高二解析几何经典例题
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解析几何经典例题
解析几何经典例题
圆锥曲线的定义是“圆锥曲线方程”这一章的基础,对这些定义我们有必要深刻地理解与把握。这里就探讨一下圆锥曲线定义的深层及其综合运用。 一、椭圆定义的深层运用
例1. 如图1,P为椭圆上一动点,为其两焦点,从的外角的平分线作垂线,垂足为M,将F2P的延长线于N,求M的轨迹方程。
图1
解析:易知
故
在中,
。
则点M的轨迹方程为
二、双曲线定义的深层运用
例2. 如图2,为双曲线
的平分线作垂线,垂足为M,求M的轨迹方程。
的两焦点,P为其上一动点,从
图2
解析:不妨设P点在双曲线的右支上, 延长F1M交PF2的延长线于N, 则即
,
在
故点M的轨迹方程为
三、抛物线定义的深层运用 例3. 如图3,AB为抛物线短距离。
的一条弦,|AB|=4,F为其焦点,求AB的中点M到直线y=-1的最
图3
解析:易知抛物线的准线l:,
作AA”⊥l,BB”⊥l,MM”⊥l,垂足分别为A”、B”、M”
则
即M到直线的最短距离为2
故M到直线y=-1的最短距离为。
评注:上述解法中,当且仅当A、B、F共线,即AB为抛物线的一条焦点弦时,距离才取到最小值。一般地,求抛物线的弦AB的中点到准线的最短距离,只有当四、圆与椭圆、圆与双曲线定义的综合运用 例4.
解析几何经典例题
解析几何经典例题
圆锥曲线的定义是“圆锥曲线方程”这一章的基础,对这些定义我们有必要深刻地理解与把握。这里就探讨一下圆锥曲线定义的深层及其综合运用。 一、椭圆定义的深层运用
例1. 如图1,P为椭圆上一动点,为其两焦点,从的外角的平分线作垂线,垂足为M,将F2P的延长线于N,求M的轨迹方程。
图1
解析:易知
故
在中,
。
则点M的轨迹方程为
二、双曲线定义的深层运用
例2. 如图2,为双曲线
的平分线作垂线,垂足为M,求M的轨迹方程。
的两焦点,P为其上一动点,从
图2
解析:不妨设P点在双曲线的右支上, 延长F1M交PF2的延长线于N, 则即
,
在
故点M的轨迹方程为
三、抛物线定义的深层运用 例3. 如图3,AB为抛物线短距离。
的一条弦,|AB|=4,F为其焦点,求AB的中点M到直线y=-1的最
图3
解析:易知抛物线的准线l:,
作AA”⊥l,BB”⊥l,MM”⊥l,垂足分别为A”、B”、M”
则
即M到直线的最短距离为2
故M到直线y=-1的最短距离为。
评注:上述解法中,当且仅当A、B、F共线,即AB为抛物线的一条焦点弦时,距离才取到最小值。一般地,求抛物线的弦AB的中点到准线的最短距离,只有当四、圆与椭圆、圆与双曲线定义的综合运用 例4.
有关解析几何的经典结论
第1页,共8页
有关解析几何的经典结论
一、椭 圆
点P 处的切线 PT 平分△ PFF 2在点P 处的外角.
PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线 PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径
的圆,除去长轴的两个端点
以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 以焦点半径PF 为直径的圆必与以长轴为直径的圆
内切.
X
V 椭圆— 2 =1 (a > b > 0)的左右焦点分别为 F 1, F 2 ,点P 为椭圆上任意一点
a b
2 Y
ZF 1PF 2 =,则椭圆的焦点角形的面积为
S F 1PF 2 =b tan?. 2 2 X
V 椭圆二 2 -1 (a > b > 0)的焦半径公式:
a b
| MF 1 Ha ex o , ∣MF 2 戶a -eχ√ F'-c,。),F 2(c,O) M (X ), y °)). 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结 AP 和
AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M N 两点,贝U MF ⊥ NF. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点 P 、Q, A 、A 为椭圆长轴上的顶点,
AP 和A 2Q 交于点 M A2P 和AQ 交于点 N 贝U MF ⊥N
高二数学单元测试(平面解析几何初步)
高二数学单元测试(平面解析几何初步)
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,满分70分.
1、与圆(x?3)2?(y?1)2?2相切,且在两坐标轴上有相等截距的切线有___3___条. 2、已知圆C1:x2?y2?6x?7?0与圆C2:x2?y2?6y?27?0相交于A,B两点,则线段AB的中垂线方程为 x+y-3=0 .
3、过点P(2,3)作圆C:(x-1)2+(y-1)2=1的两条切线,切点分别为A,B,则过A,B,C三点的圆的方程为 x?2y?4?0
4、如果圆x2?y2?4x?4y?10?0上至少有三点到直线ax?by?0的距离为22,那么直线ax?by?0的倾斜角的取值范围为
?12???5?. 125、已知圆C方程为:x2?y2?4,直线l过点P?1,2?,且与圆C交于A、B两点,若
|AB|?23,则直线l的方程为3x?4y?5?0或x?1. 6、圆C:x2?y2?16上两点A(x1,y1),B(x2,y2),若 AB?43,则x1x2?y1y2? ?8 7、若直线y?kx?1与圆x2?y2?kx?my?4?0交于M、N两点,并且M、N关于直线x?y?0?kx?y?1?
解析几何
汤建良:《解析几何》课程教学大纲
深圳大学数学与计算科学学院
课程教学大纲
(2006年10月重印版)
课程编号 22143102
课程名称 解析几何
课程类别 专业必修
教材名称 解析几何
制 订 人 汤建良
审 核 人 刘则毅
2005年 4 月修订
- 1 -
汤建良:《解析几何》课程教学大纲
一、课程设计的指导思想
(一)课程性质 1.课程类别:专业必修课 2.适应专业:数学与应用数学专业(应用数学方向) 3.开设学期:第壹学期 4.学时安排:周学时3,总学时42 5.学分分配:3学分 (二)开设目的 解析几何是中学几何的继续与发展,既有深刻的数学理论意义,也有广泛的实际应用价值。在实际工程中的许多重要领域都有它的应用价值。通过本课程的学习,同学们还可以加深对中学三角和几何学的认识与理解,有助于解决一些初等数学问题。解析几何的一些思想方法在数学中具有普遍性。通过本课程的学习,能使学生提高数学素养,并为学习有关后继课程以及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。 (三)基本要求 掌握解析几何的基本理论与方法,深刻理解解
高二数学单元测试(平面解析几何初步)
高二数学单元测试(平面解析几何初步)
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,满分70分.
1、与圆(x?3)2?(y?1)2?2相切,且在两坐标轴上有相等截距的切线有___3___条. 2、已知圆C1:x2?y2?6x?7?0与圆C2:x2?y2?6y?27?0相交于A,B两点,则线段AB的中垂线方程为 x+y-3=0 .
3、过点P(2,3)作圆C:(x-1)2+(y-1)2=1的两条切线,切点分别为A,B,则过A,B,C三点的圆的方程为 x?2y?4?0
4、如果圆x2?y2?4x?4y?10?0上至少有三点到直线ax?by?0的距离为22,那么直线ax?by?0的倾斜角的取值范围为
?12???5?. 125、已知圆C方程为:x2?y2?4,直线l过点P?1,2?,且与圆C交于A、B两点,若
|AB|?23,则直线l的方程为3x?4y?5?0或x?1. 6、圆C:x2?y2?16上两点A(x1,y1),B(x2,y2),若 AB?43,则x1x2?y1y2? ?8 7、若直线y?kx?1与圆x2?y2?kx?my?4?0交于M、N两点,并且M、N关于直线x?y?0?kx?y?1?
解析几何100题经典大题汇编
1 4((2011巢湖一检)已知直线1l y kx =+:,椭圆E :22
21(0)9x y m m
+=>.(Ⅰ)若不论k 取何值,直线l 与椭圆E 恒有公共点,试求出m 的取值范围及椭圆离心率e 关于m 的函数式;
(Ⅱ)当k =时,直线l 与椭圆E 相交于A 、B 两点,与y 轴交于点M ,若2AM MB =uuu r uuu r ,求椭圆E 方程.
解:(Ⅰ)∵直线l 恒过定点M(0,1),且直线l 与椭圆E 恒有公共点,∴点M(0,1)在椭圆E 上或
其内部,得()22
201109m m
+≤>,解得13m m ≥≠,且.(联立方程组,用判别式法也可)当13m ≤<时,椭圆的焦点在x
轴上,e =;当3m >时,椭圆的焦点在y
轴上,e =.
∴
)()133.m e m ≤<=??>??
, (Ⅱ)
由222
119y x y m ?=+????+=??,消去y
得222(10)9(1)0m x m +++-=. 设11()A x y ,,22()B x y ,
,则12x x +=,21229(1)10
m x x m -=+②. ∵M(0,1),∴由2AM MB = 得122x x =- ③. 由①③得
2x =④. 将③④代入②得,
2
229(1)210m
解析几何
篇一:解析几何知识点总结
抛物线的标准方程、图象及几何性质:p?0
1、定义:
2、几个概念:
① p的几何意义:焦参数p是焦点到准线的距离,故p为正数;1
② ;
4
③ 方程中的一次项的变量与对称轴的名称相同,一次项的系数符号决定抛物线的开口方向。 ④ 通径:2p
3、如:AB是过抛物线y2?2px(p?0)焦点F的弦,M是AB的中点,l是抛物线的准线,MN?l,N为垂足,BD?l,AH?l,D,H为垂足,求证:
(1)HF?DF; (2)AN?BN; (3)FN?AB;
(4)设MN交抛物线于Q,则Q平分MN;
2
(5)设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2??p,x1x2?
12
p; 4
(6)1?1
|FA|
|FB|
?
2; p
(7)A,O,D三点在一条直线上
2
(8)过M作ME?AB,ME交x轴于E,求证:|EF|?1|AB|,|ME|?|FA|?|FB|;
2
1、 双曲线的定义:平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|e(e注意: |
F1F2|)的点的轨迹。
?1)的点的轨迹。两个定点为双曲线的焦点,焦点间距离叫做焦距;定直线叫做准线。常数叫做离心率。
PF1|?|PF2|?2a与|PF2|?|PF1|?2a(2a?|F1F2
大学解析几何
空间解析几何
基本知识 一、向量
1、已知空间中任意两点M1(x1,y1,z1)和M2(x2,y2,z2),则向量
M1M2?(x2?x1,y2?y1,z2?z1)
2、已知向量a?(a1,a2,a3)、b?(b1,b2,b3),则 (1)向量a的模为|a|???????a1?a2?a3
222(2)a?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3) (3)?a?(?a1,?a2,?a3) 3、向量的内积a?b
(1)a?b?|a|?|b|?cos?a,b? (2)a?b?a1b1?a2b2?a3b3
其中?a,b?为向量a,b的夹角,且0??a,b???
注意:利用向量的内积可求直线与直线的夹角、直线与平面的夹角、平面与平面的夹角。 4、向量的外积a?b(遵循右手原则,且a?b?a、a?b?b)
??????????????????????????ia?b?a1??ja2b2??ka3 b3??b1??5、(1)a//b?a??b?????a1a2a3 ??b1b2b3(2)a?b?a?b?0?a1b1?a2b2?a3b3?0 二、平面
100
1、平面的点法式方程
已知平面过点P(x0,y0,z0),且法向量为n?(A,B,C),则平面方程为
解析几何1
《解析几何》教学大纲
一. 总 则
1. 本课程的教学目的和要求:
解析几何和其他自然科学一样,是在生产实践中产生和发展起来的,有着丰富的内容和实际背景,广泛应用于工程技术,物理、化学、生物、经济及其他领域。本课程的教学目的在于培养学生运用解析方法解决几何与实际问题的能力,掌握空间几何课程的基本知识和内容,并为进一步学习后继课程作准备。 2. 本课程的主要内容: 第一章 矢量与坐标 第二章 轨迹与方程 第三章 平面与空间直线
第四章 柱面、椎面、旋转曲面与二次曲面 第五章 二次曲线的一般理论 3. 教学重点与难点:
重点:空间直线、平面、常见二次曲面和平面、一般二次曲线的理论。 难点:已知条件求轨迹。
4. 本课程的知识范围以及与相关课程的关系:
本课程主要以线性代数为工具,研究空间解析几何,即研究空间中的直线、平面、二次曲线及平面上的二次曲线。解析几何与高等代数、数学分析有着密切的关系。在数学分析中,常常用到解析几何的方法图形的许多性质,并且解析几何为代数中不少对象提供了具体的几何解释,给代数以直观的几何形象,加强了数量关系的直观鲜明性,使几何、分析、代数构成了一个不可分