概率论第二版答案

习题一

1

习题一

1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A：

（1）掷两枚均匀骰子，观察朝上面的点数，事件A表示“点数之和为7”；

（2）记录某电话总机一分钟内接到的呼唤次数，事件A表示“一分钟内呼唤次数不超过3次”；

（3）从一批灯泡中随机抽取一只，测试它的寿命，事件A表示“寿命在2 000到2 500小时之间”.

2. 投掷三枚大小相同的均匀硬币，观察它们出现的面. （1）试写出该试验的样本空间；

（2）试写出下列事件所包含的样本点：A={至少出现一个正面}，B={出现一正、二反}，C={出现不多于一个正面}；

（3）如记Ai={第i枚硬币出现正面}（i=1，2，3），试用A1,A2,A3表示事件A，B，C. 3. 袋中有10个球，分别编有号码1～10，从中任取1球，设A＝{取得球的号码是偶数}，B＝{取得球的号码是奇数}，C={取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：

（1）AB；（2）AB；（3）AC；（4）AC；（5）AC；（6）BC；（7）A?C.

?1??14. 在区间[0,2]上任取一数，记A??x?x?1?，B??x?x??2??43??，求下列事件的表2?达式：（1）AB；（2）AB；（3）AB，（

习题一

1

习题一

1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A：

（1）掷两枚均匀骰子，观察朝上面的点数，事件A表示“点数之和为7”；

（2）记录某电话总机一分钟内接到的呼唤次数，事件A表示“一分钟内呼唤次数不超过3次”；

（3）从一批灯泡中随机抽取一只，测试它的寿命，事件A表示“寿命在2 000到2 500小时之间”.

2. 投掷三枚大小相同的均匀硬币，观察它们出现的面. （1）试写出该试验的样本空间；

（2）试写出下列事件所包含的样本点：A={至少出现一个正面}，B={出现一正、二反}，C={出现不多于一个正面}；

（3）如记Ai={第i枚硬币出现正面}（i=1，2，3），试用A1,A2,A3表示事件A，B，C. 3. 袋中有10个球，分别编有号码1～10，从中任取1球，设A＝{取得球的号码是偶数}，B＝{取得球的号码是奇数}，C={取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：

（1）AB；（2）AB；（3）AC；（4）AC；（5）AC；（6）BC；（7）A?C.

?1??14. 在区间[0,2]上任取一数，记A??x?x?1?，B??x?x??2??43??，求下列事件的表2?达式：（1）AB；（2）AB；（3）AB，（

2.1.习题

1．设随机变量?的分布函数为F(x)，证明?机变量，并求?的分布函数．

证明：由定理2.1.3随机变量的Borel函数仍为随机变量， 故?

?pq?11?qp?

1?p21?q2

?e?也是随

?pq?11?qp?

(1?p)qp(1?q)?e?也是随机变量．

??的分布函数为

F?(y)?P{??y}?P{e??y}

当当

pq?

1?p1?q4．在半径为R的圆内任取一点（二维几何概型），试求此点到圆心之距离?的分布函数及P{??y?0时，{e??y}??，故F?(y)?0；

y?0时

，

2R}． 3R

解：此点到圆心之距离?的分布函数为

F?(y)?P{??y}?P{e??y}?P{??lny}?F?(y)

因此，?的分布函数为

F(x)?P{??x}

ln当x?0时，{??x}??，F?x??0；

?F(lny),y?0． F?(y)???y?0?03．假定一硬币抛出正面的概率为

?x2x2?2当0?x?R时，F(x)?P{??x}?2?RR当x?；

R时， F?x??1

p(0?p?1)，反复抛这

故?的分布函数为

枚硬币直至正面与反面都出现过为止，试求：（1）抛掷次数?的密度阵；

2.1.习题

1．设随机变量?的分布函数为F(x)，证明??e也是随机变量，并求?的分布函数．

证明：由定理2.1.3随机变量的Borel函数仍为随机变量， 故??e也是随机变量．

???pq?11?p2?qp ?11?q2

?pq?1(1?p)qq1?q?qp?1p(1?q)

?p1?p?

?的分布函数为

F?(y)?P{??y}?P{e?y}

当y?0时，{e当

??4．在半径为R的圆内任取一点（二维几何概型），试求此点到圆心之距离?的分布函数及P{??2R3}． ?y}??，故F?(y)?0；

解：此点到圆心之距离?的分布函数为

R

y?0?时，

F(x)?P{??x}

F?(y)?P{??y}?P{e?y}?P{??lny}?F?(

因此，?的分布函数为

y)ln当x?0时，{??x}??，F?x??0；

?F?(lny),F?(y)??0?y?0y?0当0?x?R时，F(x)?P{??x}?．

当x?R时， F?x??1 故?的分布函数为

?x?R22?xR22；

3．假定一硬币抛出正面的概率为p(0?p?1)，反复抛这枚硬币直至正面与反面都出现过为止，试求：（1）抛掷次数?的密度阵；（

概率论与数理统计及其应用习题解答

1 第1章 随机变量及其概率

1，写出下列试验的样本空间：

（1） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次，记录

投掷的次数。

（2） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次，

记录投掷的次数。

（3） 连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。

（4） 抛一枚硬币，若出现H 则再抛一次；若出现T ，则再抛一颗骰

子，观察出现的各种结果。

解：（1）}7,6,5,4,3,2{=S ；（2）},4,3,2{ =S ；（3）},,,,{ TTTH TTH TH H S =；

（4）}6,5,4,3,2,1,,{T T T T T T HT HH S =。

2，设B A ,是两个事件，已知,125.0)(,5.0)(,25.0)(===AB P B P A P ，求)])([(),(),(),(___

___AB B A P AB P B A P B A P ??。 解：625.0)()()()(=-+=?AB P B P A P B A P ，

375.0)()(])[()(=-=-=AB P B P B A S P B A P ，

875.0)(1)(___

--=AB P AB P ，

5.0)(625.0

第1章 随机事件与概率

习 题 1.2

2．一批产品由95件正品和5件次品组成，从中不放回抽取两次，每次取一件． 求：（1）第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率；（2）抽得正品和次品各一件的概率．

解 设A={第一次抽得正品且第二次抽得次品}，B={抽得正品和次品各一件}，则

11C95?C519P(A)?1??0.048， 1C100?C993961111C95?C5?C5?C9538P(B)???0.096． 11C100?C993963．从0,2,3,4,5,6这六个数中任取三个数，求取得的三个数字能组成三位数且为偶数的概率．

解 据题意，可分为“个位是0”与“个位不是0”两种情况，即所求事件的概率为

111A52?C3C4C45?4?3?4?417． p???3A66?5?4304．已知某城市中有55%的住户订日报，65%的住户订晚报，且至少订这两种报中一种的住户比同时订两种报的住户多一倍，求同时订两种报的住户占百分之几．

解 设A={住户订日报}，B={住户订晚报}，则P(A)?0.55，P(B)?0.65，

)?2P(A，B) 且 P(A?B)P(AB?)从而有

第1章 随机事件与概率

习 题 1.2

2．一批产品由95件正品和5件次品组成，从中不放回抽取两次，每次取一件． 求：（1）第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率；（2）抽得正品和次品各一件的概率．

解 设A={第一次抽得正品且第二次抽得次品}，B={抽得正品和次品各一件}，则

11C95?C519P(A)?1??0.048， 1C100?C993961111C95?C5?C5?C9538P(B)???0.096． 11C100?C993963．从0,2,3,4,5,6这六个数中任取三个数，求取得的三个数字能组成三位数且为偶数的概率．

解 据题意，可分为“个位是0”与“个位不是0”两种情况，即所求事件的概率为

111A52?C3C4C45?4?3?4?417． p???3A66?5?4304．已知某城市中有55%的住户订日报，65%的住户订晚报，且至少订这两种报中一种的住户比同时订两种报的住户多一倍，求同时订两种报的住户占百分之几．

解 设A={住户订日报}，B={住户订晚报}，则P(A)?0.55，P(B)?0.65，

)?2P(A，B) 且 P(A?B)P(AB?)从而有

《概率论》第二章 练习答案

一、填空题：

1．设随机变量X的密度函数为f(x)=??2x

o???1则用Y表示对X的3次独立重复的观察中事件

?0其它(X≤

12)出现的次数，则P（Y＝2）＝ 。

P(X?112)??122xdx? 04p(Y?2)?C2123193(4)(4)?64 2. 设连续型随机变量的概率密度函数为：

ax+b 0

f (x) =

0 其他

且EX＝

13，则a = _____-2___________， b = _____2___________。

?1????(ax?b)dx?1?0 ?1?x(ax?b)dx?1??03解之 3. 已知随机变量X在[ 10，22 ] 上服从均匀分布，则EX= 16 ， DX= 12 4. 设?为随机变量，E??3，E?2?11，则E（4??10）? 4E??10?22

D(4??10)?16D??16?E?2?（E?）2??32

5. 已知X的密度为?(x)?

ax?b0?x?10 其他,且

第二章 事件与概率

1、字母M，A，X，A，M分别写在一张卡片上，充分混合后重新排列，问正好得到顺序MAAM的概率是多少？

解：这五个字母自左往右数，排第i个字母的事件为Ai，则

P(A1)?2211,P(A2A1)?，P(A3A2A1)?,P(A4A3A2A1)? 5432P(A5A4A3A2A1)?1。

利用乘法公式，所求的概率为

P(A1A2A3A4A5)?P(A1)P?A2A1?P?A3A2A1?P?A4A3A2A1?P?A5A4A3A2A1??22111????1? 5432302、有三个孩子的家庭中，已知有一个是女孩，求至少有一个男孩的概率。

解：有三个孩子的家庭总共有23=8个类型。设A={三个孩子中有一女}，B={三个孩子中至少有一男}，A的有利场合数为7，AB的有利场合为6，依题意所求概率为P（B|A），则

P?BA??P(AB)6/86??.

P(A)7/873、若M件产品中包含m件废品，今在其中任取两件，求：（1）已知取出的两件中有一件是废品的条件下，另一件也是废品的条件概率；（2）已知两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的条件概率；（3）取出的两件中至少有一件是废品的概率。

3、解：（1）M件产品中有

习题二答案

1．随机变量的分布函数、分布律、密度函数有何联系与区别？

答：随机变量的分布刻画了随机变量的取值规律，不管是连续型、离散型或既不是连续型，也不是离散型随机变量都可用分布函数来描述其取值的规律；而分布律只用来描述离散型随机变量的取值规律；密度函数只能来描述连续型随机变量的取值规律。它们的联系在于当知道了X的分布律，可通过求概率

（x取任意的值）求得X的分布函数

;

仅之亦然。当知道了连续型随机变量的密度函数积分可通过对

求导，即求得密度函数

,可通过

,

,求得分布函数

（对一切

2. 同时掷两枚骰子,求两枚骰子的点数之和X 的概率分布,并计算P{X≤3}和P{X>13}.

解：由题意X的正概率点为2，3，?12

, k=2,3,?12

3. 某产品共17件,其中有次品3件,现从中任取5件,求抽得次品数X 的概率分布,并计算P{1≤X<2} 解：

,

4. 一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等,以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数,求X 的概率分布 解：X 的可能取值为0,1,2,3 车在第i个路口首次遇到红灯