空间向量在几何证明中的应用

空间向量在立体几何中的应用

1【例1】已知三棱锥P-ABC中,PA⊥面ABC,AB⊥AC,PA=AC=AB,N为AB上一点,AB=4AN，

2M,S分别为PB,BC的中点.

(Ⅰ)证明:CM⊥SN; (Ⅱ)求SN与平面CMN所成角的大小. 证明：

设PA=1,以A为原点,射线AB,AC,AP分别为x,y,z轴正向建立空间直角坐标系如图.

111则P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),M(1,0,),N(,0,0),S(1,,0)

222??????1???11(Ⅰ)CM?(1,?1,),SN?(?,?,0),

222?????????11因为CM?SN????0?0,

22所以CM⊥SN

????1(Ⅱ)NC?(?,1,0),

2设a=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量, 1?x?y?z?0,??2令x?2，得a=(2,1,-2). 则?1??x?y?0.??21????2?2 因为cosa,SN?223?2?1?所以SN与片面CMN所成角为45°

【例2】、如图,四棱锥S—ABCD中,SD?底面ABCD, AB//DC,AD?DC, AB?AD?1,DC=SD=2,E为棱 SB上的一点,平面EDC?平

空间向量在立体几何中的应用：求角和距离

1．空间中的角：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 （1）异面直线所成的角的范围是(0,]。求两条异面直线所成的角的大小一般

2

?方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。 具体步骤如下：

①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上； ②证明作出的角即为所求的角； ③利用三角形来求角。

（2）直线与平面所成的角的范围是[0,]。

2A C B D ?? 求直线和平面所成的角具体步骤如下： ①作过斜线上一点与平面垂直的直线；

②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角； ③把该角置于三角形中计算。

注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，α为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有

???；

（3）二面角的范围:(0,?].。作二面角的平面角常有三种方法

1

2．空间的距离

（1）点到直线的距离：点Ｐ到直线a的距离为点Ｐ到直线a的垂线段的长，

(2)点到平面的距离：点Ｐ到平面?的距离为点Ｐ到平面?的垂线段的长．

（3）异面直线间的距离：异面直线a,b间的距离为

第3节 空间向量在立体几何中的应用

第1部分 六年高考荟萃

2010年

一、选择题

1.（2010全国卷2理）（11）与正方体ABCD?ABC111D1的三条棱AB、CC1、AD11所在直线的距离相等的点

（A）有且只有1个 （B）有且只有2个 （C）有且只有3个 （D）有无数个 【答案】D 【解析】直线

上取一点，分别作

垂直于

于

则分别

作

定理可得，PN⊥

PM⊥

，垂足分别为M，N，Q，连PM，PN，PQ，由三垂线

；PQ⊥AB，由于正方体中各个表面、对等角全等，所以，∴PM=PN=PQ，即P到三条棱AB、CC1、A1D1.所在直线的距

离相等所以有无穷多点满足条件，故选D.

2.（2010辽宁理）(12) (12)有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是

(A)（0, (C) (【答案】A

【命题立意】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力。 【解析】根据条件，四根长为2的直铁条与两根长为a的直铁条要组成三棱镜形的铁架，有以下两种情况

第一讲：空间几何中的向量方法---------坐标运算与法向量

一、空间向量的坐标运算

??1． 若a?(a1,a2,a3)，b?(b1,b2,b3)，则

（1）a?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3)； （2）a?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3)； （3）?a?(?a1,?a2,?a3),??R； （4）a?b?a1b1?a2b2?a3b3； （5）a//b?a1??b1,a2??b2,a3??b3,(b?0,??R)； （6）a?b?a1b1?a2b2?a3b3?0； （7）a?（8）cos?a,b??22a?a?a12?a2?a3；

a1b1?a2b2?a3b3a?b. ?222222a?ba1?a2?a3?b1?b2?b3?????????例1 已知a?(2,?3,5),b?(?3,1,?4),求a?b,a?b,8a,a?b,的坐标.

????2.若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则AB?(x2?x1,y2?y1,z2?z1)

练习1: 已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB,PC的中点，且PA=AD=1，

?????求向量MN的坐标.

二、空间直角坐标系中平面

向量在解析几何中的应用

嵩明县第一中学：吴学伟 2006年12月5日星期二

解析几何是历年数学高考舞台上必唱“主角”之一。近年来命题人往往以解析几何的传统内容为载体，融合向量等其它相关知识，设计出与轨迹问题的交汇与整合、向量与二次曲线方程问题的交汇与整合、向量与有关证明或范围问题的交汇与整合。

一、向量基础知识

（1）、向量的数量积定义：ab |a||b|cos （2）、向量夹角公式：a与b的夹角为 ，则cos

ab

|a||b|

（3）、向量共线的充要条件：b与非零向量a共线 存在惟一的 R，使b a。 （4）、两向量平行的充要条件：向量a (x1,y1),b (x2,y2)平行 x1y2 x2y1 0 （5）、两向量垂直的充要条件：向量a b ab 0 x1x2 y1y2 0 （6）、向量不等式：|a| |b| |a b|，|a||b| |ab|

（7）、向量的坐标运算：向量a (x1,y1),b (x2,y2)，则ab x1x2 y1y2 二、向量的应用

1、利用向量证明等式

材料一：已知 、 是任意角，求证：cos( ) cos cos sin sin 。 证明：在单位圆上，以x轴为始边作角 ，终边交单位圆于A

1 法向量在立体几何中的应用

查宝才

（扬州市新华中学，江苏 225002）

向量在数学和物理学中的应用很广泛，在解析几何与立体几何里的应用更为直接，用向量的方法特别便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题。将向量引入中学数学后，既丰富了中学数学内容，拓宽了中学生的视野；也为我们解决数学问题带来了一套全新的思想方法——向量法。下面就向量中的一种特殊向量——法向量，结合近几年的高考题，谈谈其在立体几何有关问题中的应用。

1 法向量的定义

1.1 定义1 如果一个非零向量n 与平面α垂直，则称向量n 为平面α的法向量。

1.2 定义2 任意一个三元一次方程：0=+++D Cz By Ax ，222(C B A ++ )0≠都表示空间直角坐标系内的一个平面，其中),,(C B A n =为其一个法向量。]1[ 事实上，设点),,(0000z y x P 是平面α上的一个定点，),,(C B A n =是平面α的法向量，设点),,(z y x P 是平面α上任一点，则总有n P P ⊥0。

∴ 00=?n P P ， 故 0),,(),,(000=---?z z y y x x C B A ，

即 0)()()(000=-+-+-z z C y

Now similar concerns are being raised by the giants（巨头）that deal in data, the oil of the digital age. The most valuable firms are Google,Amazon,3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程

课后导练

基础达标

1.已知A（1，1，0），

=（4，0，2）,点B的坐标为（ ）

A.（7，-1，4） B.(9,1,4) C.(3,1,1) D.(1,-1,1) 答案：B 2.

=(-1,2,3)，

=（l,m,n），

=（0，-1，4），则

等于（ ）

A.（-1+l，1+m,7+n） B.(1-l,-1-m,-7-n)

C.(1-l,1-m,7-n) D.(-1+l,-1+m,-7+n) 答案：B

3.若a=(0,1,-1)，b=(1,1,0)，且(a+λb)⊥a，则实数λ的值是（ ） A.-1

第88课时 空间向量在立体几何中的应用（一）（理）

【教学目标】

1．把平面向量的有关概念及其运算推广到空间，理解空间向量的意义．

2．建立空间直角坐标系，会用坐标表示空间向量，会把空间向量的线性运算化为坐标运算． 3．掌握空间中直线的方向向量与平面的法向量，会把空间线面的平行及垂直关系为向量关系，掌握三个基础命题．

4．会在简单的空间图形中用向量方法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直关系．

5．在解决空间向量线性运算及线面关系问题的过程中，领悟类比推广和转化的数学思想．

【教学重点】

1．空间向量线性运算的坐标表示．

2．用空间向量方法探究空间中的线面平行与垂直关系．

【教学难点】

用三个基础命题证明与探究空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直．

【教学过程】

一．知识整理

1．空间两点的距离：在空间直角坐标系O?xyz中，点A、B的坐标分别为(x1,y1,z1)、(x2,y2,z2)，则|AB|?(x1?x2)?(y1?y2)?(z1?z2)．

2222．空间点的位置向量及其坐标：在空间直角坐标系O?xyz中，O为原点，A是空间一点，则向量a?OA叫做点A的位置向量，取与Ox轴、Oy轴、Oz轴正半轴方

2. 5.1平面几何中的向量方法

教学目的：

1.通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何的问题的”三步曲”；

2.明确平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示.；

3.让学生深刻理解向量在处理平面几何问题中的优越性.

教学重点：用向量方法解决实际问题的基本方法：向量法解决几何问题的“三步曲”. 教学难点：如何将几何等实际问题化归为向量问题.

教学过程：

一、复习引入：

1. 两个向量的数量积： ||||cos .

2. 平面两向量数量积的坐标表示: x1x2 y1y2.

3. 向量平行与垂直的判定:

// x1y2 x2y1 0. x1x2 y1y2 0.

4. 平面内两点间的距离公式： |AB|

5. 求模：

(x1 x2)2 (y1 y2)2

二、讲解新课：

例x2 y2

(x1 x2)2 (y1 y2)2 1. 平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型.如图， , ,你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？

思考1：

如果不用向量方法，你能证明上述结论吗？

练习1. 已知AC为⊙O的一条直径，∠ABC为圆周角.求证：∠ABC＝90o.（用向量方法

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn

浅谈高等代数在空间解析几何中的应用

作者：丰璐

来源：《新校园·上旬刊》2014年第11期

摘 要：高等代数与空间解析几何具有紧密的联系。本文主要是讨论高等代数中的行列式、向量及线性方程组这三个数学工具在空间解析几何中的实际应用。 关键词：行列式；向量；齐次线性方程组；空间解析几何

空间解析几何主要研究两类问题，即用代数方法研究几何图形的几何结构，及用图形的方法给出方程的直观几何解释。高等代数的知识是空间解析几何的主要研究工具，同时空间解析几何也可以使较抽象的高等代数有一个直观的几何应用。因此高等代数与空间解析几何具有紧密的联系，本文主要讨论高等代数中的行列式、向量及齐次线性方程组这三个代数工具在空间解析几何中的应用。

一、向量在空间解析几何中的应用

向量是高等代数中的重要内容，空间解析几何利用三维向量的相关代数知识把直观的几何图形的几何结构转化为代数的定量计算。由下面的例子来说明此问题：

例1：设L，M，N分别为ΔABC三边BC，CA，AB的中点，证明：三中线向量■，■，■可以构成一个三