1,a2,?an,b1,b2,?bn是实数,则
?a
21
22?a2???an??b12?b22???bn2???a1b1?a2b2???anbn?
2
当且仅当bi?0(i?1,2,?,n)或存在实数k,使得ai?kbi(i?1,2,?,n)时,等号成立。
(3)排序不等式
设a1?a2???an,b1?b2???bn为两个数组,c1,c2,?,cn是b1,b2,?,bn的任一排列,则
a1b1?a2b2???anbn?a1c1?a2c2???ancn?a1bn?a2bn?1???anb1 当且仅当a1?a2???an或b1?b2???bn时,等号成立。
(4)切比晓夫不等式
对于两个数组:a1?a2???an,b1?b2???bn,有
a1b1?a2b2???anbn?a1?a2???an??b1?b2???bn?a1bn?a2bn?
第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式
第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式本次课讲授第三章第4—8节,方差,协方差、 相关系数与大数定理; 下次课讲授第四章第1-4节:正态分布的密度与 期望方差。 下次上课前完成作业9,上课时交作业P37---40
页重点:方差与协方差 难点:方差协方差与独立相关系数之间的关系
第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式概括各类情况的均值公 式 定义:E ( X ) xi P ( xi ) xP ( x ) i 1
若X连续,则令P ( xi X xi x ) P ( xi ) f ( xi ) xi , E ( X ) xi P ( xi ) xi f ( xi ) xi xf ( x )dxi 1 i 1
x
Y g( X )时,E (Y ) E[ g( X )] g( x ) P ( x ) g( x ) f ( x )dx
Z g( X , Y )时,E g( X , Y ) g( xi , y j ) P ( xi , y j )i j
x
g( x , y ) f ( x , y )dxdy
回顾: 1.原点矩 定义1
能力培优 不等式及不等式组
(一)不等式概念和性质错解例析
初学不等式,由于对概念及性质理解不够深刻,有些同学常出现一些错误,现举例分析,望能引以为戒
一、理解概念不透致错
例1、下列给出四个式子,
①x>2 ②a≠0 ③5<3 ④a≥b 其中是不等式的是( )
A、①④ B、①②④ C、①③④ D、①②③④
错解、选A
分析、不等式是指形式上用“<”、“>”、“≤”、“≥”、“≠”连接的式子,不受其是否成立的影响,5<3是不等式,只不过这个不等式不成立,另外a≠0也是不等式,因为“≠”也是不等号, 正解、选D
二、符号意义不清致错 例2、下列不等式
①2a>a ②a2+1>0 ③8≥6 ④x2≥0 一定成立的是( )
A、②④ B、② C、①②④ D、②③④
错解、选A
分析、导致本题错误的原因是对“≥”理解不正确,“≥”的意义是“>”或“=”,有选择功能,二者成立之一即可,事实上也只能二者取一,不等号两边的量不会既“>”又“=”,所以,对8≥6的理解应是“8大于6”,对x2≥0的理解应是,“当x=0时,x2=0;当x≠0时,x2>0” 正解、选D
例3、不等式x>-2的解集在数轴上表示正确的一项是( )
A B C
D
错解,选A
分析、对不等式的解集在数轴上的表示方法不清出错,在数轴上表示不等式的解集时,实心
初二数学备课组
第2讲不等式与不等式组
中考专题复习
第2讲 不等式与不等式组
一级训练
1.(2012年广东广州)已知a>b,c为任意实数,则下列不等式中总是成立的是( ) A.a+c<b+c B.a-c>b-c C.ac<bc D.ac>bc 2.(2012年四川攀枝花)下列说法中,错误的是( )
A.不等式x<2的正整数解中有一个 B.-2是不等式2x-1<1的一个解 C.不等式-3x>9的解集是x>-3 D.不等式x<10的整数解有无数个
3.(2012年贵州六盘水)已知不等式x-1≥0,此不等式的解集在数轴上表示为(
)
4.(2012年湖北荆州)已知点M(1-2m,m-1)关于x轴的对称点在第一象限,则m的取值范围在数轴上表示正确的是(
)
2x-1≥x+1,
5.(2012年山东滨州)不等式 的解集是( )
x+8≤4x-1
A.x≥3 B.x≥2 C.2≤x≤3 D.空集
x-1≥0,
6.(2012年湖北咸宁)不等式组 的解集在数轴上表示为(
)
4-2x>0
7.(2012年湖南益阳)如图2-2-2,数轴上表示的是下列哪个不等式组的解集(
)
图2-2-2
x≥-5, x>-5, x<5, x<5, A. B. C. D. x>-3
不等式证明
第四章 微积分中值定理与证明 4.1 微分中值定理与证明
一 基本结论
1.零点定理:若f(x)在[a,b]连续,f(a)f(b)?0,则???(a,b),使得f(?)?0. 2.最值定理:若f(x)在[a,b]连续,则存在x1,x2使得f(x1)?m,f(x2)?M.其中
m,M分别是f(x)在[a,b]的最小值和最大值.
3.介值定理:设f(x)在[a,b]的最小值和最大值分别是m,M,对于?c?[m,M], 都存在???[a,b]使得f(?)?c.(或者:对于?c?(m,M),都存在???(a,b)使得
f(?)?c)
4.费玛定理:如果x0是极值点,且f(x)在x0可导, 则 f?(x0)?0.
5.罗尔定理:f(x)在[a,b]连续,在(a,b)可导,f(a)?f(b),则???(a,b)使得
f?(?)?0.
6.拉格朗日定理:f(x)在[a,b]连续,在(a,b)可导,,则???(a,b)使得
f(b)?f(a)?(b?a)f?(?).
) 7.柯西定理:f(x),g(x)在[a,b]连续,在(a,b)可导,且g?(x)?0,则???(a,b使得
f(b)?f(a)f?(?)?.
g(b)?g(a)g?(?)8.泰勒公
不等式知识
不等式知识
目录:
三道小题
(一)一些基础。。。
(二)不等式的一些直观解释。。。 (三)谈谈放缩法。。。 (四)杂谈 关于配方法。。。 (五)杂谈 差分代换。。。
(六)杂谈 谈谈切线法及其推广 (七)介绍几个重要的不等式①。。。 (八)介绍几个重要的不等式②。。。 (九)杂谈 再谈配方法。。。。
(十)关于函数实根分别和不等式解集问题。。。。。。。
(十一)谈谈齐次形式不等式的程序化处理①对称整理类。。。 (十二)谈谈齐次形式不等式的程序化处理②Schur拆分法。。。 (十三)细化赫尔德(H?lder)不等式&引入闵可夫斯基(Minkowski)不等式。。。。 (十四)幂平均函数及其他。。。。。。。 (十五)SOS定理。。。
(十六)凸函数理论及受控理论。。。
(十七)杂谈 克劳修斯(Clausius)不等式与热力学第二定律。。。。 (十八)关于机械化方法的历史。。。 (十九)多元函数极值的偏导方法。。。。 (二十)解析——几何与代数的桥梁 小测试 A(轮换不等式) 小测试 B(含参情况) 小测试 C(对称破缺)
出三道小题,作为你们的自我检测,如果做不上来,你你还需要多练习练习。如果可以,那我们继续看:
①对于实数 x , y
2007不等式
不错的不等式题目
2006
1、均值不等式的理解
1.如果正数a,b,c,d满足a b cd 4,那么( ) A.ab≤c d,且等号成立时a,b,c,d的取值唯一 B.ab≥c d,且等号成立时a,b,c,d的取值唯一 C.ab≤c d,且等号成立时a,b,c,d的取值不唯一 D.ab≥c d,且等号成立时a,b,c,d的取值不唯一 答案:A
2、均值不等式的应用
1.若x,y R+,且x 4y 1,则x y的最大值是 . 答案:
116
2.已知x 0,y 0,x,a,b,y成等差数列,x,c,d,y成等比数列,则最小值是( ) A.0 B.1
(a b)cd
2
的
C.2 D.4
3
是1 a和1 a的等比中项,则a 3b的最大值为( ) A.1
B.2
C.3
2aba 2b
5
D.4
的最大值为( )
4.若a是1 2b与1 2b的等比中项,则
15
B.
4
D.
2
答案:B
3、其他不等式性质
1.设a,b是非零实数,若a b,则下列不等式成立的是( ) A.a b B.ab答案:C
4、解复杂不等式
1.解不等式(3x 1 1)(sinx 2) 0.
解:因为对任意x R,sinx 2 0,所以原不等式等价于3