根号导数求导公式

同步练习

1．若f（x）=sinα－cosx，则f′（α）等于

A．sinα B．cosα C．sinα+cosα D．2sinα 2．f（x）=ax3+3x2+2，若f′（－1）=4，则a的值等于

1916A． B．

331310C． D．

333．函数y=xsinx的导数为

A．y′=2xsinx+xcosx

sinxx B．y′=

sinx2x+xcosx

C．y′=+xcosx D．y′=

sinxx－xcosx

4．函数y=x2cosx的导数为 A．y′=2xcosx－x2sinx B．y′=2xcosx+x2sinx C．y′=x2cosx－2xsinx D．y′=xcosx－x2sinx

5.若y=(2x2-3)(x2-4),则y’= . 6. 若y=3cosx-4sinx ,则y’= . 7．与直线2x－6y+1=0垂直，且与曲线y=x3+3x2－1相切的直线方程是______．

?8．质点运动方程是s=t2（1+sint），则当t=时，瞬时速度为___________．

29.求曲线y=x3+x2

I.基本函数的导数 01.?C???0；

02.?x?????x??1；

03.?sinx???cosx； 04.?cosx????sinx；

05.

?tanx???sec2x； 06.?cotx????csc2x；

07.?secx???secxtanx； 08.?cscx????cscxcotx；09.?ax???axlna； 10.?ex???ex；

11.?log1ax???xlna； 12.?lnx???1x；

13.

?arcsinx???11?x2；

14.?arccosx????11?x2；15.?arctanx???11?x2； 16.

?arccotx????11?x2。

II.和、差、积、商的导数 01.?u?v???u??v?； 02.?Cu???Cu?； 03.?uv???u?v?uv?； 04.??u??u?v?uv??v???v2(v?0)。

III复合函数的导数 若y?f?u?,u???x?，则

dydx?dydududx 或 y??x??f??u????x?。

? 计算极限时常用的等价无穷小

12limsinx?x limtanx?x lim?1?cosx??x

x?0x?0x

I.基本函数的导数 01.?C???0；

02.?x?????x??1；

03.?sinx???cosx； 04.?cosx????sinx；

05.

?tanx???sec2x； 06.?cotx????csc2x；

07.?secx???secxtanx； 08.?cscx????cscxcotx；09.?ax???axlna； 10.?ex???ex；

11.?log1ax???xlna； 12.?lnx???1x；

13.

?arcsinx???11?x2；

14.?arccosx????11?x2；15.?arctanx???11?x2； 16.

?arccotx????11?x2。

II.和、差、积、商的导数 01.?u?v???u??v?； 02.?Cu???Cu?； 03.?uv???u?v?uv?； 04.??u??u?v?uv??v???v2(v?0)。

III复合函数的导数 若y?f?u?,u???x?，则

dydx?dydududx 或 y??x??f??u????x?。

? 计算极限时常用的等价无穷小

12limsinx?x limtanx?x lim?1?cosx??x

x?0x?0x

高二数学导数的定义、求导的公式、切线（理）人教实验版（A）

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

导数的定义、求导的公式、切线

二. 重点、难点： 1. 定义：f?(x0)?limf(x0??x)?f(x0)?y?lim

?x?0?x?x?0?x2. 初导函数的导数公式 （1）f(x)?c ∴ f?(x)?0 （2）f(x)?xn ∴ f?(x)?n?xn?1 （3）f(x)?sinx ∴ f?(x)?cosx （4）f(x)?cosx ∴ f?(x)??sinx

（5）f(x)?ax ∴ f?(x)?axlna（a?0且a?1） （6）f(x)?logax ∴ f?(x)?logae?3. 导数运算

（1）[f(x)?g(x)]??f?(x)?g?(x)

（2）[f(x)?g(x)]??f?(x)?g(x)?f(x)?g?(x) （3）[1 xf(x)f?(x)g(x)?f(x)?g(x) ]??g(x)g2x??（4）y?x?yuux

4. y?f(x)在x?x0处的切线方程

y?f(x0)?f?(x0)(x?x0)

【典型例题】

2[例1] 利用导数的定义求函数y?x的导数，并求该函数在x?3处

常用的求导积分公式及解法

常用的求导积分公式及解法 1．基本求导公式

⑴ (C) 0（C为常数）⑵ (xn) nxn 1；一般地，(x ) x 1。 特别地：(x) 1，(x2) 2x，()

1x

11

，。 (x) 2

x2x

⑶ (ex) ex；一般地，(ax) axlna (a 0,a 1)。 ⑷ (lnx)

11

(a 0,a 1)。 ；一般地，(logax)

xxlna

2．求导法则 ⑴ 四则运算法则

设f(x)，g(x)均在点x可导，则有：（Ⅰ）(f(x) g(x)) f (x) g (x)； （Ⅱ）(f(x)g(x)) f (x)g(x) f(x)g (x)，特别(Cf(x)) Cf (x)（C为常数）； （Ⅲ）(

f(x)f (x)g(x) f(x)g (x)1g (x)

，特别。 ) , (g(x) 0)() 22

g(x)g(x)g(x)g(x)

3．微分 函数y f(x)在点x处的微分：dy y dx f (x)dx 4、 常用的不定积分公式

1 1x2x32

xdx 1x C ( 1), dx x c, xdx 2 c, xdx 3（1） ；

4x3

xdx c 4

1axxxx

C (a 0,

①?C'=0(C为常数函数)；???

②?(x^n)'=?nx^(n-1)?(n∈Q*)；熟记1/X的导数???

③?(sinx)'?=?cosx；???(cosx)'?=?-?sinx；???

(tanx)'=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2???

-(cotx)'=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2???

(secx)'=tanx·secx???(cscx)'=-cotx·cscx???

(arcsinx)'=1/(1-x^2)^1/2???(arccosx)'=-1/(1-x^2)^1/2???

(arctanx)'=1/(1+x^2)???(arccotx)'=-1/(1+x^2)???

(arcsecx)'=1/(|x|(x^2-1)^1/2)???(arccscx)'=-1/(|x|(x^2-1)^1/2)???

④?(sinhx)'=hcoshx???(coshx)'=-hsinhx???

(tanhx)'=1/(coshx)^2=(sechx)^2???(co

* 导数公式：(1) C 0 (C为常数)n n 1 ( x ) nx (n R ) ( 2)

(3) (sin x ) cos x (4) (cos x) sin xx x ( a ) a ln a ( a 0, a 1) ( 5)

(e x ) e x

(6) (log a x ) 1 (ln x ) x

1 ( a 0, a 1) x ln a

返回

三、导数的运算法则法则1: 两个函数的和(或差)的导数，等于这 两个函数的导数的和(或差),即：

[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x).特别地：

[Cf ( x)] Cf ( x).(C为常数)

动手做一做1. 求下列函数的导数：

y

2 3 xx

3

2

(1) y 3 x 2 2 x ( 2) y 4 log 3 xx

1 y 4 ln 4 x ln 3

( 3) y sin x e

x

y cos x e x1 y 2 2 x cos x 1

(4) y x 0.5 tan x2. 使得函数 y 个？3

2 x 6 x

一、一个方程的情形对方程

F ( x, y ) 0

(1)

如能确定一个一元隐函数 y 隐函数的导数. 2 2 如 x y

f ( x) 且隐函数可导,

则可将y看成x的函数,对上式直接求导,可求出

1 0

直接对x求导,利用y为x的函数,可得

x 2 x 2 yy 0 y y' '

但必须先明确两个问题: 1) 在什么条件下,方程(1)可以确定隐函数? 2) 如能确定隐函数,其是否可导?

1. F ( x , y ) 0定理1 设函数F(x,y)在点 P( x0 , y0 )的某邻域内具连续 偏导数,且

F ( x0 , y0 ) 0, Fy ( x0 , y0 ) 0,

则方程F(x,y)=0在( x0 , y0 ) 的某邻域内能唯一确定一个 可导且具连续导数的函数y=f(x),满足 y0 f ( x0 )

Fx dy dx Fy

隐函数的求导公式

隐函数求导公式的推导 求复合函数

F ( x, y) F ( x, f ( x)) 0的全导数,即得

由Fy 连续,且 Fy ( x0 , y0 ) 0 故存在点 ( x0 , y0 ) 的一邻域,使得在其上Fy 0 从而

dy Fx Fy 0 dx

1.2.1几个常见函数 的导数公式常数函数与幂函数的导数

复习回顾：1.导数的概念

f ( x) lim'

x 0

y f ( x x) f ( x) lim x x 0 x

2.导数的几何意义

切线的斜率3.导数的物理意义

瞬时速度

4.求函数的导数的方法是: (三步法)

步骤:

(1) 求增量 y f ( x x ) f ( x );

y f ( x x ) f ( x ) ( 2) 算比值 ; x x y f ( x x) f ( x) (3) 求极限 y lim lim x 0 x x 0 x

例题一：

函数y f ( x) c的导数例题二：

函数y f ( x) x的导数

例题一： 函数y f ( x) c的导数 y f x x f x 解： 因为 x x c c 0, x y 所以 y` lim lim 0 0. x 0 x x 0

y

y c

O

x

图1.2 1

几何意义：

f ( x) c在任一点处的切线的斜 率为0在任一时刻的瞬时速度 为0

物理意义：y c表示物体没有运

四、基本求导法则与导数公式

１. 基本初等函数的导数公式和求导法则

基本初等函数的求导公式和上述求导法则，在初等函数的基本运算中起着重要的作用，我们必须熟练的掌握它，为了便于查阅，我们把这些导数公式和求导法则归纳如下： 基本初等函数求导公式 (1)

(C)??0 (3) (sinx)??cosx (5)

(tanx)??sec2x (7) (secx)??secxtanx

xx (9)

(a)??alna (log1ax)?? (11)

xlna

(arcsinx)??1 (13)

1?x2

(arctanx)??1 (15)

1?x2

函数的和、差、积、商的求导法则 设

u?u(x)，

v?v(x)都可导，则

（1） (u?v)??u??v? （2）（3）

（4）(uv)??u?v?uv? 反函数求导法则

(x?)???x??1 (cosx)???sinx

(cotx)???csc2x

(cscx)???cscxcotx

(ex)??ex

(lnx)??1x，

(arccosx)???11?x2

(arccotx)???11?x2(Cu)??Cu?（C是常数）

???u??u?v?uv??v