仿射变换求椭圆面积

利用仿射变换解决与椭圆有关的高考试题

汤敬鹏（兰州市第五十七中学 730070）

文⑴谈及利用仿射变换可以解决一些初等几何的问题，可以使问题变得更加简洁、透彻，对笔者启发很大，笔者通过自己的教学实践感觉到利用仿射变换，可以将椭圆的有关问题转化为圆的问题，从而可以借助圆当中的一些性质解决问题，使问题的解决过程大大简化，在利用仿射变换解决相关问题时，主要利用以下几个性质：

性质1 变换后共线三点单比不变（即变换后三点的两个线段的比值和变换前的比值一样）；

性质2 变换后保持同素性和接合性（即变换前直线与曲线若相切，变换后仍相切）； 性质3 变换前后对应图形的面积比不变； 现以一些高考试题为例加以说明。

例1（2008年全国卷Ⅱ第22题）设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线y=kx(k>0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点

⑴若ED?6DF，求k的值；

⑵求四边形AEBF面积的最大值。

分析：此例按照常规解法较为繁杂，但利用仿射变换将椭圆变换为单位圆，点A、B、D、E、F分别变换为点A’、B’、D’、E’、F’， 线段E’F’恰为圆的直径，根据性质1，D’分线段E’F’的比与D分线段EF的比相同，利用圆当中的

利用仿射变换解决与椭圆有关的高考试题

汤敬鹏（兰州市第五十七中学 730070）

文⑴谈及利用仿射变换可以解决一些初等几何的问题，可以使问题变得更加简洁、透彻，对笔者启发很大，笔者通过自己的教学实践感觉到利用仿射变换，可以将椭圆的有关问题转化为圆的问题，从而可以借助圆当中的一些性质解决问题，使问题的解决过程大大简化，在利用仿射变换解决相关问题时，主要利用以下几个性质：

性质1 变换后共线三点单比不变（即变换后三点的两个线段的比值和变换前的比值一样）；

性质2 变换后保持同素性和接合性（即变换前直线与曲线若相切，变换后仍相切）； 性质3 变换前后对应图形的面积比不变； 现以一些高考试题为例加以说明。

例1（2008年全国卷Ⅱ第22题）设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线y=kx(k>0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点

⑴若ED?6DF，求k的值；

⑵求四边形AEBF面积的最大值。

分析：此例按照常规解法较为繁杂，但利用仿射变换将椭圆变换为单位圆，点A、B、D、E、F分别变换为点A’、B’、D’、E’、F’， 线段E’F’恰为圆的直径，根据性质1，D’分线段E’F’的比与D分线段EF的比相同，利用圆当中的

高二椭圆中面积问题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

高二（9）班培优：椭圆中面积问题

2019-11-4

1．（2013新课标2）平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：（a＞b＞0）右焦点的直线x+y﹣＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率

为．

（Ⅰ）求M的方程

（Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．

2．（2014年新课标1）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；

（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l 的方程．

2

3．（2013年浙江）如图，点P（0，﹣1）是椭圆C1：+＝1（a＞b＞0）的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2＝4的直径，l1，l2

是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A、

B两点，l2交椭圆C1于另一点D．

（1）求椭圆C1的方程；

（2）求△ABD面积的最大值时直线l1的方程．

4．（2016年新课标1）设圆x2+y2+2x﹣15＝0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D

如何利用平移变换解决问题（二）

一、教学目标：

1、知识与技能：使学生能够利用平移变换解决有关周长和面积的计算问题；

2、过程与方法：在研究问题的过程中培养学生的直观感知能力和归纳能力；

3、情感态度价值观：（1）体验数学知识是通过观察猜想和验证的过程，欣赏数学图形之美

（2）体验数学的学习是一个观察、猜想、归纳、验证的过程

二、重点与难点

1、重点： 平移变换的正确使用；

2、难点： 能对复杂图形进行恰当的平移变换是难点。

三、教学用具：计算机

四、教学过程

（一）课题引入

平移变换是图形变换的基础，利用平移的特征。

（二）分析问题和解决问题

1、运用平移解决周长计算问题

例1、如图2—1，多边形的相邻两边互相垂直，则这个多边形的周长为（ ）.

（A）21 （B）26 （C）

37

（D）42

图1 图2

分析：图中只给出了一个底边的长和高，所以要从现有的条件入手.我们可以利用平移的知识来解决：把所有的短横线移动到最上方的那条横线上，再把所有的竖线移动到两条竖线上，这样可以重新拼成一个长方形（如右图2—2），可得多边形的周长为2×（16＋5）=42．

答案：

武汉理工大学毕业设计（论文）

目录

摘要.................................................................................................................. I ABSTRACT .......................................................................................................... II 绪论.. (1)

1 论文工作及章节安排 (2)

1.1论文的主要工作 (2)

1.2论文的组织结构 (2)

2 结构设计与方案选择 (3)

2.1 仿射不变性的特征提取系统结构 (3)

2.2 特征提取的方案选择 (4)

2.2.1 数据处理软件的选择 (5)

2.2.1.1 用MATLAB进行处理 (5)

2.2.1.2 用VC++进行处理 (6)

2.2.2 特征提取方案选择 (6)

2.2.2.1 利用仿射几何的仿射不变性提取方法 (6)

2.2.2.2 局域仿射不变性特征点提取 (8)

3仿射理论基础 (9)

3.1 图像的预处理 (9)

3.1.1 滤波方法 (

采用仿射传播的聚类集成算法

采用仿射传播的聚类集成算法

王羡慧１，３覃征１，２

张选平１高洪江４

１．西安交通大学电子与信息工程学院，７１００４９，西安；２．清华大学计算机科学与技术系，１０００８４，北京；３．新疆大学信息科学与工程学院，８３００４６，乌鲁木齐；４．鲁东大学信息科学与工程学院，２６４０２５，山东烟台

摘要：针对Ｋ均值聚类随机初始聚类中心导致的聚类结果不稳定问题，提出一种基于仿射传播的聚类集成算法．该算法把每个聚类集成的成员个体结果看成是原始数据的一个属性，然后在其基础

上对聚类成员个体的聚类结果进行加权集成，集成算法采用简单高效的仿射传播聚类，并且提出了直接集成、利用平均规范化互信息（ＮＭＩ）和聚类有效性Ｓｉｌｈｏｕｅｔｔｅ指标进行加权集成．最后，运用Ｈｕｎｇａｒｉａｎ算法对仿射传播聚类集成的结果进行类别标签的统一和匹配．在加州大学尔湾分校数据集上进行了实验，结果表明，与集成前的Ｋ均值聚类及其他聚类集成算法相比，该算法能有效地提高聚类结果的准确性、鲁棒性和稳定性，建立起来的聚类集成算法具有良好的扩展性和灵活性，而且简单有效．

仿射传播；加权集成；Ｋ均值聚类；Ｈｕｎｇａｒｉａｎ算法

ＴＰ１８１

Ａ

０２５３－９８７Ｘ（２０１１）０８－０００１－０６

求阴影部分的面积

教学内容：六年级数学上册圆的整理与回顾（三）：求阴影部分的面积 教学目标

1.经历圆的整理与复习过程，提高归纳、整理知识和综合运用所学知识解决简单的实际问题的能力。

2. 进一步练习圆的面积的有关知识，并能灵活运用求圆面积的的方法解决生活实际问题，从而感受数学的实际价值。

3. 培养合作意识、评价意识、自控意识以及综合运用知识解决问题的能力。

4. 在解决问题中体验成功，享受自我价值。

教学重难点

教学重点：掌握阴影部分的面积计算方法 。

教学难点：能灵活应用公式解决一些实际问题。

教具准备 多媒体课件等

教学过程：

一、问题回顾，再现新知。

1.谈话导入：

同学们，上节课我们一起研究了圆的特征，周长及面积的计算方法,这节课我们继续一起来解决一些有关阴影部分面积的计算方法，看看自己是否学会了，好吗?(导出并板书课题)

[设计意图]简洁语言揭示本节活动主题，激起学生回顾与整理本单元知识的兴趣与愿望，让学生树立回顾与反思意识。

2.梳理知识：

谈话：请同学们继续观察情境图，神舟五号飞船实际降落的范围比预定降落的范围小了多少平方千米？

〔设计意图〕回顾圆面积的计算方法，有利于本节课知识的学习，另外，通过再入情景，提出问题，引导学生加深对环形面积的探索和学习。

二、分

积分法求圆球的表面积与体积 方法一:

如图圆O 的方程为222R y x =+, 22x R y -=

将圆O 绕X 轴旋转一周,得到一个圆球体

从X 负半轴到X 正半轴将直径2R 等分n 份)

(∞→n 每份长为x ?

球体也同时被垂直分成n 份薄片

每片的半径为22x R r -=

每片分得弧长为l d

如图:当无限等分后

(1)CE d l ≈弧 (2)CE OC ⊥ (3)x EH ?=

易证CEH OCX ?∝? CX OC EH CE =?CX

EH OC CE ?= x x R R

l ?-=??22弧 薄片的球面面积x x R R

x R l r S ?--=?=?22222)2(ππ

x R S ?=?π2

球面面积??+-+-==R

R R R Rx Rdx ππ22=2

4R π 方法二:

如图圆O 的方程为222R y x =+, 22x R y -=

将圆O 绕X 轴旋转一周,得到一个圆球体

沿X 轴正方向到X 轴负方向将圆心角等分n 份

)(∞→n 每份为θ?,),0(πθ∈

球体也同时被垂直分割成n 份薄片

每片弧长相等对应圆心角为θ?

每片对应的半径为θsin R r =

当0→?θ时

(1)θ?=∠BOC (2)CB CB 弧弦≈ (3)CB OB

巧求面积习题与解析（2）

巧求面积习题（2）

例1： 右图中的每个数字分别表示所对应的线段的长度(单位：米)。这个图形的面积等于多少平方米？

例2： 右图为一个长50米、宽25米的标准游泳池。它的四周铺设了宽2米的白瓷地砖(阴影部分)。求游泳池面积和地砖面积。

例3： 下图中有三个封闭图形，每个封闭图形均由边长为1厘米的小正方形组成。试求各图形的面积。

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巧求面积习题与解析（2）

例4： 一个长方形的周长是22厘米。如果它的长和宽都是整数厘米，那么这个长方形的面积(单位：厘米2)有多少种可能值？最大、最小各是多少？ 练习：

1.甲、乙两块地都是长方形，且一样长。

(1)如果甲地面积是乙地面积的2倍，那么甲地的宽是乙地的宽的多少倍？ (2)如果甲地的宽是乙地的宽的3倍，那么甲地面积是乙地面积的多少倍？

2.求下列各图的面积。(单位：厘米)

3.把边长为40米的正方形运动场扩为长60米、宽50米的长方形运动场。此运动场面积扩大了多少？周长增加了多少？

第 2 页 共 6 页

巧求面积习题与解析（2）

4.一个正方形的面积是144米2。如果它被分成六个相同的长方形(如左下图)，那么，其中一个长方形的面积

解决问题的策略——转化专题练习（2） 1求右图图形中阴影部分的面积。

2.求阴影部分的周长和面积。

11.有一卷卷筒纸，它的内直径长10厘米，外直径长20厘米，纸的厚度为0.01厘米。这卷卷筒纸的长度是多少？卷筒纸在出售时通常是用“每平方米多少元”来合算价格的，即“按长和宽相乘所得的面积是多少平方米，再乘每平方米的价格”来出售。如果这卷卷筒纸的宽度为80毫米， 的成本为0.75元，出售时想获利20%，则每卷卷筒纸的售价应为多少元？ （保留一位小数）

14如图所示，在一个长方形草地里有一条宽1米的曲折小路，小路的面积是多少平方米？

.

16.如右图，从A到B地，共有多少种不同的走法。（只准向上向右行走。）

17.登10级楼梯，每次只能登1级或2级，登上10级楼梯共有多少种走法。

归一与和差问题

10.有一个长方形的跑道，宽40米，长150米，甲乙两人在跑道上跑步，若两人同时同地背向出发，经过40秒后相遇，若两人同时同地同向出发，经过3分20秒后甲追上乙。现在两人在同一地点，乙先出发30秒后，甲再追赶，经过多少秒后，甲追上乙？

数的认识（1）

2.在2、19、4.27、0、-21、635、0.4、1428、

2这些数中