欧拉恒等式推导

第三章 压弯构件的失稳

轴力偏心作用的构件或同时受轴力和横向荷载作用的构件称为压弯构件。由于压弯构件兼有受压和受弯的功能，又普遍出现在框架结构中，因此又称为梁柱。

钢结构中的压弯构件多数是截面至少有一个对称轴，且偏心弯矩作用在对称平面的单向偏心情况。对单向偏心的压弯构件，有可能在弯矩平面内失稳，即发生弯曲失稳；也有可能在弯矩作用平面外失稳，即弯扭失稳。其弯曲失稳为第二类稳定问题，即极值点失稳；其弯扭失稳对理想的无缺陷的压弯构件属于第一类稳定问题，即分支点失稳，但对实际构件则是极值点失稳。

对理想的两端简支的双轴对称工形截面压弯构件，在两端作用有轴线压力P和使构件产生同向曲率变形的弯矩M，如果在其侧向有足够的支撑 (如图3.1（b）)，构件将发生平面内的弯曲失稳，其荷载―挠度曲线如图3.2（a）中曲线a，失稳的极限荷载为Pu，属于极值点失稳。

图3.1 两端简支理想压弯构件 图3.2 压弯构件荷载变形曲线

如果在侧向没有设置支撑（如图3.1（ｃ）），则构件在荷载P未达到平面内极限荷载Pu时，可能发生弯扭失稳，即在弯矩作用平面内产生挠度v，在平面外剪心产生位移ｕ，并绕纵

课时号编课 名称题

课授时间课授点 地课数时

会要计及平素衡式公知识标目掌：握会计本基式的平衡原等理理解；济业务经对会平计 衡 公式的响影。学目教标技能目:培养标学发生现、分析、决解题的能力； 情感问目:标 问在题究探学会中合学作，培养学生习善于观、察于 探勇的索好良习和严惯的科谨学态度。

学重点教计会平衡式；公济经业对会计务基本等式的影形式响教学点难经济务业的生发不打破会计基会本式等衡平系的关原因

教处材

以理同的案不例新重讲会计平解衡公式教法计设 学 方法 学教设法计问题驱法 案例动学法 教导引究探法 组讨论法分

讨论法、书总读法结、练习 教材，法习册 网络，资题料计算机、 多媒体、黑板粉笔 1、书面 业作练习册：题六。

习教资料学教学 资 源 备 仪器设准备 耗作业 置 材布 息信源

资学教反思

教学环教节学

过

实程 教施方学法与手段教学内容活动

与一 、知回顾识二 、引入课新1会、有计哪六素要 ？2什、么资产？ 叫、3有所权益的者内容有哪？ 些思：考 由会计六素是否要有系联日及常经业济对其关务的 系响采影用题问导入法导本入内容。节三、 新授知识一、会计素的要互关系相会及计平公衡式

案:例李 强开办一家服厂装 ，个投入资人金60 万元,受接人投他入定资

1月l日，李晓彬和他的朋友李大明合伙开办了一家销售成衣的商店，定名为“光明时装公司”。他们把自己所拥有的60 000元（每人30 000元）资金存入以企业的名义开设的银行账户上，并取得了60 000元的注册资本证明，因此他是公司唯一的股东。同时租赁了一间50平米的门面房（包括相关设备），合同规定租金每月5000元并在每月末支付。光明时装公司的资产负债表如下：

光明时装公司资产负债表

1月1日

1月2日，光明时装公司从银行借入12 000元，贷款出具了法律凭证。这项交易增加了企业的资产，即现金．刚时也增加了企业对银行的债务，称为短期借款。该笔交易发生后的资产负债表如下：

光明时装公司资产负债表

1月2日

1 / 1

1 / 1

1月4日，企业从大地公司购置存货70 000元（用于出售的商品），货款未付。这项交易增加了企业的资产，即存货．刚时也增加了企业对从大地公司的债务，称为应付账款。该笔交易发生后的资产负债表如下：

光明时装公司资产负债表

1月4日

1月5日，企业从天空服装公司购置存货（用于出售的商品），支付现金15 000元。这笔交易减少了现金，却同时增加了另一项资产，即存货。此时的资产负债表如下：

光明时装公司资产负债表

1月5日

1月8日，企业以现金6 000元偿

初中数学竞赛专题培训第五讲 恒等式的证明

代数式的恒等变形是初中代数的重要内容，它涉及的基础

知识较多，主要有整式、分式与根式的基本概念及运算法则，因

式分解的知识与技能技巧等等，因此代数式的恒等变形是学好初中代数必备的基本功之一．本讲主要介绍恒等式的证明．首先复习一下基本知识，然后进行例题分析．

两个代数式，如果对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等．

把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫作代数式的恒等变形．恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等．

证明恒等式，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧，使证明过程尽量简捷．一般可以把恒等式的证明

分为两类：一类是无附加条件的恒等式证明；另一类是有附加条件的恒等式的证明．对于后者，同学们要善于利用附加条件，使证明简化．下面结合例题介绍恒等式证明中的一些常用方法与技巧．

1．由繁到简和相向趋进

恒等式证明最基本的思路是“由繁到简”(即由等式较繁的一边向另一边推导)和“相向趋进”(即将等式两边同时转化为同一形式)．

例1 已知x+y+z=xyz，证明：

x(1-y2

)(1-z2

)+y(1-x2

)(1-z2

)+z(1-x

第 21 讲 三角式的化简与恒等式证明

（第课时） 神经网络 准确记忆！ ??对化简结果的要求化简???化简的常用方法???恒等式证明??条件等式证明?????切割化弦三角式的化简与恒等式证明? ???证明异名化同名?????常用的证明方法?异角化同角???角的配凑玉拆项????????升次与降次??

重点难点 好好把握！ 重点：三角恒等变换。 难点：灵活运用公式。 考纲要求 注意紧扣！ 能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简和恒等式证明 命题预测 仅供参考！ 运用三角函数关系式和诱导公式化简证明。高考中对于三角部分的考查，主要集中于三角恒等变换，难度一般控制在中、低档水平，复习时要注重通法和常规题型的掌握。

考点热点 一定掌握！ 1．化简 ⑴ 对化简结果的要求

①能求出值的要求出值；②使三角函数种数尽可能少；③使项数尽可能少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。

注意：某些化简题的答案可能不止一种。

例如化简

sin3x?sin5x 的结果就可能有两种：4cos

细长压杆临界压力欧拉公式的统一推导

第化曲线

期由图中可见,

冯贤桂

细长压杆临界压力欧拉公式的统一推导

当接近根部时二者有明显的分离

洁的优点

,

但在根部还有一定的误差

而且仅能求解均布载,

结

论材料力学解几时误差将超过。

荷问题级数解给出了完全满足边界条件的解而且适用于

在

时可用

,

当大于

沿长度任意变化的分布载荷

但缺点是级数收敛较慢

当轴较短时忽略几。,

,

几,与‘

。

将为同量级

,

材料力学解,,

参

考

文

献,

误差将非常大解作为对材料力学解的改进具有表达式简

王敏中王炜武际可弹性力学教程北京北京大学出版社

细长压杆临界压力欧拉公式的统一推导冯贤桂重庆大学工程力学系,

重庆

摘要利用细长压杆微小弯曲的平衡条件得到了压杆挠曲线近似微分方程,

,

将挠曲线的初参数解用于几种常见支承条

件的细长压杆

,

可以方便地求得相应的临界压力欧拉公式,

关键词细长压杆

临界压力

,

初参数解,

材料力学中对细长压杆临界压力欧拉公式的推导通常是分几种不同的支承条件,

列出各自的挠曲线近似微分方程,

来求解明

这种方法过程繁杂

教材中一般不可能全部推导证

图

对此微小弯曲压杆建立平衡方程文献【利用弯矩表示的弹性曲线近似微分方程和相,

应的力的边界条件对不同支承条件下的压杆临界压力欧拉公式作了统一推导

艺二

,

二

,

。

。

但是压杆稳定问题本质上是

欧拉公式OI^2=R(R-2r)的证明

命题：设三角形ABC外接圆O的半径为R，内切圆I的半径为r,则OI^2=R(R-2r)

证明：

如上图，设∠IAB=α， ∠IBA=β

连结I和A，并延长AI交圆O于点D；连结BD和CD；连结I和O，设直线OI交圆O于点E和F,设OI=d

第一步：求ID和IA的长度

显然：∠DBC=∠DAC=α，∠DBI=α+β=∠DIB，所以，BD=ID 因为△ABD内接于圆O，所以BD=2Rsinα，所以ID=2Rsinα 而IA?

第二步：求IE和IF的长度

显然，IE=R+d,IF=R-d

第三步：寻找等式

因为EF和AD都是圆O的弦，并且两弦相交于点I 所以有：IA*ID＝IE*IF 即：

2Rsin??2GIsin??rsin?

rsin??(R?d)*(R?d)，所以d2?R*(R?2r)

即：IO

?R*(R?2r)

欧拉不等式R≥2r的证明

由欧拉公式OI^2=R(R-2r)可知，OI^2≥０,所以R(R-2r) ≥０，所以R≥2r

第1篇：欧拉函数公式及其证明

欧拉函数 ：

欧拉函数是数论中很重要的一个函数，欧拉函数是指：对于一个正整数 n ，小于 n 且和 n 互质的正整数（包括 1）的个数，记作 φ(n) 。

完全余数集合：

定义小于 n 且和 n 互质的数构成的集合为 Zn ，称呼这个集合为 n 的完全余数集合。 显然 |Zn| ＝φ(n) 。

有关性质：

对于素数 p ，φ(p) = p -1 。

对于两个不同素数 p， q ，它们的乘积 n = p * q 满足 φ(n) = (p -1) * (q -1) 。

这是因为 Zn = {1, 2, 3, ..., n{p, 2p, ..., (q{q, 2q, ..., (p1)1)1) = (p -1) * (q -1) ＝φ(p) * φ(q) 。

欧拉定理 ：

对于互质的正整数 a 和 n ，有 a

φ(n)

≡ 1 mod n

。

证明：

( 1 ) 令 Zn = {x1, x2, ..., xφ(n)} ， S = {a * x1 mod n, a * x2 mod n, ..., a * xφ(n) mod n} ，

则 Zn = S 。

① 因为 a 与 n 互质， xi (1 ≤ i ≤ φ(n)) 与 n 互质， 所以 a

八年级数学“面积与代数恒等式”说课稿

新课标理念下的数学教学，是师生之间、学生之间交流互动与共同发展的过程，整个初中数学教学都是在进行初步的探究性、创造性教学活动，特别是新增“课题学习”这一内容，更是一个实验、探索、合作、交流的过程，体验从实际问题抽象出数学问题、建立数学模型，综合应用已有知识解决问题的过程，由此发展自己的思维能力。今天，我说课的题目是华师大版八年级数学（上）中的课题学习：“面积与代数恒等式”，下面我从三个方面来谈谈这节课。

一、说教材

（一）教材的地位及作用

在第十四章的学习中，我们接触了很多代数恒等式，也从几何图形的面积关系中认识了一些代数恒等式。因此，教材在本章后安排了这一课题学习，意在让学生能真正理解并掌握一些代数恒等式，从而进一步巩固所学的乘法公式，加深对公式的几何背景的理解。

（二）教学目标

1．知识与技能

①让学生了解一些代数恒等式的几何意义，并体会代数与图形之间的联系。

②使学生具有初步的动手操作能力，图形的识别，建立数学模型的能力。

2．过程与方法

①通过这一课题的学习，让学生丰富实践经验，并体验从实际问题中抽象出数学问题过程。

②引导学生在合作探索中体会数学的应用价值，发展数学思维能力，并获得一些研

三角形内有关角的三角函数恒等式的证明教案

教学目的：

（1）掌握利用三角形条件进行角的三角函数恒等式证明的主要方法，使学生熟悉三角变换的一些常用方法和技巧（如定向变形，和积互换等）。

（2）通过自主的发现探索，培养学生发散、创造的思维习惯和思维能力，体验数形结合、特殊一般转化的数学思想。并利用此题材做学法指导。

（3）通过个人自学、小组讨论、互相启发、合作学习，培养学生自主与协作相结合的学习能力和敢于创新，不断探索的科学精神。 教学设计：

一．引题：（A，B环节）

1．1复习提问：在三角形条件下，你能说出哪些有关角的三角恒等式？ 拟答：

，

……

，

，

……

这些结果是诱导公式，的特殊情况。

1．2今天开始的学习任务是解决这类问题：在三角形条件下，有关角的三角恒等式的证明。学习策略是先分若干个学习小组（四人一组），分头在课本P233---P238，P261-266的例题和习题中，找出有三角形条件的所有三角恒等式。

1．3备考：期待找出有关△ABC内角A、B、C的三角恒等式有： （1）P233：例题10：sinA+sinB+sinC=4cosA/2cosB/2cosC/2