高中数学全国联赛备考手册

高中数学竞赛训练题

1．设全集I={(x,y)|x,y∈R}，集合M=?(x,y)??y?3??1?，N={(x，y)|y≠x+1}，那么CIM∩CIN等于x?2?D．{(x，y)|y=x+1}

（ ）

A．?

B．{(2，3)}

C．（2，3）

2．函数f(x)=log1（x2-2x-3）的单调递增区间是（ ）

2A．（-≦，-1） B．（-≦，1） C．（1，+≦） D．（3，+≦）

23．设全集是实数集，若A={x|

A．{2}

B．{-1}

x?2≤0}，B={x|10x

C．{x|x≤2}

?2=10x}，则A∩B是（ ） D．?

4．集合A，B的并集A∪B={a1，a2，a2}，当A≠B时，（A，B）与（B，A）视为不同的对，则这样

的（A，B）对的个数有（ ）

A．8 B．9 C．26 D．27

5．若非空集事A={x|2a+1≤x≤3a-5}，B={x|3≤x≤22}，则能使A?A∩B成立的所有a的集合是（ ） A．{a|1≤a≤9} 6．函数f(x)?B．{a|6≤a≤9}

C．{a|a≤9}

D．?

xx?（ ）

1?2x2

B．是奇函数但不是偶函数

高中数学联赛

全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》。

全国高中数学联赛(加试)在知识方面有所扩展，适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加内容是： 1．平面几何

几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理； 三角形旁心、费马点、欧拉线； 几何不等式； 几何极值问题；

几何中的变换：对称、平移、旋转； 圆的幂和根轴：

面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。 2．代数

周期函数，带绝对值的函数；

三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数；

递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式； 第二数学归纳法；

平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数及其应用； 复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根；

多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*；

n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理； 函数迭代，求n次迭代*，简单的函数方程*。 3．初等数论

高中数学联赛

全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》。

全国高中数学联赛(加试)在知识方面有所扩展，适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加内容是： 1．平面几何

几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理； 三角形旁心、费马点、欧拉线； 几何不等式； 几何极值问题；

几何中的变换：对称、平移、旋转； 圆的幂和根轴：

面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。 2．代数

周期函数，带绝对值的函数；

三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数；

递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式； 第二数学归纳法；

平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数及其应用； 复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根；

多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*；

n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理； 函数迭代，求n次迭代*，简单的函数方程*。 3．初等数论

全国高中数学联赛模拟试题(十)

一、选择题：(每小题6分，共36分)

1、设集合M={-2,0,1}，N={1,2,3,4,5}，映射f：M N使对任意的x M，都有x+f(x)+xf(x)是奇数，则这样的映射f的个数是

(A)45 (B)27 (C)15 (D)11

2、已知sin2q=a，cos2q=b，0 q ，给出值的五个：

① ; ② ; ③ ; ④ ;

⑤ .

其中正确的是：

(A)①②⑤ (B)②③④(C)①④⑤ (D)③④⑤

1/ 8

3、若干个棱长为2、3、5的长方体，依相同方向拼成棱长为90的正方体，则正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是

(A)64 (B)66 (C)68 (D)70

4、递增数列1,3,4,9,10,12,13, ，由一些正整数组成，它们或者是3的幂，或者是若干个3的幂之和，则此数列的第100项为

(A)729 (B)972 (C)243 (D)981

5、 (其中，[x]表示不超过x的最大整数)的值为

(A) (B) (C) (D) 6、一个五位的自然数称为凸数，当且仅当它满足a b c，c d e(如12430，13531等)，则在所有的五位数中凸数的个数是

(A)8568 (B)2142 (C)2139 (D)1134

二、填

2012年全国高中数学联赛成绩公布

2012年全国高中数学联赛成绩已经揭晓，有5位同学获全国三等奖；有7位同学获省一等奖，11位同学获省二等奖，18位同学获省三等奖；有49位同学获市一等奖，98位同学获市二等奖，135位同学获市三等奖。有62位辅导教师被评为市优秀辅导员。现将名单公布如下，以资鼓励。

优秀辅导员（62名）

申利民（肇庆中学） 俞洪升（肇庆中学） 易增平（肇庆中学） 李小梅（肇庆一中） 罗 成（肇庆一中） 饶 静（肇庆一中） 万永峰（肇庆一中） 周昌斌（肇庆一中） 邓育军（四会中学） 谌俊丽（肇庆中学） 郭慧媛（江口中学） 谢 敏（肇庆中学） 卢成志（肇庆一中） 杨陆均（高要二中） 冼健雄（高要二中） 夏艳梅（高要一中） 龙 彪（香山中学） 梁慧祯（高要一中） 胡明方（新桥中学） 邹桂兰（肇庆中学） 熊 燕（怀集一中） 陈永祥（肇庆一中） 李文君（鼎湖中学） 袁 则（高要一中） 熊晓华（肇庆中学） 彭艳兵（广宁一中） 郑 涯（怀集中学） 冯永健（端州中学） 廖伟东（端州中学） 杨丽娟（端州中学） 萧翠颜（鼎湖中学） 蒙

2012年全国高中数学联赛福建赛区

获奖学生及指导教师名单

奖次 姓 名 李君诚 陈景林 苏肇祺 一 等 奖 （41名） 陈洁锋 吴秉杰 陈景发 黄熹之 赖泽华 林永锋 高登峰 郑予凡 林 楠 蔡宇涵 涂霁原 张 毅 龙岩一中 福州一中 厦门双十中学 南安一中 福建师大附中 泉州七中 福州一中 泉州五中 泉州七中 长乐一中 福州三中 莆田一中 福州一中 福建师大附中 厦门外国语学校 所在学校 指导教师 方秦金 王 欣 赵祥枝 林建源 连信榕 杜成北 王 欣 陈 显 曹东方 刘宇璋 林 风 吴天然 陈德燕 黄振胜 周志伟 奖次 姓 名 郑婉怡 林 坚 吴艺杰 郑延敏 刘淇禄 付祖悦 林梓楠 长乐一中 所在学校 指导教师 刘宇璋 连信榕 徐小平 周 翔 许 波 李 迅 徐小平 刘金星 林 玲 林保平 李 辉 吴铭辉 陈荣海 夏彦婴 宋梅玉 连信榕 叶良清 苏文新 郭艺斌 福建师大附中 厦门一中 厦门一中 厦门双十中学 福州一中 厦门一中 仙游一中 福州一中 三明二中 永定一中 厦门外国语学校 安溪一中 福州一中 福州一中 福建师大附中 安溪一中 安溪一中 福州一中 一 一 等 奖 （4

2002年全国高中数学联赛获奖通知

各县（市）教育局教研室： 各 有 关 学 校：

接省数学会通知，2002年全国高中数学联赛我省有13000余名学生参加。经浙江省数学会、中国数学会2002年全国高中数学联合竞赛组织委员会评定，报浙江省学科竞赛委员会批准，评出全国一等奖45名、二等奖202名（由中国数学会颁发荣誉证书），浙江省一等奖176名、二等奖185名（由浙江省数学会颁发荣誉证书），浙江赛区团体优胜奖10个代表队（由浙江省数学会颁奖）。

嘉兴市有1579名学生参赛，获全国一等奖2名、二等奖19名，浙江省一等奖22名、二等奖9名。嘉兴一中获浙江赛区团体优胜奖。

另由嘉兴市数学会评定嘉兴市一等奖31名、二等奖74名。

注：本次竞赛采用不重复设奖办法，即全国奖高于省级奖、省级奖高于市级奖。嘉兴市全部获奖学生姓名、所在学校、指导老师姓名见附件。

嘉兴市教育局教研室

嘉兴市数学会

嘉兴市教育学会中学数学教学分会

2003年1月

附件：

2002年全国高中数学联赛

嘉兴市获奖名单

团体优胜奖：嘉兴一中 个 人 奖：共158名 序号 学生姓名 1 林 川

2 朱 量

1 许 枞

2 邵元龙

3 严 澄

4 徐震翔

5 王

2012年全国高中数学联赛成绩公布

2012年全国高中数学联赛成绩已经揭晓，有5位同学获全国三等奖；有7位同学获省一等奖，11位同学获省二等奖，18位同学获省三等奖；有49位同学获市一等奖，98位同学获市二等奖，135位同学获市三等奖。有62位辅导教师被评为市优秀辅导员。现将名单公布如下，以资鼓励。

优秀辅导员（62名）

申利民（肇庆中学） 俞洪升（肇庆中学） 易增平（肇庆中学） 李小梅（肇庆一中） 罗 成（肇庆一中） 饶 静（肇庆一中） 万永峰（肇庆一中） 周昌斌（肇庆一中） 邓育军（四会中学） 谌俊丽（肇庆中学） 郭慧媛（江口中学） 谢 敏（肇庆中学） 卢成志（肇庆一中） 杨陆均（高要二中） 冼健雄（高要二中） 夏艳梅（高要一中） 龙 彪（香山中学） 梁慧祯（高要一中） 胡明方（新桥中学） 邹桂兰（肇庆中学） 熊 燕（怀集一中） 陈永祥（肇庆一中） 李文君（鼎湖中学） 袁 则（高要一中） 熊晓华（肇庆中学） 彭艳兵（广宁一中） 郑 涯（怀集中学） 冯永健（端州中学） 廖伟东（端州中学） 杨丽娟（端州中学） 萧翠颜（鼎湖中学） 蒙

2012年全国高中数学联赛福建赛区

获奖学生及指导教师名单

奖次 姓 名 李君诚 陈景林 苏肇祺 陈洁锋 吴秉杰 陈景发 黄熹之 一 等 奖 （41名） 林 楠 蔡宇涵 涂霁原 张 毅 郑婉怡 林 坚 吴艺杰 郑延敏 刘淇禄 付祖悦 林梓楠 陈集懿 莆田一中 福州一中 福建师大附中 厦门外国语学校 长乐一中 福建师大附中 厦门一中 厦门一中 厦门双十中学 福州一中 厦门一中 仙游一中 吴天然 陈德燕 黄振胜 周志伟 刘宇璋 连信榕 徐小平 周 翔 许 波 李 迅 徐小平 刘金星 赖泽华 林永锋 高登峰 郑予凡 龙岩一中 福州一中 厦门双十中学 南安一中 福建师大附中 泉州七中 福州一中 泉州五中 泉州七中 长乐一中 福州三中 所在学校 指导教师 方秦金 王 欣 赵祥枝 林建源 连信榕 杜成北 王 欣 陈 显 曹东方 刘宇璋 林 风 奖次 一 一 等 奖 （41名） 姓 名 张泽华 刘锦鹏 范兴鹏 林 真 林 杰 林继航 洪伟峻 郭靖邦 高志杰 许昭贤 蔡 健 林 雨 陈泽群 林若轩 黄安祥 洪景渠 叶 豪 严 炜 陈天乐 康泽淇 福州一中 三明二中 永定一中 所在学校 指导教

2012年全国高中数学联赛一试

参考答案及详细评分标准

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在题中的横线上．

1.设P 是函数2y x x =+

（0x >）的图像上任意一点，过点P 分别向 直线y x =和y 轴作垂线，垂足分别为,A B ，则PA PB ?u u u r u u u r 的值是 ． 2.设ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足3cos cos 5a B b A c -=

， 则tan tan A B

的值是 .

3.设,,[0,1]x y z ∈，则M =是 .

4.抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为ｌ，,A B 是抛物线上的 两个动点，且满足3AFB π∠=

．设线段ＡＢ的中点M 在ｌ上的投影为N ， 则||||

MN AB 的最大值是 . 5．设同底的两个正三棱锥P ABC -和Q ABC -内接于同一个球．若正三棱锥P ABC -的侧面与底面所成的角为45o ，则正三棱锥Q ABC -的侧面与底面所成角的正切值是