高考数学解析几何真题

第一部分 五年高考文科荟萃

2009年高考数学试题分类汇编——圆锥曲线 一、选择题

x2y2?2?1(a?b?0)2ab1（2009浙江文）已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF?x轴， 直????????y线AB交轴于点P．若AP?2PB，则椭圆的离心率是（D ） 1132A．2 B．2 C．3 D．2 1????????OA?2OF,?a?2c,?e?2 【解析】对于椭圆，因为AP?2PB，则

2y?ax(a?0)的焦点F,且和y轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)l2.(2009山东卷文)设斜率为2的直线过抛物线

的面积为4,则抛物线方程为( ).

2222y?4xy??4xy??8xy?8x A. B. C. D.

aay?2(x?)(,0)2yy?ax(a?0)l44【解析】 抛物线的焦点F坐标为,则直线的方程为,它与轴的交点为a1aa(0,?)||?||?42y??8x,故选B. a??82242A,所以△OAF的面积为,解得.所以抛物线方程为

【答案】

- 1 - 解析几何

H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程

21．B12，H1[20132新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)＝x 2e －x .

(1)求f(x)的极小值和极大值；

(2)当曲线y ＝f(x)的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围．

21．解：(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)．

f ′(x)＝－e －x x(x －2)．①

当x∈(－∞，0)或x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0；

当x∈(0，2)时，f′(x)>0.

所以f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)单调递减，在(0，2)单调递增．

故当x ＝0时，f(x)取得极小值，极小值为f(0)＝0；当x ＝2时，f(x)取得极大值，极大

值为f(2)＝4e －2.

(2)设切点为(t ，f(t))，则l 的方程为

y ＝f′(t)(x－t)＋f(t)．

所以l 在x 轴上的截距为

m(t)＝t －f （t ）f′（t ）＝t ＋t t －2＝t －2＋2t －2

＋3. 由已知和①得t∈(－∞，0)∪(2，＋∞)．

令h(x)＝x ＋2x

(x≠0)，则当x∈(0，＋∞)时，h(x)的取值范围为[2 2，＋∞)；当x∈(－∞，－2)时，h(x)的取值范围是(－∞，－3)．

所以当t∈(－∞，0)∪

- 1 - 解析几何

H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程

20．H1，H5，H8[20132新课标全国卷Ⅱ] 平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12

. (1)求M 的方程；

(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD 面积的最大值．

20．解：(1)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(x 0，y 0)，则

x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22

b 2＝1. y 2－y 1x 2－x 1

＝－1. 由此可得b 2（x 2＋x 1）a 2（y 2＋y 1）＝－y 2－y 1x 2－x 1

＝1. 因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12

， 所以a 2＝2b 2.

又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3.

因此a 2＝6，b 2＝3.

所以M 的方程为x 26＋y 23＝1. (2)由?????x ＋y －3＝0，

x 26＋y 23

＝1， 解得?????x ＝4 33，y ＝－33

或???x ＝0

解析几何高考复习

一、抛物线

1、已知抛物线C:y?4x,点M(m,0)在x轴的正半轴上，过M的直线l与C相交于A、B两点，O为坐标原点。（I）若m=1，且直线l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程； （II）问是否存在定点M，不论直线l绕点M如何转动，使得

2、已知抛物线C：y?mx（m?0），焦点为F，直线2x?y?2?0 交抛物线C于A、 （1）若抛物线C B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q，上有一点R(xR,2)到焦点F的距离为3，求此时m的值； （2）是否存在实数m，使?ABQ 是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由。

3、知F为抛物线y?2px?p?0?的焦点，抛物线上点G的横坐标为2，且满足GF?3

22211恒为定值。 ?22|AM||BM|（1）求抛物线的方程；（2）点M?2,0?的坐标为，过点F作斜率为k1的直线与抛物线交于

A,B两点。A,B两点的横坐标不为2。连接AM,BM并延长交抛物线于C,D两点，设直线CD的斜率为k2，判断

k1是否作为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由。 k2DAOFBMC4、如图，已知抛物线C：

解析几何单元易错题练习

一．考试内容：

椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程. 双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质. 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质. 二．考试要求：

掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程. 掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质. 掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质. 了解圆锥曲线的初步应用.

【注意】圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学的重点内容，高考中主要出现三种类型的试题：①考查圆锥曲线的概念与性质；②求曲线方程和轨迹；③关于直线与圆锥曲线的位置关系的问题. 三．基础知识: 椭圆及其标准方程

椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点|

F1、F2的距离的和大于|F1F2|这个条件不可忽视.若这个距离之和小于

F1F2|，则这样的点不存在；若距离之和等于|F1F2|，则动点的轨迹是线段F1F2.

x2y2y2x2?2?1?2?122abbb2.椭圆的标准方程：a（＞＞0），a（a＞b＞0）.

2y3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果x项的分母大于

2项的分母，则椭圆的焦点在x

轴上，反之，焦点在y轴上.

4.求

高考文科解析几何专题

解析几何是高中数学的重要内容之一，也是衔接初等数学和高等数学的纽带。而圆锥曲线是解析几何的重要内容，因而成为高考考查的重点。研究圆锥曲线，无外乎抓住其方程和曲线两大特征。它的方程形式具有代数的特性，而它的图像具有典型的几何特性，因此，它是代数与几何的完美结合。高中阶段所学习和研究的圆锥曲线主要包括三类：椭圆、双曲线和抛物线。

【重要知识点】

1.两条相交直线l1与l2的夹角：是指由l1与l2相交所成的四个角中最小的正角?，又称为l1k2?k1??????900,tan??和l2所成的角，它的取值范围是?，当，则有。 ?2?1?kk??12?l1:A1x?B1y?C1?0的交点的直线系方程A1x?B1y?C1??(A2x?B2y?C2)?0(?l:Ax?By?C?022?222.过两直线?为参数，A2x?B2y?C2?0不包括在内）。

3.设点P(x0,y0)，直线l:Ax?By?C?0,P到l的距离为d，则有d?Ax0?By0?CA?B22.

4.两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式：|P1P2|?(x2?x1)2?(y2?y1)2 5.两直线l1:y1?k1x1?b1,l2:y2?k2x2?b2的位置关

(2015) 已知椭圆

的左焦点为，离心率为，点

在椭圆上且位于第一象限，直线被圆截得的线段的长为，

。

（Ⅰ）求直线

的斜率；

（Ⅱ）求椭圆的方程； （Ⅲ）设动点

在椭圆上，若直线

的斜率大于

，求直线

（

为原点）

的斜率的取值范围。

(2014) 设椭圆+

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，

上顶点为B，已知|AB|=

|F1F2|．

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．

(2013) 设椭圆x2y2ab?b?0)的左焦点为F, 离心率为32?2?1(a3, 过点F且与x

轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.

(Ⅰ) 求椭圆的方程;

(Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D

两点. 若???AC?·???DB?????AD?·???CB??8, 求k的值.

（本小题满分14分）设椭圆x2a+y2(2012)2b2=1(a>b>0)的

x2y23?1(a?2)的离心率为1.（2013年卓越联盟第10题）设椭圆2?，斜率为k的直

a43线l过点E(0,1)且与椭圆交予C,D两点

（I）求椭圆方程；

（II）若直线l与x轴相交于点G，且GC?DE，求k的值；

（III）设A为椭圆的下顶点，kAC,kAD分别为直线AC,AD的斜率，证明对任意的k，恒有kAC?kAD??2.

c2a2?412x2y2?,a?6，椭圆方程??1； 解答：（1）2?2aa364（2）本问直接处理GC?DE运算量大，用CD,GE的中点重合简单.

y?kx?1?22,(2?3k)x?6kx?9?0， ?22?2x?3y?12?0?3k16'CD中点x0?GE;kx?1?0x??，中点，由中点重合得； k??02?3k22k3（3）设C?x1,y1?,D?x2,y2?,A?0,?2?, kACkADy1?2y2?2kx1?3kx2?3k2x1x2?3k(x1?x2)?9???????2得证.

x1x2x1x2x1x22. （2013年华约第3题）3 已知k?0，从直线y?kx和y??kx上分别选取点满足OAOB?1?k2，其中O为坐标原点，AB中点MA(xA,yA),B(xB,yB)，xAxB?0，的轨迹为曲

1（湖北卷）已知平面区域D由以A(1,3),B(5,2),C(3,1)为顶点的三角形内部＆边界组成。若在区域D上有无穷多个点(x,y)可使目标函数z＝x＋my取得最小值，则m? A．－2 B．－1 C．1 D．4 解：依题意，令z＝0，可得直线x＋my＝0的斜率为－

1，结合可行域可知当直线x＋mym＝0与直线AC平行时，线段AC上的任意一点都可使目标函数z＝x＋my取得最小值，而直线AC的斜率为－1，所以m＝1，选C

2．（湖南卷）若圆x?y?4x?4y?10?0上至少有三个不同点到直线l:ax?by?0的距离为22,则直线l的倾斜角的取值范围是 ( ) A.[

22??124

2,

] B.[

2?5?1212,] C.[

??,] D.[0,]

263?222解析：圆x?y?4x?4y?10?0整理为(x?2)?(y?2)?(32)，∴圆心坐标为

(2，2)，半径为32，要求圆上至少有三个不同的点到直线l:ax?by?0的距离为22，则圆心到直线的距离应小于等于2， ∴

|2a?2b|aa≤2，∴ ()2?4()?1≤

1. 有如下结论：“圆x2?y2?r2上一点P(x0,y0)处的切线方程为

22xyx0y?y0y?r2”，类比也有结论：“椭圆2?2?1(a?b?0)上一点P(x0,y0)处的切

abx0xy0yx2?y2?1的右准线l上任意一点M引椭圆C的 线方程为2?2?1”，过椭圆C：4ab两条切线，切点为 A、B.

（1）求证：直线AB恒过一定点；

（2）当点M在的纵坐标为1时，求△ABM的面积

x1x43,t)(t?R),A(x1,y1),B(x2,y2),则MA的方程为?y1y?1 1.解：（1）设M(343x1?ty1?1 ①……………………3分 ∵点M在MA上∴33x2?ty2?1②…………………………5分 同理可得33x?ty?1,即x?3(1?ty)…………6分 由①②知AB的方程为3易知右焦点F（

3,0）满足③式，故AB恒过椭圆C的右焦点F（3,0）……8分

x2?y2?1,化简得7y?6y?1?0 （2）把AB的方程x?3(1?y)代入436?2816?……………………12分 ∴|AB|?1?3?7743|3?23

又M到AB的距离d?31?3|∴△ABM的面积S?1163?|AB|?d?……………………15分 2211

aax