天体运动公式总结

第5课时 万有引力定律与天体运动

导学目标 1.掌握万有引力定律的内容、公式及适用条件.2.学会用万有引力定律解决天体运动问题．

一、开普勒三定律 [知识梳理]

1．开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是________，太阳处在椭圆的一个________上．

2．开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相同的时间内扫过相等的________．

3．开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的________________的比值都

a3

相等，即2＝k.

T

思考：开普勒第三定律中的k值有什么特点？ 二、万有引力定律 [基础导引]

根据万有引力定律和牛顿第二定律说明：为什么不同物体在

地球表面的重力加速度都是相等的？为什么高山上的重力加速度比地面的小？ [知识梳理] 1．内容

自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与________________________________成正比，与它们之间____________________成反比． 2．公式

____________，通常取G＝____________ N·m2/kg2，G是比例系数，叫引力常量． 3．适用条件

公式适用于__

第13讲 天体运动

导读

本讲前半题目是考频率最高的题目，相对来说没什么新意。后一段散射、潮汐等会更实际一些，有意

义一点。本讲可能用到的参数：地球质量ME?5.98?1024kg，月球质量MM?5.98?1024kg，地球半径月球质量MM?7.35?1022kg，月球球半径RM?1.74?106m，地月距离r?3.84?108m ，RE?6.37?106m，

太阳质量MS?1.99?1030kg，地日距离rES?1.50?1011m?1AU，木星到太阳距离rJS?5.02AU，火星到太阳距离rMS?1.52AU。万有引力常数G?6.67?10?11N?m2?kg?2

例题精讲

本题与主题无关，用来舒活筋骨

【例1】

假设某人搭设了一个从地面附近一直延伸的月球附近的天梯。天梯与地月连线保持静止。天梯横截面积为S?1m2，密度为??0.2?103kg/m3。

(a)为了使得天梯能保持平衡，允许在星体附近挂一个配重。求配重质量。 (b)在第一问基础上，求出天梯材料应当能承受压强是多少。

各种变轨道。其实非常简单，利用上一讲关于轨道的结论+能量守恒/角动量守恒，完爆 【例2】

一卫星在半径为r的圆形轨道上运动．运动周期为T。如果给卫星一个附

.

天体运动基本训练

1．第一个较准确测量出万有引力常量的科学家是（ ） A．卡文迪许B．开普勒C．牛顿D．第谷

2．地球的半径为R0，地球表面处的重力加速度为g，一颗人造卫星围绕地球做匀速圆周运动，卫星距地面的高度为R0，下列关于卫星的说法中正确的是 A、卫星的线速度大小为2R0g2B、卫星的角速度大小为2g 8R0C、卫星的加速度大小是2R0gD、卫星的运动周期为2? 2g3．已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T，地球同步卫星质量为m，引力常量为

G．有关同步卫星，下列表述正确的是（ ）

2GMTA．卫星距地面的高度为3 4?2B．卫星的运行速度大于第一宇宙速度 C．卫星运行时受到的向心力大小为GMm R2F，4D．卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度

4．某物体在地面上受到地球对它的万有引力为F，为使此物体受到的引力减小到应把此物体置于距地面的高度为（R指地球半径）（ ） A．R B．2R C．4R D．8R

5．在同一轨道平面上的三个人造地球卫星A、B、C都绕地球做匀速圆周运动，在某一时刻恰好在同一直线上，下列说法正确的有（ ）

A．根据v?gr，可知v

万有引力定律及其应用

【知识网络】

1．开普勒行星运动三定律简介（轨道、面积、比值）

丹麦开文学家开普勒信奉日心说，对天文学家有极大的兴趣，并有出众的数学才华，开普勒在其导师弟谷连续20年对行星的位置进行观测所记录的数据研究的基楚上，通过四年多的刻苦计算，最终发现了三个定律。

第一定律：所有行星都在椭圆轨道上运动，太阳则处在这些椭圆轨道的一个焦点上； 第二定律：行星沿椭圆轨道运动的过程中，与太阳的连线在单位时间内扫过的面积相等；

第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等．即

rT

32

k.

例1.2011-海南-12 2011年4月10日，我国成功发射第8颗北斗导航卫星，建成以后北斗导航卫星系统将包含多颗地球同步卫星，这有助于减少我国对GPS导航系统的依赖，GPS由运行周期为12小时的卫星群组成，设北斗导航系统同步卫星和GPS导航的轨道半径分别为R和R速度分别为和a，则R1:R2=_____。a1:a2=_____（可用根式表示）

2

2

，向心加

T1 3 答案：

R2 T2

R1

R a

，1 1

a2 R2

T1

2

2

2

解析：主要考查开普勒第三定律。

2

T

GMm4

R 由得： R

ma 2，22

RT

2

a

GMR

2

R1 T1

万有引力与航天

一、开普勒行星运动定律----太阳系中行星绕太阳公转所遵循的定律

第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上． 第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积． R3?K第三定律：所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相等即 T2R代表轨道半径，T代表公转周期，在太阳系中K是一个常数。了解恒星、行星、卫星概念 。

注意：在开普勒所在的时代，当时的科学家认为宇宙中只有太阳系，没有其它的恒星系，他们认为开普勒三定律就是宇宙中的定律，但从现在来看，开普勒三定律只是太阳系中行星绕太阳公转所遵循的定律或卫星绕行星运动的定律；开普勒第三定律中的K值只和中心天体的质量有关（被绕行的天体叫做中心天体），

与行星或卫星无关，中心天体相同， K值是一样的，对于不同的中心天体K值是不同的。

练习：

1、关于地球和太阳，下列说法中正确的是 （ A

A．地球是围绕太阳运转的 B．太阳总是从东面升起，从西面落下，所以太阳围绕地球运转 C．由于地心说符合人们的日常经验，所以地心说是正确的

1.人造地球卫星做半径为r，线速度大小为v的匀速圆周运动。当其角速度变为原来的为_________，线速度大小为_________。 【解析】由G来的

2

倍后，运动半径4

Mm22?m?r可知，角速度变为原来的倍后，半径变为2r，由v??r可知，角速度变为原24r222

倍后，线速度大小为v。【答案】2r，v 422

2.一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为

v0假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力

计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为质量为

N0，已知引力常量为G,则这颗行星的

2mvA．

GN4mv B.

GN

2NvC．

Gm4Nv D.

Gm

【解析】卫星在行星表面附近做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律有

2MmMm//vG2?m，宇航员在行星表面用弹簧测力计测得质量为m的物体的重为N，则 G2?N，解得RRRmv4M=，B项正确。【答案】B GN

3.如图所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带。假设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动。下列说法正确的是 A.太阳对小行星的引力相同

B.各小行星绕太阳运动的周期小于一年

C.小行星

题型1 运动的合成与分解问题

例1 质量为2 kg的质点在竖直平面内斜向下做曲线运动，它在竖直方向的速度图象和水

平方向的位移图象如图1甲、乙所示，下列说法正确的是

( )

甲 乙

图1

A．前2 s内质点处于失重状态 B．2 s末质点速度大小为4 m/s

C．质点的加速度方向与初速度方向垂直 D．质点向下运动的过程中机械能减小

物体在光滑水平面上，在外力F作用下的v－t图象如图2甲、乙所示，从

图中可以判断物体在0～t4的运动状态

( )

甲 乙

图2

A．物体一直在做曲线运动

B．在t1～t3时间内，合外力先增大后减小 C．在t1、t3时刻，外力F的功率最大 D．在t1～t3时间内，外力F做的总功为零 答案 ABD

题型2 平抛运动问题的分析

例2 如图3，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动(小球可视为质点)，

飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点．O为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R，OB与水平方向夹角为60°，重力加速度为g，则小球抛出时的初速度为

( )

图3

A. C.

3gR 23gR

2

B. D.

33gR

23gR

3

(2013·北京·19)在实验操作前应该对实

曲线运动及天体运动规律的应用1

【命题趋向】

《大纲》对匀速圆周运动、角速度、线速度、向心加速度等考点为Ⅰ类要求，对运动的合成与分解，抛体运动，匀速圆周运动的向心力等考点均为Ⅱ类要求。对万有引力定律及其应用，环绕速度等考点均为Ⅱ类要求，对第二宇宙速度和第三宇宙速度等考点为Ⅰ类要求。

抛体运动与圆周运动是高中阶段学习的两种重要的运动形式，是历年高考重点考查的内容之一。平抛运动、匀速圆周运动的规律及物体做曲线运动的条件是考查的重点和难点，

万有引力定律与天体问题是历年高考必考内容。考查形式多以选择、计算等题型出现。本部分内容常以天体问题（如双星、黑洞、恒星的演化等）或人类航天（如卫星发射、空间站、探测器登陆等）为背景，考查向心力、万有引力、圆周运动等知识。这类以天体运动为背景的题目，是近几年高考命题的热点，特别是近年来我们国家在航天方面的迅猛发展，更会出现各类天体运动方面的题。 【考点透视】

1．理解曲线运动的条件和特点

（1）曲线运动的条件：运动物体所受合外力的方向跟其速度方向不在一条直线上时，物体做曲线运动。

1在曲线运动中，运动质点在某一点的瞬时速度方向，就是通（2）曲线运动的特点：○

过这一点的曲线的切线方向。②曲线运动是变速运动，这是因为

曲线运动及天体运动规律的应用1

【命题趋向】

《大纲》对匀速圆周运动、角速度、线速度、向心加速度等考点为Ⅰ类要求，对运动的合成与分解，抛体运动，匀速圆周运动的向心力等考点均为Ⅱ类要求。对万有引力定律及其应用，环绕速度等考点均为Ⅱ类要求，对第二宇宙速度和第三宇宙速度等考点为Ⅰ类要求。

抛体运动与圆周运动是高中阶段学习的两种重要的运动形式，是历年高考重点考查的内容之一。平抛运动、匀速圆周运动的规律及物体做曲线运动的条件是考查的重点和难点，

万有引力定律与天体问题是历年高考必考内容。考查形式多以选择、计算等题型出现。本部分内容常以天体问题（如双星、黑洞、恒星的演化等）或人类航天（如卫星发射、空间站、探测器登陆等）为背景，考查向心力、万有引力、圆周运动等知识。这类以天体运动为背景的题目，是近几年高考命题的热点，特别是近年来我们国家在航天方面的迅猛发展，更会出现各类天体运动方面的题。 【考点透视】

1．理解曲线运动的条件和特点

（1）曲线运动的条件：运动物体所受合外力的方向跟其速度方向不在一条直线上时，物体做曲线运动。

1在曲线运动中，运动质点在某一点的瞬时速度方向，就是通（2）曲线运动的特点：○

过这一点的曲线的切线方向。②曲线运动是变速运动，这是因为

一、卫星的运动参量与轨道半径的关系问题

天体的运动近似看成匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供，即

由此可得线速度v与轨道半径的平方根成反比；角速度与轨道半径的立方的平方根成反比；加速度a与轨道半径的平方成反比；周期T与轨道半径的立方的平方根成正比．

二、求天体的质量(或密度)

1．根据绕中心天体运动的卫星的运行周期和轨道半径，求中心天体的质量 卫星绕中心天体运动的向心力由中心天体对卫星的万有引力提供，即

4π2r4π2r

3Mm由G2＝m得M＝ TGTr

（若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其

轨道半径r等于天体半径R，则天体密度）

2．根据在天体附近万有引力近似等于物体的重力，求中心天体的质量

由天体表面上的重力加速度和天体的半径求天体的质量 由 得

（式中M、g、R分别表示天体的质量、天体表面的重力加速

度和天体的半径．）

三、双星问题

设双星的两子星的质量分别为M1和M2，相距L，M1和M2的角速度分别

为ω1和ω2，线速度分别为v1和v2，由万有引力定律和牛顿第二定律得：

1.双星中两颗子星做匀速圆周运动的向心力大小相同

2.双星中两颗子星匀速圆周运动的角速度和周期相同

3.两子星圆周运动的轨道半径与质量成反比r1：r2=m2：m1

4.两子星圆周运动的 线