蝴蝶定理燕尾定理几何题
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蝴蝶定理与燕尾定理
蝴蝶定理与燕尾定理
蝴蝶定理与燕尾定理
办学理念:把您的孩子当成我们的孩子文远教育中小学生个性化教育公司 1 ABCDEFABCDEF文远教育__数学__学科教师辅导教案第_1_讲 教师姓名__沈军__学生_汪铮_时间_2011_年_10_月 11_ 日 __19-_21 时段 课 题 蝴蝶定理与燕尾定理 教学目标 1、理解模型1的基本原理2、理解3个模型的内容和意义3、应用模型解决问题4、真题演练 个性化重点、难点 重点模型2和3 难点模型1的基本原理的应用 考点及考试要求 求面积的比例求面积的大小 教学内容 模型一同一三角形中相应面积与底的正比关系 即两个三角形高相等面积之比等于对应底边之比。 模型一的拓展 等分点结论“鸟头定理” 如图三角形AED占三角形ABC面积的23×1416 1. 北京市第八届“迎春杯”数学竞赛决赛第一题第4题 如右图BE31BCCD41AC那么三角形AED的面积是三角形ABC面积的______. 模型二任意四边形中的比例关系 “蝴蝶定理” ①S1S2S4S3 或者S1×S3S2×S4 ②
AOOCS1S2S4S3 B A E C D S4S3s2s1ODCBADECBA 办学理念:把您的孩
蝴蝶定理与燕尾定理
燕尾定理
燕尾定理:
在三角形ABC中,AD,BE,CF相交于同一点O,那么S?ABO:S?ACO?BD:DC.
AEO
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”):
FBDCAS2aS1OS3S4DBbC
①S1:S3?a2:b2
②S1:S3:S2:S4?a2:b2:ab:ab; ③S的对应份数为?a?b?. 等积变形
①等底等高的两个三角形面积相等;
②两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比; 两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比; 如左图S1:S2?a:b
2ABS1aS2bCD
③夹在一组平行线之间的等积变形,如右上图S△ACD?S△BCD;
反之,如果S△ACD?S△BCD,则可知直线AB平行于CD.
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形); ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;
⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比;两个平行四边形底相等,面积比等于它们的高之比.
二、鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比.
如图在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点如图 ⑴(或
蝴蝶定理与燕尾定理
燕尾定理
燕尾定理:
在三角形ABC中,AD,BE,CF相交于同一点O,那么S?ABO:S?ACO?BD:DC.
AEO
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”):
FBDCAS2aS1OS3S4DBbC
①S1:S3?a2:b2
②S1:S3:S2:S4?a2:b2:ab:ab; ③S的对应份数为?a?b?. 等积变形
①等底等高的两个三角形面积相等;
②两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比; 两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比; 如左图S1:S2?a:b
2ABS1aS2bCD
③夹在一组平行线之间的等积变形,如右上图S△ACD?S△BCD;
反之,如果S△ACD?S△BCD,则可知直线AB平行于CD.
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形); ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;
⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比;两个平行四边形底相等,面积比等于它们的高之比.
二、鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比.
如图在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点如图 ⑴(或
蝴蝶定理与燕尾定理
燕尾定理
燕尾定理:
在三角形ABC中,AD,BE,CF相交于同一点O,那么S?ABO:S?ACO?BD:DC.
AEO
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”):
FBDCAS2aS1OS3S4DBbC
①S1:S3?a2:b2
②S1:S3:S2:S4?a2:b2:ab:ab; ③S的对应份数为?a?b?.
等积变形
①等底等高的两个三角形面积相等;
②两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比; 两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比; 如左图S1:S2?a:b
2ABS1aS2bCD
③夹在一组平行线之间的等积变形,如右上图S△ACD?S△BCD;
反之,如果S△ACD?S△BCD,则可知直线AB平行于CD.
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形); ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;
⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比;两个平行四边形底相等,面积比等于它们的高之比.
二、鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比.
如图在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点如图 ⑴(或
蝴蝶定理与燕尾定理
蝴蝶定理与燕尾定理
蝴蝶定理与燕尾定理
办学理念:把您的孩子当成我们的孩子文远教育中小学生个性化教育公司 1 ABCDEFABCDEF文远教育__数学__学科教师辅导教案第_1_讲 教师姓名__沈军__学生_汪铮_时间_2011_年_10_月 11_ 日 __19-_21 时段 课 题 蝴蝶定理与燕尾定理 教学目标 1、理解模型1的基本原理2、理解3个模型的内容和意义3、应用模型解决问题4、真题演练 个性化重点、难点 重点模型2和3 难点模型1的基本原理的应用 考点及考试要求 求面积的比例求面积的大小 教学内容 模型一同一三角形中相应面积与底的正比关系 即两个三角形高相等面积之比等于对应底边之比。 模型一的拓展 等分点结论“鸟头定理” 如图三角形AED占三角形ABC面积的23×1416 1. 北京市第八届“迎春杯”数学竞赛决赛第一题第4题 如右图BE31BCCD41AC那么三角形AED的面积是三角形ABC面积的______. 模型二任意四边形中的比例关系 “蝴蝶定理” ①S1S2S4S3 或者S1×S3S2×S4 ②
AOOCS1S2S4S3 B A E C D S4S3s2s1ODCBADECBA 办学理念:把您的孩
几何中的蝴蝶定理
几何中的蝴蝶定理
几何之蝴蝶定理
一、 基本知识点
模型一:同一三角形中,相应面积与底的正比关系:
即:两个三角形高相等,面积之比等于对应底边之比。
b
S1︰S2 =a︰b ; 模型一的拓展: 等分点结论(“鸟头定理”)
如图,三角形AED占三角形ABC面积的
211
×= 346
模型二:任意四边形中的比例关系 (我们把它称作蝴蝶定理)
As2
B
D
s1S3
C
S4
①S1︰S2=S4︰S3 或者S1×S3=S2×S4 ②AO︰OC=(S1+S2)︰(S4+S3)
模型三:梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)
几何中的蝴蝶定理
as1s2
S3b
S4
①S1︰S3=a︰b
22
②S1︰S3︰S2︰S4= a︰b︰ab︰ab ;
2
③S的对应份数为(a+b)模型四:相似三角形性质
22
bB
ha
cCH
ah
c
BHA
A
①
abch
; ABCH
2
2
②S1︰S2=a︰A
二、 例题分析
例1、如图,AD DB,AE EF FC,已知阴影部分面积为5平方厘米,ABC的面积是多少平方厘米?
例2、有一个三角形ABC的面积为1,如图,且AD 三角形DEF的面积.
A
111
AB,BE BC,CF CA,求234
D
例3、如图,在三角形ABC中,
小学奥数几何之蝴蝶定理
几何之蝴蝶定理
一、 基本知识点
定理1:同一三角形中,两个三角形的高相等,则面积之比 等于对应底边之比。
S1 : S2 = a : b
定理2:等分点结论( 鸟头定理)
如图,三角形△AED的面积占三角形△ABC的面积的
313?? 5420
定理3:任意四边形中的比例关系( 蝴蝶定理)
1) S1∶S2 =S4∶S3 或 S1×S3 = S2×S4
上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积
2)AO∶OC = (S1+S2)∶(S4+S3)
梯形中的比例关系( 梯形蝴蝶定理)
1)S1∶S3 =a2∶b2
上、下部分的面积比等于上、下边的平方比
2)左、右部分的面积相等
3)S1∶S3∶S2∶S4 =a2∶b2 ∶ab∶ab
4)S的对应份数为(a+b)2
定理4:相似三
蝴蝶定理和风筝定理
第三讲 蝴蝶定理和风筝定理
一、引入
1、蝴蝶定理
在梯形ABCD中,由对角线AC与BD分成的左右两个三角形(△ADO和△BCO)形状有点像一对蝴蝶翅膀,把这两个三角形称为蝴蝶三角形(如图),蝴蝶三角形的面积相等。
B A
O D 即S△ADO=S△BCO
C 2、风筝定理
在任意四边形ABCD中,对角线AC、BD分成了四个三角形(如图), A S1 这四个三角形的面积分别记为:S1 、S2 、S3 、S4。
则它们的关系是:
S3 O S1×S4 =S2×S3
S4
即相对的两个三角形的面积乘积是相等的。
D
B S2
C 二、新授课
【例1】如图,梯形的两条对角线分梯形为四个小三角形,已知△AOD的面积是3平方厘
米,△DOC的面积是9平方厘米,梯形ABCD的面积是多少平方厘米?
A O D C B
练习
1、如图,2BO=DO,且阴影部分的面积是4cm2,那么梯形ABCD的面积是多少平方厘米?
B A
O D 2
2、如图,阴影部分面积是4cm,OC=2AO,求梯形的面积。 B A O
C D 1 C
【例2】如图,BD,CF将长方形ABCD分成四块,红色三角形的面积是4平方厘米,黄
色三
几何定理大全
全部、初中几何定理
1过两点有且只有一条直线
2 两点之间线段最短
3 同角或等角的相等
4 同角或等角的相等
5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短
7 经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行
8 如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行
9 相等,两直线平行
10 相等,两直线平行
11 同旁内角互补,两直线平行
12两直线平行,相等
13 两直线平行,相等
14 两直线平行,互补
15 定理 三角形两边的和大于第三边
16 推论 三角形两边的差小于第三边
17 三角形三个内角的和等于180°
18 推论1 直角三角形的两个互余
19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
21 全等三角形的对应边、对应角相等
22边角边 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
23 角边角 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
24 推论 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
25 边边边 有三边对应相等的两个三角形全等
26 斜边、直角边公理 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
27 定理1 在角的平分线上的点到
平面几何(竞赛题定理)
平面几何的定理
模型1:【内心与外接圆】设I为△ABC的内心,射线AI交△ABC外接圆于A′,则有A ′I=A′B=A′C.换言之, 点A′必是△IBC之外心(内心的等量关系之逆也成立). A
I
BC
A' 模型2【内切圆与旁切圆】 三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于一点,是旁切圆的圆心,称为旁心.旁心常 常与内心联系在一起,旁心还与三角形的半周长关系密切. A 性质:(1)设AIA的连线交△ABC的外接圆于D,则DIA=DI=DB=DC; (2)△ABC的∠A的内角平分线交外接圆于点D,以点D为圆心,DC 为半径作圆,与直线AD相交于两点I和IA,则这两点I和IA恰好是△ABC 的内心和旁心。 I BC
D
IA
模型【3垂心性质】△ABC 垂心H关于三边的对称点在△ABC的外接圆上,关于三边中点的对称点在△ABC
的外接圆上;三角形任一顶点到垂心的距离等于外心到对边的距离的2倍(AH=|2RcosA|)。
A
B'F
E
O H M DBC
H'
1
模型4【圆幂定理】 从一定