欧拉初中数学免费课程

第1篇：欧拉函数公式及其证明

欧拉函数 ：

欧拉函数是数论中很重要的一个函数，欧拉函数是指：对于一个正整数 n ，小于 n 且和 n 互质的正整数（包括 1）的个数，记作 φ(n) 。

完全余数集合：

定义小于 n 且和 n 互质的数构成的集合为 Zn ，称呼这个集合为 n 的完全余数集合。 显然 |Zn| ＝φ(n) 。

有关性质：

对于素数 p ，φ(p) = p -1 。

对于两个不同素数 p， q ，它们的乘积 n = p * q 满足 φ(n) = (p -1) * (q -1) 。

这是因为 Zn = {1, 2, 3, ..., n{p, 2p, ..., (q{q, 2q, ..., (p1)1)1) = (p -1) * (q -1) ＝φ(p) * φ(q) 。

欧拉定理 ：

对于互质的正整数 a 和 n ，有 a

φ(n)

≡ 1 mod n

。

证明：

( 1 ) 令 Zn = {x1, x2, ..., xφ(n)} ， S = {a * x1 mod n, a * x2 mod n, ..., a * xφ(n) mod n} ，

则 Zn = S 。

① 因为 a 与 n 互质， xi (1 ≤ i ≤ φ(n)) 与 n 互质， 所以 a

第三章 压弯构件的失稳

轴力偏心作用的构件或同时受轴力和横向荷载作用的构件称为压弯构件。由于压弯构件兼有受压和受弯的功能，又普遍出现在框架结构中，因此又称为梁柱。

钢结构中的压弯构件多数是截面至少有一个对称轴，且偏心弯矩作用在对称平面的单向偏心情况。对单向偏心的压弯构件，有可能在弯矩平面内失稳，即发生弯曲失稳；也有可能在弯矩作用平面外失稳，即弯扭失稳。其弯曲失稳为第二类稳定问题，即极值点失稳；其弯扭失稳对理想的无缺陷的压弯构件属于第一类稳定问题，即分支点失稳，但对实际构件则是极值点失稳。

对理想的两端简支的双轴对称工形截面压弯构件，在两端作用有轴线压力P和使构件产生同向曲率变形的弯矩M，如果在其侧向有足够的支撑 (如图3.1（b）)，构件将发生平面内的弯曲失稳，其荷载―挠度曲线如图3.2（a）中曲线a，失稳的极限荷载为Pu，属于极值点失稳。

图3.1 两端简支理想压弯构件 图3.2 压弯构件荷载变形曲线

如果在侧向没有设置支撑（如图3.1（ｃ）），则构件在荷载P未达到平面内极限荷载Pu时，可能发生弯扭失稳，即在弯矩作用平面内产生挠度v，在平面外剪心产生位移ｕ，并绕纵

介绍流体力学的知识,

第一章 流体力学基础

介绍流体力学的知识,

流体流动规律，这样可以了解每一个流体微团的位置变化和力学关系，从而，由流体微团组成的整个流体的运动状况也就清楚了。这种研究方法称为拉格朗日法。流动过程中所遵循的各种物理定律，如质量守恒定律、动量定理、能量守恒定律等都是针对"系统"而建立的， 图1-19 微元六面体的受力图

或写成 （1-54）

微元六面体上各个面上的表面力受力情况如图1-19所示。每个面上均有三个应力分量，一个法向应力和两个切向应力，六个面共计18个应力，其大小标于图上。 于是，微元系统在x方向上所有表面力之和为：

（1-55）

类似地，y、z方向上所有表面力之和分别为：

（1-56）

（1-57）

可统一表示为： （1-58）

将作用在微元系统上的质量力与表面力代入式1-52中得：

（1-59）

二．运动方程

将式1-59代入式1-50中，并除以dxdydz得：

（1-60）

写成矢量式为： （1-61）

这就是以应力形式表示的粘性流体的微分动量衡算方程，亦称为运动方程。

介绍流体力学的知识,

三．奈维-斯托克斯方程

1．应力与形变速率之间的关系---本构方程

流体质点受到应力作用将

欧拉通路、欧拉回路、欧拉图、半欧拉图的定义

定义15.1 通过图（无向图或有向图）中所有边一次且仅一次行遍图中所有顶点的通路称为欧拉通路, 通过图中所有边一次并且仅一次行遍所有顶点的回路称为欧拉回路. 具有欧拉回路的图称为欧拉图, 具有欧拉通路而无欧拉回路的图称为半欧拉图.

从定义不难看出, 欧拉通路是图中经过所有边的简单的生成通路（经过所有顶点的通路称为生成通路）, 类似地, 欧拉回路是经过所有边的简单的生成回路.

在这里做个规定, 即平凡图是欧拉图.

图15.1

在图15.1所示各图中, e1e2e3e4e5为（1）中的欧拉回路, 所以（1）图为欧拉图. e1e2e3e4e5为（2）中的一条欧拉通路, 但图中不存在欧拉回路（为什么？）, 所以（2）为半欧拉图. （3）中既没有欧拉回路, 也没有欧拉通路（为什么？），所以（3）不是欧拉图, 也不是半欧拉图. e1e2e3e4为（4）图中的欧拉回路, 所以（4）图为欧拉图. （5）,（6）图中都既没有欧拉回路, 也没有欧拉通路（为什么？）

判别定理

定理15.1 无向图G是欧拉图当且仅当G是连通图, 且G中没有奇度顶点.

证 若G是平凡图, 结论显然成立. 下面

棣莫弗定理与欧拉公式

编写人：刁国龙 审核人：叶新红

学习目标：1、掌握复数三角形式的乘除法运算和棣莫弗定理、欧拉公式，知道在进行复数的

幂运算时采用三角形式和指数形式会使计算变得简便。 2、会进行复数的代数形式、三角形式和指数形式之间的互化。 3、了解复数的指数形式和极坐标形式在电工学中的应用。

学习重点：棣莫弗定理和欧拉公式，复数指数形式和复数的幂运算。

复数的代数形式、三角形式和指数形式间的互化。

学习难点：复数的代数形式、三角形式和指数形式间的互化。

复数在电工学中的应用。

学习过程：

一、 知识链接：

1、 若z1 r1 cos 1 isin 1 ，z2 r2 cos 2 isin 2 ，则z1 z2 因此，复数的积的模等于 ，积的辐角等于 证明：先乘，再用两角和的正弦、余弦公式整理：

2、 若z1 r1 cos 1 isin 1 ，z2 r2 cos 2 isin 2 ，则

z1

z2

因此，复数的商的模等于 ，商的辐角等于 证明：先乘，再用两角和的正弦、余弦公式整理：

注意：运用复数的三角形式的乘除法运算时，首先要使每个复数是三角形式。

欧拉通路、欧拉回路、欧拉图、半欧拉图的定义

定义15.1 通过图（无向图或有向图）中所有边一次且仅一次行遍图中所有顶点的通路称为欧拉通路, 通过图中所有边一次并且仅一次行遍所有顶点的回路称为欧拉回路. 具有欧拉回路的图称为欧拉图, 具有欧拉通路而无欧拉回路的图称为半欧拉图.

从定义不难看出, 欧拉通路是图中经过所有边的简单的生成通路（经过所有顶点的通路称为生成通路）, 类似地, 欧拉回路是经过所有边的简单的生成回路.

在这里做个规定, 即平凡图是欧拉图.

图15.1

在图15.1所示各图中, e1e2e3e4e5为（1）中的欧拉回路, 所以（1）图为欧拉图. e1e2e3e4e5为（2）中的一条欧拉通路, 但图中不存在欧拉回路（为什么？）, 所以（2）为半欧拉图. （3）中既没有欧拉回路, 也没有欧拉通路（为什么？），所以（3）不是欧拉图, 也不是半欧拉图. e1e2e3e4为（4）图中的欧拉回路, 所以（4）图为欧拉图. （5）,（6）图中都既没有欧拉回路, 也没有欧拉通路（为什么？）

判别定理

定理15.1 无向图G是欧拉图当且仅当G是连通图, 且G中没有奇度顶点.

证 若G是平凡图, 结论显然成立. 下面

逻辑学欧拉图试题及答案

四、请用欧拉图表示句子中画横线概念外延之间的关系:

1、 “国家队里,有的跳远运动员又兼短跑运动员。”

2.已知a 与b 交叉,b 与c 交叉,a 与c 全异.请用欧拉图表示a 、b.c 、这三个概念之间 的关系.

3.请用欧拉图表示句子中画横线概念外延之间的关系。

“地球就是行星,水星也就是行星.”

4.设S 与P 交叉,M 真包含于S,用欧拉图表示S 、M 与P 之间的三种外延关系。

逻辑学欧拉图试题及答案

5、

A 、足球爱好者

B 、排球爱好者

C 、蓝球爱好者

D 、青年足球爱好者 ?6、动物园、动物、人、机器人

78

逻辑学欧拉图试题及答案

表解题:(10分)

1.请列出相容选言判断、充分条件假言判断、必要条件假言判断的真值表。

2.运用真值表判定A、B、C三个判断之间就是否就是等值关系

A:并非只有小李去,小王才去。

B:并非小李去或小王不去。

C.小李不去但小王去

欧拉公式OI^2=R(R-2r)的证明

命题：设三角形ABC外接圆O的半径为R，内切圆I的半径为r,则OI^2=R(R-2r)

证明：

如上图，设∠IAB=α， ∠IBA=β

连结I和A，并延长AI交圆O于点D；连结BD和CD；连结I和O，设直线OI交圆O于点E和F,设OI=d

第一步：求ID和IA的长度

显然：∠DBC=∠DAC=α，∠DBI=α+β=∠DIB，所以，BD=ID 因为△ABD内接于圆O，所以BD=2Rsinα，所以ID=2Rsinα 而IA?

第二步：求IE和IF的长度

显然，IE=R+d,IF=R-d

第三步：寻找等式

因为EF和AD都是圆O的弦，并且两弦相交于点I 所以有：IA*ID＝IE*IF 即：

2Rsin??2GIsin??rsin?

rsin??(R?d)*(R?d)，所以d2?R*(R?2r)

即：IO

?R*(R?2r)

欧拉不等式R≥2r的证明

由欧拉公式OI^2=R(R-2r)可知，OI^2≥０,所以R(R-2r) ≥０，所以R≥2r

２００９年９月第２３卷第３期

阴山学刊

ＹＩＮＳＨＡＮＡＣＡＤＥＭＩＣＪＯＵＲＮＡＬ

Ｓｅｐ．２００９Ｖ０１．２３

Ｎｏ．３

欧拉积分在求解定积分中的应用

田

兵

（包头师范学院学报编辑部，内蒙古包头０１４０３０）

摘要：本文叙述了欧拉积分的定义及相关性质，着重通过举例说明欧拉积分在实际计算中的应用。关键词：欧拉积分；定义；性质；应用

中图分类号：０１７２．２文献标识码：Ａ文章编号：１００４—１８６９（２００９）０３－００２２—０３

求解定积分是学习高等数学的一个重要内容，也是解决数学问题的一个基本技能。求解定积分的

∞）内闭一致收敛。Ｆ（ｄ）在区间（０，＋∞）连续，求导在积分号下进行：

方法一般来说是先求出原函数，然后再根据牛顿一一莱布尼茨公式带人上下限进行计算。这种方法对

于一般的定积分求解问题比较实用。

ｒ“’（ａ）＝ｆ石”１ｅ１（１似）“ｄｘ

（２）递推公式Ｖｄ＞０，有

ｒ（ａ＋１）＝ａｒ（ａ）。

这个性质可有分布积分公式得到。

，＋∞

，＋蕾

在实际问题中，有许多定积分的原函数，难以计算或者计算过程非常繁杂。而如果将其进行适量的变量代换，变为我们熟悉的定积分，那么这一问题就

得到了很好的解决。欧拉积分恰恰就是我们解决这

ｒ（ａ＋１）＝Ｉ

Ｘａｅ－ｘ

帕

石。ｅ—ｄｘ＝Ｉ加

ｘ。ｄ（一

２００９年９月第２３卷第３期

阴山学刊

ＹＩＮＳＨＡＮＡＣＡＤＥＭＩＣＪＯＵＲＮＡＬ

Ｓｅｐ．２００９Ｖ０１．２３

Ｎｏ．３

欧拉积分在求解定积分中的应用

田

兵

（包头师范学院学报编辑部，内蒙古包头０１４０３０）

摘要：本文叙述了欧拉积分的定义及相关性质，着重通过举例说明欧拉积分在实际计算中的应用。关键词：欧拉积分；定义；性质；应用

中图分类号：０１７２．２文献标识码：Ａ文章编号：１００４—１８６９（２００９）０３－００２２—０３

求解定积分是学习高等数学的一个重要内容，也是解决数学问题的一个基本技能。求解定积分的

∞）内闭一致收敛。Ｆ（ｄ）在区间（０，＋∞）连续，求导在积分号下进行：

方法一般来说是先求出原函数，然后再根据牛顿一一莱布尼茨公式带人上下限进行计算。这种方法对

于一般的定积分求解问题比较实用。

ｒ“’（ａ）＝ｆ石”１ｅ１（１似）“ｄｘ

（２）递推公式Ｖｄ＞０，有

ｒ（ａ＋１）＝ａｒ（ａ）。

这个性质可有分布积分公式得到。

，＋∞

，＋蕾

在实际问题中，有许多定积分的原函数，难以计算或者计算过程非常繁杂。而如果将其进行适量的变量代换，变为我们熟悉的定积分，那么这一问题就

得到了很好的解决。欧拉积分恰恰就是我们解决这

ｒ（ａ＋１）＝Ｉ

Ｘａｅ－ｘ

帕

石。ｅ—ｄｘ＝Ｉ加

ｘ。ｄ（一