matlab求解有约束最优化问题

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MATLAB在最优化模型求解中的应用

摘要 最优化模型是较常见的数学模型，本文介绍了MATLAB软件在求解最优化模型方面的几点应用，给出了几种解决优化模型的函数格式和范例 关键词 最优化模型;MATLAB;命令 1 前言

优化问题，一般是指用“最好”的方式，使用或分配有限的资源，即劳动力、原材料、机器、资金等，使得费用最小或者利润最大。最优化模型就是根据优化问题的具体情况建立的数学模型。求解此类模型，一方面需要具有较好的数学知识和较强的计算机编程能力，另一方面，也可以利用成熟的算法求解。本文将介绍MATLAB在最优化模型求解中的几个应用。

2 利用MATLAB的优化工具箱求解最优化模型

MATLAB是Mathworks公司推出的一套功能强大的工程计算及数值分析软件, 目前它已经成为世界上应用最广泛的工程计算软件之一。其优化工具箱的应用包括: 线性、非线性最小化、方程求解、曲线拟合、二次规划等中大型课题的求解方法, 为优化方法在工程中的实际应用提供了更方便、快捷的途径。 2.1求解线性规划模型

利用MATLAB软件求解线性模型：

minz?cX

AX?b??s.t.?Aeq?X?beq ?vlb?X?vub?可使

实验二、 无约束最优化

（先将此文档从服务器下载，若众人同时在服务器打开文档，容易导致出错） 【实验目的】

1．了解无约束最优化方法的一些基本概念。

2．熟悉掌握用相关的命令来求解无约束最优化问题。 【实验内容】

把题目和相应的完整命令写在实验报告上。

1：无约束最优化问题实际上是什么问题？求这类问题的最优解的基本思路是什么？

2：求f(x)?ex?5x在区间[1,2]内的极小值点和极小值。 3：已知f(x1,x2,x3)?x12?3sinx2?x1x22x32。 (1) 求f(x1,x2,x3)在点(1,?1,0)附近的极小值； (2) 求f(x1,x2,x3)在点(1,?1,0附近的极小值点和极小)值，要求优化算法用高斯－牛顿法，搜索方向用拟牛顿法的DFP公式，以及给出函数计算次数。 【相关知识说明】

无约束最优化是指在没有约束条件下，求多变量实值函数极值。

无约束最优化问题的数学表达式为

minf(x),x?(x1,x2,?,xn)?R。

n一般f为非线性函数，x是n维实变量，实际上这是一个多元

函数无条件极值问题。

由于求极大值问题，可以用添加负号的方式转化为求极小值问题，因此通常只讨论求极小值问题。应该注意的是，极值问题的解，即极

第6章 约束最优化方法

6.1

可行方向法 罚函数法 乘子法

主 要 内 容

6.2 6.3

6.4 6.5

二次规划问题 网格法

求解约束最优化问题比求解无约束最优化问题要困 难的多，因为每次迭代不仅要使目标函数值下降 (对最小化问题),同时还要考虑解的可行性问题。

求解约束非线性优化问题的方法很多。 有些是将约束非线性优化问题转化为无约束非线 性优化问题(SUMT),如罚函数法(外点法)、 障碍函数法(内点法)等， 有些是通过构造下降可行方向进行迭代，如 Zoutengijk可行方向法、Rosen梯度投影法、简约 梯度法等， 有些是将非线性优化问题转化为线性规划问题， 如线性逼近法等；还有网格法等等。

6.1 可行方向法

可行方向法是求解约束最优化问题的一类常用方法，

是无约束最优化问题下降迭代算法的自然推广。

可行方向法的典型策略是从某可行点出发，沿该点

的下降可行方向进行搜索，求出使目标函数值下降的新的可行点,

算法的主要步骤是选择搜索方向和确定沿此方向搜索的步长。

搜索方向的选择方式不同就形成不同的可行方向法。

6.1.1 可行方向法概述

6.1.2 Zoutendijk可行方向法

题目：分别用最速下降法、FR共轭梯度法、DFP法和BFGS法求解问题：

22minf(x)?x1?2x1x2?4x2?x1?3x2

取初始点x(1)?(1,1)T，通过Matlab编程实现求解过程。 公用函数如下：

1、function f= fun( X ) %所求问题目标函数

f=X(1)^2-2*X(1)*X(2)+4*X(2)^2+X(1)-3*X(2); end

2、function g= gfun( X ) %所求问题目标函数梯度

g=[2*X(1)-2*X(2)+1,-2*X(1)+8*X(2)-3]; end

3、function He = Hess( X ) %所求问题目标函数Hesse矩阵 n=length(X); He=zeros(n,n); He=[2,-2; -2,4];

End

解法一：最速下降法

function [ x,val,k ] = grad( fun,gfun,x0 ) %功能：用最速下降法求无约束问题最小值

%输入：x0是初始点，fun和gfun分别是目标函数和梯度 %输出：x、val分别是最优点和最优值，k是迭代次数 maxk=5000;%最大迭代次数 rho=0.5;sigm

实验七.规划问题

一.实验目的：

学会用matlab优化工具箱求解线性规划、非线性规划。

二.实验原理与方法

Matlab优化工具箱简介

1. MATLAB求解优化问题的主要函数

类 型 一元函数极小 无约束极小 线性规划 二次规划 约束极小 （非线性规划） 达到目标问题 极小极大问题

模 型 Min F（x）s.t.x1

见下表: 变量 f fun H A,b Aeq,beq vlb,vub 描 述 线性规划的目标函数f*X 或二次规划的目标函数X’*H*X+f*X 中线性项的系数向量 非线性优化的目标函数.fun必须为行命令对象或M文件、嵌入函数、或MEX文件的名称 二次规划的目标函数X’*H*X+f*X 中二次项的系数矩阵 A矩阵和b向量分别为线性不等式约束：AX?b中的系数矩阵和右端向量 Aeq矩阵和beq向量分别为线性等式约束： Aeq?X?beq中的系数矩阵和右端向量 X的下限和上限向量：vlb≤X≤vub 调用函数 linprog,quadprog fminbnd,fminsearch,fminunc, fmincon,lsqcurvefit,lsqnonlin, fgoalattain,fminimax

第3章 Matlab在最优化问题中的应用

优化理论是一门实践性很强的学科，广泛应用于生产管理、军事指挥和科学试验等各种领域，Matlab优化工具箱提供了对各种优化问题的一个完整的解决方案。

在数学上，所谓优化问题，就是求解如下形式的最优解： Min fun (x) Sub. to [C.E.] [B.C.] 其中fun (x)称为目标函数，“Sub. to”为“subject to”的缩写，由其引导的部分称为约束条件。[C.E.]表示Condition Equations，即条件方程，可为等式方程，也可为不等式方程。[B.C.]表示Boundary Conditions，即边界条件，用来约束自变量的求解域，以lb≤x≤ub的形式给出。当[C.E.]为空时，此优化问题称为自由优化或无约束优化问题；当[C.E.]不空时，称为有约束优化或强约束优化问题。

在优化问题中，根据变量、目标函数和约束函数的不同，可以将问题大致分为： ·线性优化 目标函数和约束函数均为线性函数。

·二次优化 目标函数为二次函数，而约束条件为线性方程。线性优化和二次

求解约束优化的模拟退火PSO算法

第３２卷第７期

系统工程与电子技术

Ｖ０１．３２Ｎｏ．７

２０１０年７月

ＳｙｓｔｅｍｓＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ

Ｊｕｌｙ２０１０

文章编号：１００１—５０６Ｘ（２０１０）０７—１５３２—０５

求解约束优化的模拟退火ＰＳＯ算法

焦

巍，刘光斌，张艳红

（第二炮兵工程学院，陕西西安７１００２５）

摘

要：针对有约束最优化问题，提出了基于模拟退火的粒子群优化（ｐａｒｔｉｃｌｅ

ｓｗａｒｍｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ－ｓｉｍｕｌａｔｅｄ

ａｎ—

ｎｅａｌｉｎｇ，ＰＳＯ－ＳＡ）算法。该算法利用模拟退火算法以一定概率接受较差点的概率突跳特性，克服粒子群优化算法易陷入局部最优的缺陷。采用可行性原则进行约束处理，并在模拟退火算法产生新粒子的过程中保留最优不可行解的信息，弥补了可行性原则处理最优点位于约束边界附近时存在的不足。４个典型工程优化设计的实验结果表明，该算法能够寻得更优的约束最优化解。

关键词：粒子群优化；模拟退火；约束优化，可行性原则中图分类号：ＴＰ

１８

文献标志码：ＡＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００１－５０６Ｘ．２０１０．０７．０４２

Ｐａｒｔｉｃｌｅｓｗａｒｍｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｂａｓｅｄｏｎ

ｓｉｍｕｌａｔｅ

第三章 无约束最优化方法 本章内容及教学安排 第一节 概述

第二节 迭代终止原则

第三节 常用的一维搜索方法 第四节 梯度法 第五节 牛顿法 第六节 共轭方向法 第七节 变尺度法 第八节 坐标轮换法 第九节 鲍威尔方法

第一节 概述

优化问题可分为

无约束优化问题 有约束优化问题

无约束最优化问题求解基于古典极值理论的一种数值迭代方法，主要用来求解非线性规划问题 迭代法的基本思想：

所以迭代法要解决三个问题 1、如何选择搜索方向 2、如何确定步长

3、如何确定最优点（终止迭代） 第二节 迭代终止准则 1）XK?1?XK??

?2?XK?1?XK???（XK?1i?XKi）??i?1?f(XK?1)?fX(K?)?n1/2??

2）

f(XK?1)?fX(K) or ??f(XK)3）?f(X(K?1))??

第三节 常用的一维搜索方法

本节主要解决的是如何确定最优步长的问题。

从初始点X(0)出发，以一定的步长沿某一个方向，可以找到一个新的迭代点，其公式如下：

X(1)?X(0)??0S0X(2)?X(1)??1S1 X(K?1)?X(K)??kSk现在假设SK已经确定，需要确定的是步长?k，就把求多维

题目：无约束最优化问题的拟牛顿法

诚信声明

本人声明：

1、本人所呈交的毕业设计（论文）是在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果；

2、据查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，毕业设计（论文）中不包含其他人已经公开发表过的研究成果，也不包含为获得其他教育机构的学位而使用过的材料；

3、我承诺，本人提交的毕业设计（论文）中的所有内容均真实、可信。

作者签名：日期：年月日

毕业设计（论文）原创性声明和使用授权说明

原创性声明

本人郑重承诺：所呈交的毕业设计（论文），是我个人在指导教师的指导下进行的研究工作及取得的成果。尽我所知，除文中特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或组织已经发表或公布过的研究成果，也不包含我为获得及其它教育机构的学位或学历而使用过的材料。对本研究提供过帮助和做出过贡献的个人或集体，均已在文中作了明确的说明并表示了谢意。

作者签名：日期： -

指导教师签名：日期：

使用授权说明

本人完全了解大学关于收集、保存、使用毕业设计（论文）的规定，即：按照学校要求提交毕业设计（论文）的印刷本和电子版本；学校有权保存毕业设计（论文）的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文；在不以赢利为目的前提下，

第一章 最优化问题总论

无论做任何一件事，人们总希望以最少的代价取得最大的效益，也就是力求最好，这就是优化问题．最优化就是在一切可能的方案中选择一个最好的方案以达到最优目标的学科．例如，从甲地到乙地有公路、水路、铁路、航空四种走法，如果我们追求的目标是省钱，那么只要比较一下这四种走法的票价，从中选择最便宜的那一种走法就达到目标．这是最简单的最优化问题，实际优化问题一般都比较复杂．

概括地说，凡是追求最优目标的数学问题都属于最优化问题．作为最优化问题，一般要有三个要素：第一是目标；第二是方案；第三是限制条件．而且目标应是方案的“函数”．如果方案与时间无关，则该问题属于静态最优化问题；否则称为动态最优化问题．

§1.1 最优化问题数学模型

最简单的最优化问题实际上在高等数学中已遇到，这就是所谓函数极值，我们习惯上又称之为经典极值问题．

例1.1 对边长为a的正方形铁板，在四个角处剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽，问如何剪法使水槽的容积最大？

解 设剪去的正方形边长为x，由题意易知，与此相应的水槽容积为

f(x)?(a?2x)2x．

令

f'(x)?2(a?2x)(?2)x?(a?2x)2?(a?2x)(a?6x)?0，

得两个驻点：

x?