高数微积分极限求法总结

大 学 高 数 论 文

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自从入学以来数学就一直陪伴着我们，她无处不影响着我们，使我们变得更加睿智，更加理性，指引着智慧的方向，陪伴着我们走过学习和成长的各个阶段。

数学是一门给人智慧，使人聪明的科学，在数学的世界中，我们可以探索以前所不知道的秘密，在这个过程中我们变的睿智，变的聪明。

由于以前选择了文科，所以到了大学才接受了微积分的知识，也开始了对微积分的探索。现在可以说是略知一二了。

一 微积分的历史发展

微积分学是微分学和积分学的总称。 客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。

由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个创造。

微积分（Calculus）是研究函数的微分、积分以及

高等数学(一)微积分,自考的经验积累

特殊角的三角函数值

例1.已知一个三角函数值，求其他的三角函数值。

（1）已知tanx=3求其他的三角函数值 斜边

^2=a^2+b^2

Sinx=对/斜 cosx=邻/斜 tgX=对/邻 cotX=邻/对 sec x=1/cosx

①倒数关系：

②商的关系

③平方关系

两角和的正弦、余弦、正切公式

两角差的正弦、余弦、正切公式

倍角公式

高等数学(一)微积分,自考的经验积累

降幂公式

积化和差公式

对数函数有下列性质：设a,b,c,x,y为任意正数，（α≠1，c≠1），α为任意实数

①

②； ；

③

④

⑤。 ； ；

：如果q≠1时，

例2.（56页1（3））判断下列级数的敛散性，并在收敛时求出其和：

解：

高等数学(一)微积分,自考的经验积累

由

一、极限运算法则

定理

设

（1）

（2） ，则 得级数收敛，其和为。

（3）

3.无穷小的运算性质：

（1）在同一过程中，有限个无穷小的代数和仍是无穷小。

（2）有限个无穷小的乘积也是无穷小。

（3）有界变量与无穷小的乘积是无穷小。

.定理 在同一过程中，无穷大的倒数为无穷小；恒不为零的无穷小的倒数为无穷大。

2.意义：关于无穷大的讨论，都可归结为关于无穷小的讨论。 小结：当，m和n为非负整数时有

无穷小分出法

微积分 高数

第八章 多 元 函 数 微 分 学

微积分 高数

§8.7 方向导数和梯度哈 尔 滨 工 程 大 学 微 积 分

讨论函数 z f ( x, y ) 在一点 P0 沿某一方向 的变化率问题 .设函数 z f ( x , y ) 在点P0 ( x0 , y0 ) 的某一邻域 U ( P0 ) 内有定义，自点 P0 引射线 l.设 x 轴正向到射线 l 的转角 为 , 并设 P ( x x , y y ) 为 l 上的另一点且 P U ( P0 ).P0 x

yP y

l

| P0 P | ( x )2 ( y )2 ,且 z f ( x x , y y ) f ( x , y ),

o

x

-理学院工科数学教学中心-

微积分 高数

考虑 lim 0

z

, 当 P 沿着 l 趋于 P 时， 0

yP y

l

哈 尔 滨 工 程 大 学

0

lim

f ( x x , y y ) f ( x , y )

是否存在？

P0

一、方向导数的定义

x

o

x

定义1 函数的增量 f ( x0 x , y0 y ) f ( x0 , y0 )

高数一串讲教材所讲主要内容如下：一元函数微分学( 第三章、第四章)第一章函数及其图形第二章极限和连续高等数学(一)微积分多元函数微积分（第六章）一元函数积分学（第五章） 全书内容可粗分为以下三大部分：

第一部分 函数极限与连续（包括级数） 第二部分 导数及其应用（包括多元函数）

第三部分 积分计算及其应用 （包括二重积分和方程）

第一部分 函数极限与连续

一、关于函数概念及特性的常见考试题型： 1、求函数的自然定义域。

2、判断函数的有界性、周期性、单调性、奇偶性。 3、求反函数。

4、求复合函数的表达式。

二、 极限与连续 常见考试题型：

1、求函数或数列的极限。

2、考察分段函数在分段点处极限是否存在， 函数是否连续。

3、函数的连续与间断。 4、求函数的渐进线。

5、级数的性质及等比级数。 6、零点定理。

每年必有的考点

第三部分 导数微分及其应用 常见考试题型：

1、导数的几何意义；

2、讨论分段函数分段点的连续性与可导性。

3、求函数的导数：复合函数求导， 隐含数求导，参数方程求导； 4、讨论函数的单调性和凹凸性，求曲线的拐点； 5、求闭区间上连续函数的最值； 6、实际问题求最值。

每年必有的考点

第六章 定积分

§6.1~6.2 定积分的概念、性质

一、填空题

1、设f(x)在[a,b]上连续，n等分[a,b]:a?x0?x1??xn?1?xn?b，并取小区

nb?ab?a)??间左端点xi?1，作乘积f(xi?1)?，则lim?f(xi?1n??nni?1??2baf(x)dx.

2、根据定积分的几何意义，

??20xdx?2，

?1?11?x2dx?，

??sinxdx??0.

3、设f(x)在闭区间[a,b]上连续，则

?baf(x)dx??f(t)dt?ab0.

二、单项选择题

1、定积分

?baf(x)dx (C) .

(A) 与f(x)无关 (B) 与区间[a,b]无关 (C) 与变量x采用的符号无关 (D) 是变量x的函数 2、下列不等式成立的是 (C) . (A) (C)

?21x2dx??x3dx (B) ?lnxdx??(lnx)2dx

111222?10xdx??ln(1?x)dx (D) ?edx??(1?x)dx

00011x13、设f(x)在[a,b]上连续，且

?baf(x)dx?0，则 (C)

2016考研高数微积分重要知识点

我们都知道在各个科目的学习中，对重要知识点进行归纳总结可以有效地帮助我们的学习，在考研高数中当然也不例外。针对考研高数的学习，我们为大家带来了2016考研高数微积分重要知识点，希望可以更好地帮助同学们对于复习考研高数。

一、微积分中三大主要函数

微积分处理的对象有三大主要函数，第一是初等函数，这是最基础的东西。在初等函数的基础上对分段函数，在微积分的概念里都有分段函数，处理的一般方法应该掌握。还有就是研究生考试最常见的是变限积分函数。这是我们经常遇到的三大基本函数。

二、微积分复习方法

微积分复习内容很多，题型也多，灵活度也大。怎么办呢?这其中有一个调理办法，首先要看看辅导书、听辅导课，老师给你提供帮助，会给你一个比较系统的总结。老师总结的东西，比如说我在跨考网课程中总结了很多的点，每一个点要掌握重点，要举一反三搞清楚。从具体大的题目来讲，基本运算是考试的重要内容。应用方面，无非是在工科强调物理应用，比如说旋转体的面积、体积等等。在经济里面的经济运用，弹性概念、边际是经济学的重要概念，包括经济的函数。还有一个更应该掌握的，比如集合、旋转体积应用面等等，大的题目都是在经济基础上延伸出的问题，只有数学化了之后，才能处理数学

第六讲：多元函数的微分法及其应用

一、二元函数的极限与连续 1、 二元函数的定义：

设有三个变量x、y与z，如果对于x、y所能取的每一对值，z按一定的法则总有一个确定的值与之对应，则称z是x、y的函数，记作z?f?x,y?，?x,y??D 。 注：这里的D为定义域或定义区域。

区域：连通的开集，也称开区域。

应了解：开集、闭集、有界集、无界集等概念：

比如：?x,y?x2?y2?1为有界开集；?x,y?x2?y2?1为有界闭集；

??????x,y?x?y?1?为无界开集；??x,y?x?y?1?为无界闭集。

??y?22??x?y，求f?x,y?： x?[例]已知f?x?y,x2?1?y?yuuv解：记：x?y?u、?v，即x?、y?，故f?x,y??。

1?yx1?v1?v2、 二重极限：

?x,y???x0,y0?limf?x,y??A

????0，???0，当0??x?x0?2??y?y0?2??时，恒有f?x,y??A??。

注1：二重极限中：?x,y???x0,y0?要求“以任何方式”、“同时”进行。

如果函数f?x,y?沿着一条特殊的路径（或以某种特定的方式）使?x,y???x0,y0?时极限不存在，则

?x,y???

第六讲：多元函数的微分法及其应用

一、二元函数的极限与连续 1、 二元函数的定义：

设有三个变量x、y与z，如果对于x、y所能取的每一对值，z按一定的法则总有一个确定的值与之对应，则称z是x、y的函数，记作z?f?x,y?，?x,y??D 。 注：这里的D为定义域或定义区域。

区域：连通的开集，也称开区域。

应了解：开集、闭集、有界集、无界集等概念：

比如：?x,y?x2?y2?1为有界开集；?x,y?x2?y2?1为有界闭集；

??????x,y?x?y?1?为无界开集；??x,y?x?y?1?为无界闭集。

??y?22??x?y，求f?x,y?： x?[例]已知f?x?y,x2?1?y?yuuv解：记：x?y?u、?v，即x?、y?，故f?x,y??。

1?yx1?v1?v2、 二重极限：

?x,y???x0,y0?limf?x,y??A

????0，???0，当0??x?x0?2??y?y0?2??时，恒有f?x,y??A??。

注1：二重极限中：?x,y???x0,y0?要求“以任何方式”、“同时”进行。

如果函数f?x,y?沿着一条特殊的路径（或以某种特定的方式）使?x,y???x0,y0?时极限不存在，则

?x,y???

2016考研高数微积分重要知识点

我们都知道在各个科目的学习中，对重要知识点进行归纳总结可以有效地帮助我们的学习，在考研高数中当然也不例外。针对考研高数的学习，我们为大家带来了2016考研高数微积分重要知识点，希望可以更好地帮助同学们对于复习考研高数。

一、微积分中三大主要函数

微积分处理的对象有三大主要函数，第一是初等函数，这是最基础的东西。在初等函数的基础上对分段函数，在微积分的概念里都有分段函数，处理的一般方法应该掌握。还有就是研究生考试最常见的是变限积分函数。这是我们经常遇到的三大基本函数。

二、微积分复习方法

微积分复习内容很多，题型也多，灵活度也大。怎么办呢?这其中有一个调理办法，首先要看看辅导书、听辅导课，老师给你提供帮助，会给你一个比较系统的总结。老师总结的东西，比如说我在跨考网课程中总结了很多的点，每一个点要掌握重点，要举一反三搞清楚。从具体大的题目来讲，基本运算是考试的重要内容。应用方面，无非是在工科强调物理应用，比如说旋转体的面积、体积等等。在经济里面的经济运用，弹性概念、边际是经济学的重要概念，包括经济的函数。还有一个更应该掌握的，比如集合、旋转体积应用面等等，大的题目都是在经济基础上延伸出的问题，只有数学化了之后，才能处理数学

专转本高数真题之多元函数微积分

2001

8、交换积分次序 dx

02

2xx

f(x,y)dy

9、函数z xy的全微分dz

2

18、计算 sinydxdy，D是x 1、y 2、y x 1围成的区域.

D

20、设z f(x,2002

2

xy

)，其中f具有二阶连续偏导数，求

z x

、

z x y

2

.

4、若y arctanex，则dy （ ） 15、交换积分次序 dy

01

ee

y

f x,y dx

18、已知z lnx

x y

22

，求 x， y x

z

z

2

2

20、计算 2003

20dx

x0

x ydy

22

122

dx

1 x0

2

x ydy

22

12、交换积分次序 dy

12y0

f(x,y)dx

2

2

31

dy

3 y0

f(x,y)dx 2

2

20、计算二重积分 (1

D

x y)dxdy，其中D是第一象限内由圆x y 2x及直线

y 0所围成的区域.

2004

5、设u(x,y) arctan

xy

、v(x,y) lnx y

22

，则下列等式成立的是 （ ）

A、

u x

v y

B、

u x

v x

C、

u y

v x

D、

u y

v y

1

2 xx

2

11、交换二次积分的