线性代数1-3章测试

线 性 代 数 习 题 集

皖西学院金数学院编制

第一章 行 列 式

一、判断题

1．行列式如果有两列元素对应成比例，则行列式等于零. ( 1 )

2132102. 124??121.( 2 )

0123421343. 121??34.( 1) 04242a1a2a3b2b1b34. b1b2b3?a2a1a3.( 1 ) c1c2c3c2c1c3?a1?a2?a3?a1?a2?a35. ?b1?b2?b3?b1b2b3.( 1 ) ?c1?c2?c3c1c2c36. n阶行列式Dn中元素aij的代数余子式Aij为n?1阶行列式. ( 1 )

3121437. 245?328.( 2 )

836256a11a12a13a11a12a138. a21a22a23 r1?2r2 2a21?a112a22?a122a23?a13 ( 2 ) a31a32a33a31a32a339．如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必等于零. ( 1 )

10. 如果方程个数与未知数个数相等，且系数行列式不为零，则方程组一定有解. (1 ) 二、选择题

1．若a1ra25a32a4sa53是5阶行列式中带正号的一项，则r,s

线 性 代 数 习 题 集

2013年2月

皖西学院应用数学学院编制

第一章 行 列 式

一、判断题

1．行列式如果有两列元素对应成比例，则行列式等于零. ( )

2132102. 124??121.( ) 0123421343. 121??3404242.( )

a1a2a3b2b1b34. b1b2b3?a2a1a3.( ) c1c2c3c2c1c3?a1?a2?a3?a1?a2?a35. ?b1?b2?b3?b1b2b3.( ) ?c1?c2?c3c1c2c36. n阶行列式Dn中元素aij的代数余子式Aij为n?1阶行列式. ( )

3121437. 245?328.( )

836256a11a12a13a11a12a138. a21a22a23 r1?2r2 2a21?a112a22?a122a23?a13 ( ) a31a32a33a31a32a339．如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必等于零. ( )

10. 如果方程个数与未知数个数相等，且系数行列式不为零，则方程组一定有解. ( ) 二、选择题

1．若a1ra25a32a4sa53是5阶行列式中带正号的一项，则

线 性 代 数 习 题 集

皖西学院金数学院编制

第一章 行 列 式

一、判断题

1．行列式如果有两列元素对应成比例，则行列式等于零. ( 1 )

2132102. 124??121.( 2 )

0123421343. 121??34.( 1) 04242a1a2a3b2b1b34. b1b2b3?a2a1a3.( 1 ) c1c2c3c2c1c3?a1?a2?a3?a1?a2?a35. ?b1?b2?b3?b1b2b3.( 1 ) ?c1?c2?c3c1c2c36. n阶行列式Dn中元素aij的代数余子式Aij为n?1阶行列式. ( 1 )

3121437. 245?328.( 2 )

836256a11a12a13a11a12a138. a21a22a23 r1?2r2 2a21?a112a22?a122a23?a13 ( 2 ) a31a32a33a31a32a339．如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必等于零. ( 1 )

10. 如果方程个数与未知数个数相等，且系数行列式不为零，则方程组一定有解. (1 ) 二、选择题

1．若a1ra25a32a4sa53是5阶行列式中带正号的一项，则r,s

第一章 行列式

行列式是线性代数中的一个基本概念，其理论起源于解线性方程组，它在自然科学的许多领域里都有广泛的应用.本章主要介绍n阶行列式的定义、性质和计算方法以及用行列式解线性方程组的克莱姆（Cramer）法则.

§1.1 二阶与三阶行列式

一、二元线性方程组与二阶行列式

在实际问题中，线性方程组的应用很广，但三元以上的线性方程组的求解是很复杂的.现在讨论简化线性方程组的求解过程和求解公式.先从二元线性方程组开始讨论.

对于二元线性方程组

?a11x1?a12x2?b1 ? （1-1-1）

?a21x1?a22x2?b2利用加、减消元法可得

?(a11a22?a12a21)x1?a22b1?a12b2 ?(aa?aa)x?ab?ab12212112211?1122如果a11a22?a12a21?0，那么线性方程组（1-1-1）有唯一解：

x1?b1a22?b2a12a11a22?a12a21 x2?b2a11?b1a21a11a22?a12a21

以上两个式子可作为公式使用，但不便于记忆，为方便起见，把a11a22?a12a21记为a11a21a

《线性代数》讲义 第 1 页 共 30 页

第一章 行列式

一、2、3阶行列式---之计算方法：对角线法则 1、

ab?ad?cb cdabehcf?(aei?bfg?cdh)?(ceg?bdi?afh) i2、dg3、克莱姆法则（见课本p84?85页） 4、补充习题：

ae00x?11（1）计算：a）2 b） 0ab c） bxx2?x?10cdca2b2c2a3b3（答：abc(b?a)(c?a)(c?b)）

c31a12特别地：Vandermonde（范德蒙）行列式结论a1...1a22a2...........................1an2?an...1?j?i?n?(ai?aj)

n?1n?1a1n?1a2......ank34（2）解方程：?1k0?0

0k1a11（3）填空：0?10?0的充分必要条件是 4aa二、n阶行列式

1、n阶行列式定义：行列式的值等于第一行（列）的元素与其对应的

第一章 行列式

行列式是线性代数中的一个基本概念，其理论起源于解线性方程组，它在自然科学的许多领域里都有广泛的应用.本章主要介绍n阶行列式的定义、性质和计算方法以及用行列式解线性方程组的克莱姆（Cramer）法则.

§1.1 二阶与三阶行列式

一、二元线性方程组与二阶行列式

在实际问题中，线性方程组的应用很广，但三元以上的线性方程组的求解是很复杂的.现在讨论简化线性方程组的求解过程和求解公式.先从二元线性方程组开始讨论.

对于二元线性方程组

?a11x1?a12x2?b1 ? （1-1-1）

?a21x1?a22x2?b2利用加、减消元法可得

?(a11a22?a12a21)x1?a22b1?a12b2 ?(aa?aa)x?ab?ab12212112211?1122如果a11a22?a12a21?0，那么线性方程组（1-1-1）有唯一解：

x1?b1a22?b2a12a11a22?a12a21 x2?b2a11?b1a21a11a22?a12a21

以上两个式子可作为公式使用，但不便于记忆，为方便起见，把a11a22?a12a21记为a11a21a

1 第一章 行列式

本章说明与要求:

行列式的理论是人们从解线性方程组的需要中建立和发展起来的，它在线性代数以及其他数学分支上都有着广泛的应用．在本章里我们主要讨论下面几个问题：

(1) 行列式的定义；

(2) 行列式的基本性质及计算方法；

(3) 利用行列式求解线性方程组(克莱姆法则)．

本章的重点是行列式的计算，要求在理解n 阶行列式的概念，掌握行列式性质的基础上，熟练正确地计算三阶、四阶及简单的n 阶行列式．

计算行列式的基本思路是：按行(列)展开公式，通过降阶来计算．但在展开之前往往先利用行列式性质通过对行列式的恒等变形，使行列式中出现较多的零和公因式，从而简化计算．常用的行列式计算方法和技巧有：直接利用定义法，化三角形法，降阶法，递推法，数学归纳法，利用已知行列式法．

行列式在本章的应用是求解线性方程组(克莱姆法则)．要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应用的条件． 。本章的重点：行列式性质；行列式的计算。

。本章的难点：行列式性质；高阶行列式的计算；克莱姆法则。

1.1 二阶与三阶行列式

行列式的概念起源于解线性方程组，它是从二元与三元线性方程组的解的公式引出来的．因此我们首先讨论解方程组的问题．

设有二元线性方程组 ???=+=+22221211112

线性代数 第 1 次课

章节§1.1二阶与三阶行列式 §1.2全排列及其逆序数 名称 §1.3 n阶行列式的定义 目的要求 掌握二阶与三阶行列式的计算 理解n阶行列式的定义 序号 主 要 内 容 与 时 间 概 算 1 2 3 4 共计 主要内容 二元线性方程组与二阶行列式 三阶行列式 全排列及其逆序数 理解n阶行列式的定义 时间概算 20分钟 15分钟 15分钟 45分钟 95分钟 重点 用对角线法则进行二阶、三阶行列式的计算. 难点 理解n阶行列式的定义. 方法 板书 手段 课堂 二元线性方程组消元法. 三阶行列式的课堂练习计算结果 思 考 题 作 业 题 《最新线性代数习题全解》同济四版配套辅导. 王治军 主编 中国建材参考 工业出版社2003.8 资料 《线性代数》重点内容重点题 杨泮池 赵彦晖 褚维盘 编著 西安交通大学出版社，2004.3

提 问 本次课内学员基本掌握了本次课的内容, 达到了教学目的. 容总结 x已知f(x)?121xx3112x213,求x3的系数. 2x 练习册 练习一 线性代数 第 2 次课

章节§1.4对

《线性代数》模拟试卷（一）

一. 一. 填空题(20/5)

1.已知A是5阶方阵,且|A|?2,则|A*|?____________.

2.设A?(aij)1?3,B?(bij)3?1,则B?A??______________.

3.设?1?(3,3,3),?2?(?1,1,?3),?3?(2,1,3),则?1,?2,?3线性_____关.

4.若A100?0,则(I?A)?1?_____________.

?12?5.设|A|?0,??2为A的特征值,则A有一特征值为_________,?A??3?有一特征值为__________.

二. 二. 选择填空(20/5)

?.1.设A,B为n阶对称矩阵,则下面四个结论中不正确的是?2?1A.A?B也是对称矩阵B.AB也是对称矩阵D.AB??BA?也是对称矩阵

C.Am?Bm(m?N?)也是对称矩阵

?A?0?2.设A和B都是n阶可逆矩阵,则(?2)??1????0B?A.(?2)2n|A||B|?1B.(?2)n|A||B|?1C.?2|A?||B|D.?2|A||B|?1

3.当n个未知量m个方程的齐次线性方程组满足条件??.

?时,此方程组一定有非零解.A.n

厦门大学网络教育2013－2014学年第二学期

《线性代数》离线作业

1. 行列式计算（10分）：

aDn?1? ? ?a1, 其中对角线上元素都是a? 未写出的元素都是0.

23??111??1????2. 设A??11?1?? B???1?24?? 求3AB?2A ?（10分）

?1?11??051??????1?23k???3. 设A???12k?3?? 问k为何值? 可使

?k?23???(1)R(A)?1? (2)R(A)?2? (3)R(A)?3?（10分） 4. 求解矩阵方程（12分）：

?101???设A??020?? 且AB?E?A2?B? 求B?

?101???5. 设A2?3A?2E?O? 证明A的特征值只能取1或2? （10分）

6. 设有向量组A? a1?(?? 2? 10)T? a2?(?2? 1? 5)T? a3?(?1? 1? 4)T? 及b?(1? ?? ?1)T? 问??

?为何值时

(1)向量b不能由向量组A线性表示?

(2)向量b能由向量组A线性表示? 且表示式唯一?

(3)向量b能由向量组A线性表示? 且表示式不唯一? 并求一般表示式? （15分） 7. 线性