抽象代数教材

抽象代数

1 证明任一群中，指数为2的子群一定是正规的。

证明：设G是任一群，H是G的一个指数为2的子群

知H?G，且[G:H]?2

于是H存在2个不同的左（右）陪集

又eH?He?H，故H既是左陪集又是右陪集

由[G:H]?2知?a?G使aH?eH??且Ha?He?? 故G/H?H?aH?H?Ha 故aH?Ha

?x?G且x?e有xH?aH，Hx?Ha，故xH?Hx，当x?e时eH?He?H 综上H?G

TH：群G的子群的2个左陪集要么相等要么没有公共元

2 利用拉格朗日定理（有限群G的阶被它的每个子群的阶整除）证明所有阶为p2的群（p为素数）是交换群。

证明：对任意p阶群G，它的中心Z(G)?e，则Z(G)?1

r2假设G?p为非交换群，则G?Z(G)??i?q?1pni

rp?Z(G)?2?i?q?12pni，故Z(G)能被p整除，从而Z(G)?p或p2

rZ(G)?p时，p?p??i?q?1prni，矛盾

Z(G)?p时，p22?p?2?i?q?1pni知G?Z(G)

故G是交换群

4 与群G的中心化子C(a)?{x?Gxa?ax}一样，考虑在动力系统理论中遇到的反中心

D(a)?x?Gxa?a??1x，一般来说，D(a)不是群

2?证

1

1. 〈{1，2，3，4}，·5〉和〈{0，1，2，3}，+4〉是否同构？ 2. 代数结构〈I，+〉与〈N，·〉是否同构？

3. 设X为集合，证明〈P（X），∩〉与〈P（X），∪〉是同构的。 4. 求出〈N6，+6〉的所有自同态。

1. 给定代数结构〈I，+，·〉，定义I上的二元关系R为：

i R j 当且仅当 | i | = | j| ,

关于加法运算 +，R是否具有代换性质？对于乘法运算·呢？

2. 设R是N3上的等价关系。若R关于 +3具有代换性质，则R关于·3也一定具有代换性质。求出N3上的一个等价关系S，使其关于·3具有代换性质，但关于 +3不具有代换性质。

3. 试确定I上的下述关系R是否为〈I，＋〉上的同余关系： a) x R y 当且仅当 (x＜0∧y＜0＝∨(x≥0∧y≥0)； b) x R y当且仅当 | x·y |＜10；

c) x R y当且仅当 (x = 0∧y= 0)∨(x≠0∧y≠0)； d) x R y当且仅当 x ≥ y。

第二章

2. 在以下给出的N上的关系R中，哪些是么半群〈N，+〉上的同余关系？对于同余关系求出相应的商么半群。

a) aR b 当且仅当 a－b是偶数。

1

1. 〈{1，2，3，4}，·5〉和〈{0，1，2，3}，+4〉是否同构？ 2. 代数结构〈I，+〉与〈N，·〉是否同构？

3. 设X为集合，证明〈P（X），∩〉与〈P（X），∪〉是同构的。 4. 求出〈N6，+6〉的所有自同态。

1. 给定代数结构〈I，+，·〉，定义I上的二元关系R为：

i R j 当且仅当 | i | = | j| ,

关于加法运算 +，R是否具有代换性质？对于乘法运算·呢？

2. 设R是N3上的等价关系。若R关于 +3具有代换性质，则R关于·3也一定具有代换性质。求出N3上的一个等价关系S，使其关于·3具有代换性质，但关于 +3不具有代换性质。

3. 试确定I上的下述关系R是否为〈I，＋〉上的同余关系： a) x R y 当且仅当 (x＜0∧y＜0＝∨(x≥0∧y≥0)； b) x R y当且仅当 | x·y |＜10；

c) x R y当且仅当 (x = 0∧y= 0)∨(x≠0∧y≠0)； d) x R y当且仅当 x ≥ y。

第二章

2. 在以下给出的N上的关系R中，哪些是么半群〈N，+〉上的同余关系？对于同余关系求出相应的商么半群。

a) aR b 当且仅当 a－b是偶数。

2013-2014二学期图论与抽象代数复习

第一部分

1.第三篇总复习题 1，2，3题 2.第四篇总复习题 1，4，6题 3.习题9 9.1题

4. *运算如下表所示，哪个能使({a,b},*)成为单元半群？（ ）

5. Q 是有理集，（Q，*）（其中*为普通乘法）不能构成（ ）。 A．群 B．单元半群 C．半群 D．交换半群 6.设Z 是整数集，＋，· 分别是普通加法和乘法，则（Z，＋，·）是（ ）。 A．域 B．整环和域 C．整环 D．含零因子环 7. 在代数系统中，整环和域的关系为（ ）。 A．整环一定是域 B．域不一定是整环 C．域一定是整环 D．域一定不是整环 8. 设D =< V,E >为有向图，V = {a, b, c, d, e, f }，E = {( a,b),( b,c),( a, d), ( d, e) ,( f, e)}是（ A．强连通图 B．单向连通图 C．弱连通图 D．不连通图 9. 在有n 个结点的连通图中，其边数（ ）。 A．最多有n?1 条 B．至少有n?1 条 C．最

数学分析、高等代数、解析几何、中学数学建模、离散数学、高等几何、概率统计、竞赛数学、运筹学、数学教学实践、初等代数研究、初等几何研究、教法研究、计算机辅助教学、教育学、教育心理学、大学英语等。

《抽象代数基础》

习题解答

于 延 栋 编

盐城师范学院数学科学学院

二零零九年五月

第一章 群 论

§1 代数运算

“?”1.设A?{e,a,b,c},A上的乘法的乘法表如下:

· e e e a a e c b b c e c c a a b c b c b a e b a “?”证明: 适合结合律.

“?”证明 设x,y,z为A中任意三个元素.为了证明适合结合律,只需证明

(x?y)?z?x?(y?z).

下面分两种情形来阐明上式成立.

I.x,y,z中至少有一个等于e. 当x?e时,(x?y)?z?y?z?x?(y?z); 当y?e时,(x?y)?z?x?z?x?(y?z); 当z?e时,(x?y)?z?x?y?x?(y?z). II.x,y,z都不等于e.

(I)x?y?z.这时,(x?y)?z?e?z?z?x?x?e?x?(y?z). (II)x,y,z两两不等.这时,(x?y)?z?z?z?e?x?x?x?(y?z). (III)x

《抽象代数》试题及答案 本科

一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案， 并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题3分)

1. 设Q是有理数集，规定f(x)= x+2；g(x)=x2+1,则（fg）(x)等于（ B ）

A. x2?2x?1

B. x2?3 C. x2?4x?5

D. x2?x?3

2. 设f是A到B的单射，g是B到C的单射，则gf是A到C的 （ A ）

A. 单射 B. 满射 C. 双射 D. 可逆映射

3. 设 S3 = {（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S3中与元素（1 32）不能交换的元的个数是( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

4. 在整数环Z中，可逆元的个数是( B )。

A. 1个 B. 2个 C. 4个 D. 无限个

5. 剩余类环Z10的子环有( B )。

A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 6. 设G是有限群，a?G, 且a的阶|a|=12, 则G中元素a8的阶为( B ) A． 2

班号 学号 姓名 成绩

《抽象代数》期末考试卷

注意事项：

1、请大家仔细审题

2、千万不能违反考场纪律 题目：

一、 判断题 （每小题2分，共20分）

( ) 1、设 * 是集合X上的二元运算，若a X是可约的，则a是可逆的。 ( ) 2、任何阶大于1的群没有零元。 ( ) 3、任何群都与一个变换群同构。

( ) 4、奇数阶的有限群中必存在偶数个阶为2的元素。 ( ) 5、素数阶群必为循环群。

( ) 6、x 2 + 5 是GF (7) 上的不可约多项式。 ( ) 7、环的理想构成其子环。

( ) 8、有补格中任何元素必有唯一的补元。 ( ) 9、格保序映射必为格同态映射。

( ) 10、设A S，则 < P (A)， > 是格 < P (S)， > 的子格。

二、 填空题（10分）

1、设〈G，*〉为群，a，b G且a的阶为n，则b1 a b的阶为 。 2、设〈G，*〉为群且a∈G。若k∈I且a的阶为n，则a k 的阶为_n/(n,k) _；

并且 a k = e 当且仅当 3、域的特征为___________ ；有限域的阶必为_________。 4、GF（3）上的二次

俄罗斯教材《代数学引论》的启迪（初稿）

庄 瓦 金

（漳州师范学院，福建，363000）

二十年前，北京大学三位教授根据1982年斯普林格出版社的英文版翻译了莫斯科大学A.И.柯斯特利金院士的《代数学引论》[1，2]，使得国内同行们对俄罗斯高水平的代数教材有所认识。但鉴于中国国情，至今还没看到该书对中国大学本科代数教学有实质的影响。而今，在中国数学会、中国工业与应用数学学会、国家自然科学基金委员会的关注下，数学天元基金资助、高等教育出版社出版了庆祝莫斯科大学成立250周年而推出的一批优秀数学教材的中译本，其中有A.И.柯斯特利金的《代数学引论》（第二、三版）三卷本[3~5]（以下简称《引论》）。笔者看后，很受启发，现根据这几年来对高等代数研究的基础[17~23]，对《引论》作些思索，为提升中国大学本科代数教学水平奉献余力。

一 《引论》的特色

稍读[3~5]，笔者认为，A.И.柯斯特利金之著有以下四大特色。 1 继承性

[1]的英文版译者指出：A.И.柯斯特利金“发展了莫斯科大学的代数课”，这从《引论》著者经历就可以看出。A.И.柯斯特利金1959年获莫斯科大学数理科学博士学位，1972年任莫斯科大学高等代数教研室主任，1976年升为教授，

人教版小学数学“数与代数”教材梳理 册数 一上 数的认识 数一数； 比一比； 1～5的认识； 6～10的认识； 11～20各数的认识 一下 100以内数的认识 20以内退位减法； 100以内加法和减法（整十数加减整十数） 二上 认识钟表（几时几分） 100以内的加法和减法（两位数长度单位（厘米、米） 简单地排列与组合 加两位数；两位数减两位数；连加、连减和加减混和；加减法估算）； 表内乘法（乘法的初步认识、2-6的乘法口诀）； 表内乘法（7、8、9的乘法法口） 二下 万以内数的认识 解决问题（有小括号的两步加减、重量单位（克与千克）； 找规律（探索图形与乘加乘减）； 有多重 表内除法（除法的初步认识、用2-6的乘法口诀求商）； 表内除法（用7、8、9的乘法口诀求商）； 万以内的加法和减法（一） 三上 分数的初步认识 万以内的加法和减法(验算)； 测量单位（毫米、分米、稍复杂的排列与组合千米、吨）； 有余数的除法（除法竖式格式)； 时、分、秒； 多位数乘一位数； 分数的简单计算 三下 小数的初步认识 除数是一位数的除法； 年、月、日； 集合、

1

关于抽象艺术说法错误的是（）。 A、抽象艺术就是抽象画

2

抽象艺术的理性与非理性体现在（）。

D、创作者用理性的方法创作了抽象画，但是观赏者看到的却是一种非理性的纯粹视觉形式的艺术。

我的答案：D 得分： 25.0分

3

科学抽象和逻辑抽象都是非理性的。（） 我的答案：× 得分： 25.0分

4

“抽象”这个概念只包含非理性，没有理性。（） 我的答案：× 1

如何理解具象文化与抽象文化？（） D、抽象文化是非功利的文化。 我的答案：D 得分： 25.0分 2

标志着抽象艺术时代来临的画作叫（）。 C、《最初的抽象水彩画》

我的答案：C 得分： 25.0分 3

抽象艺术与生命观的关系是（）。

D、抽象艺术的独立、自由、审美和创造性与人的生命观一致。 我的答案：D 得分： 25.0分 4

宇宙带来的视觉感受是抽象的。（） 我的答案：v

关于非理性的说法,错误的是（）。 A、非理性的主要特点是不合理念 我的答案：a 得分： 0.0分 2

感性认识是指通过（）来感知世界。

A、视觉 B、听觉 C、触觉

D、以上都是

我的答案：D 得分： 25.0分 3

冯友