线性代数矩阵公式总结

线性代数

①A?B?B?A

②?A?B??C?A??B?C?

③c?A?B??cA?cB ?c?d?A?cA?dA ④c?dA???cd?A

⑤cA?0?c?0或A?0。 AT??T?A

T ?A?B??AT?BT

?cA?TT?cAT。

?? ?AB??BTAT

??n?n?1??21??Cn2?n?n?1? 2D?a21A21?a22A22???a2nA2n

T转置值不变A?A

逆值变A?1?1 AcA?cnA

?,?1??2,???,?1,???,?2,?

A???1,?2,?3?，3阶矩阵 B???1,?2,?3? A?B?A?B

A?B???1??1,?2??2,?3??3?

A?B??1??1,?2??2,?3??3 A?A0??AB 0B?BE?i,j?c???1

有关乘法的基本运算

Cij?ai1b1j?ai2b2j???ainbnj 线性性质 ?A1?A2?B?A1B?A2B， A?B1?B2??AB1?AB2 ?cA?B?c?AB??A?cB? 结合

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第一章 行列式

1．逆序数 1.1 定义

n个互不相等的正整数任意一种排列为：i1i2???in，规定由小到大为标准次序，当某两个元素的先后次序与标准次序不

同时，就说有一个逆序数，该排列全部逆序数的总合用?数字的个数之和。 1.2 性质

一个排列中任意两个元素对换，排列改变奇偶性，即 ?2证明如下：

设排列为a1?alab1?bmbc1?cn，作m次相邻对换后，变成a1?alabb1?bmc1?cn，再作m?1次相邻对换后，变成a1?albb1?bmac1?cn，共经过2m?1次相邻对换，而对不同大小的两元素每次相邻对换逆序数要么增加1 ，要么减少1 ，相当于?2故原命题成立。

2．n阶行列式的5大性质

性质1：转置（行与列顺次互换）其值不变。 性质2：互换任意两行（列）其值变号。

性质3：任意某行（列）可提出公因子到行列式符号外。 性质4：任意行列式可按某行（列）分解为两个行列式之和。 性质5：把行列式某行（列）?倍后再加到另一行（列），其值不变。

行列式的五大性质全部可通过其定义证明；而以后对行列式的运算主要是利用这五个性质。

评 注 对性质4的重要拓展： 设n阶同型矩阵，

n?i1i2???in?表示，??

线性代数全公式

基本运算

①A?B?B?A

②?A?B??C?A??B?C?

③c?A?B??cA?cB ?c?d?A?cA?dA ④c?dA???cd?A

⑤cA?0?c?0或A?0。 AT??T?A

T ?A?B??AT?BT

?cA?TT?cAT。

?? ?AB??BTAT

??n?n?1??21??Cn2?n?n?1? 2D?a21A21?a22A22???a2nA2n

转置值不变AT?A 逆值变A?1?1 AcA?cnA

?,?1??2,???,?1,???,?2,? A???1,?2,?3?，3阶矩阵 B???1,?2,?3? A?B?A?B

A?B???1??1,?2??2,?3??3?

A?B??1??1,?2??2,?3??3 A?A0??AB 0B?BE?i,j?c???1

有关乘法的基本运算

Cij?ai1b1j?ai2b2j???ainbnj 线性性质 ?A1?A2?B?A1B?A2B， A?B1?B2??AB1?AB2 ?cA?B?c?AB??A?cB?

第2章 矩阵

授课序号01 a ??

，有时为了强调矩阵的行数和列数，也记为()n a ??.

12n n nn a a a ??

11212212

000n n nn a a a a a a ?? ? ???与上三角矩阵00nn a ??2000n λλ??????，n 阶对角矩阵也常记为12diag(,,,)Λ=λλλ.

0000a a a ??????

，简记为10

001

01? ??)?ij m n a ，若当>i j 时，恒有行数增大而增多，则称该矩阵为上梯形矩阵；若当，而关于主对角线对称的元素互为相反数

授课序号02 ()a =A 122

m m m mn mn b a b a b ?+++?矩阵，则

mn n

a x ++经过线性计算得到了m 线性变换的系数a

sj b ???第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数,两个矩阵的乘法才有意义，即应有A B C =次多项式.

1

2m m mn a a a ??12n n mn a a a ??

A 的转置矩阵,记作T A . 2．矩阵的转置满足的运算规律：设以下运算都有意义(1)()T T A A =； (2)(A +12m m A A A =?为非奇异矩阵，否则称为奇异矩阵. 12n n

nn A A A ?

线性代数《矩阵》相关习题

《线性代数》第二章练习题

102

9、设A是4 3矩阵且r(A) 2，B 020

，则r(AB)

103

一、填空题

10、设A 100

220

，则(A ) 1 1、设A 12 3 2 T

13 ，B 21

，则；；B 345

300 2、设矩阵A 15 13 B 31

则3A B ，11、设A 140

，则(A 2I) 1

， 20 ，

A 1B

。

003

3、设A为三阶矩阵，且A 2，则2A* A 1

5200

4、设矩阵A为3阶方阵，且|A|=5，则|A*|=______，|2A|=_____

12、设A 2

100

001 2 ，则A 1

3、设A 120 340 23 1 ABT

00

11

，B 121

240

，则= 13、已知A为四阶方阵，且A

1

112

，则(3A) 1 2A 4、设A 1 225

，且r(A) 2，则t

11t 214、设 A

3

,A2 _________，An=_________

1233 03 12 4

5、若

第一章

1．逆序数 1.1 定义

行列式

n个互不相等的正整数任意一种排列为：i1i2???in，规定由小到大为标准次序，当某两个元素的先后

次序与标准次序不同时，就说有一个逆序数，该排列全部逆序数的总合用??i1i2???in?表示，

??i1i2???in?等于它所有数字中后面小于前面数字的个数之和。

1.2 性质

一个排列中任意两个元素对换，排列改变奇偶性，即 ?22．n阶行列式的5大性质

性质1：转置（行与列顺次互换）其值不变。 性质2：互换任意两行（列）其值变号。

性质3：任意某行（列）可提出公因子到行列式符号外。 性质4：任意行列式可按某行（列）分解为两个行列式之和。 性质5：把行列式某行（列）?倍后再加到另一行（列），其值不变。

行列式的五大性质全部可通过其定义证明；而以后对行列式的运算主要是利用这五个性质。

评 注 对性质4的重要拓展： 设n阶同型矩阵，以，

???1??1。

A??aij?; B??bij??A?B??aij?bij?，而行列式只是就某一列分解，所

nA?B应当是2个行列式之和，即A?B?A?B

。

评 注 韦达定理的一般形式为：

anx?an?1xnn?1?an?2xn?2nan?1a

概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确

?A可逆 ??r(A)?n ??A的列（行）向量线性无关 ?A的特征值全不为0 A?0???Ax??只有零解 ?? ?x??，Ax?? ????Rn,Ax??总有唯一解 ?AT?A是正定矩阵 ?A?E ??A?p1p2???ps pi是初等阵??存在n阶矩阵B,使得AB?E 或 AB?E注：全体n维实向量构成的集合Rn叫做n维向量空间. ?A不可逆 ?r(A)?n A?0????A的列（行）向量线性相关 ??0是A的特征值 ??Ax??有非零

概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确

?A可逆 ??r(A)?n ??A的列（行）向量线性无关 ?A的特征值全不为0 A?0???Ax??只有零解 ?? ?x??，Ax?? ????Rn,Ax??总有唯一解 ?AT?A是正定矩阵 ?A?E ??A?p1p2???ps pi是初等阵??存在n阶矩阵B,使得AB?E 或 AB?E注：全体n维实向量构成的集合Rn叫做n维向量空间. ?A不可逆 ?r(A)?n A?0????A的列（行）向量线性相关 ??0是A的特征值 ??Ax??有非零

第二章矩阵及其运算

1

1

向前

向后

返回

第一章

矩阵

一、矩阵概念的引入二、矩阵的定义三、小结、思考题

第二节矩阵及其运算2

向前

向后

返回

n n n n m m mn n m

a x a x a x

b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=??

??+++=?1111221121122222

1122 1. 线性方程组的解取决于

(),,,;,,,,ij a i m j n ==1212 系数()

,,,i b i m =12 常数项一、矩阵概念的引入

3

向前

向后

返回

n n m m mn

m a a a b a a a b a a a b ????????????

11

12112122221

2

对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究.

线性方程组的系数与常数项按原位置可排为

2. 某航空公司在A,B,C,D 四城市之间开辟了若干航线,如图所示表示了四城市间的航班图,如果从A 到B 有航班,则用带箭头的线连接A 与B.

A

B

C

D

4

向前

向后返回

四城市间的航班图情况常用表格来表示:

发站

到站A

B C D A

B C D

其中表示有航班.

为了便于计算,把表中的改成1,空白地方填上

0,就得到一个数表:

5

向前

向后

返回

111111

线性代数公式大全

1、行列式

1. n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式； 2. 代数余子式的性质：

①、Aij和aij的大小无关；

②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A； 3. 代数余子式和余子式的关系：Mij?(?1)i?jAij4. 设n行列式D：

将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D1，则D1?(?1)?Aij?(?1)i?jMij

n(n?1)2D； D；

将D顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为D2，则D2?(?1)将D主副角线翻转后，所得行列式为D4，则D4?D； 5. 行列式的重要公式：

①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

②、副对角行列式：副对角元素的乘积??(?1)n(n?1)2n(n?1)2将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为D3，则D3?D；

；

③、上、下三角行列式（?◥???◣?）：主对角元素的乘积； ④、?◤?和?◢?：副对角元素的乘积??(?1)⑤、拉普拉斯展开式：

n(n?1)2；

AOACCAOA??AB、??(?1)m?nAB CBOBBOBC⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；