线性方程组求解的迭代法实验目的

系部 学号 实验题目

数计系

专 业 姓 名

计算机科学与技术

日期 成绩

2010 年 12 月

实验三： 实验三：解线性方程组的迭代法

一.实验目的 1.熟练运用已学过的迭代法求解线性方程组， 包括雅克比迭代法、 迭代法和 SOR 迭代法。 G-S 2.加深对计算方法技巧，选择正确的计算方法来求解各种线性方程组。 3.培养使用电子计算机进行科学计算和解决问题的能力。 二.实验环境 VC++6.0 实验语言：c++ 三.实验内容 1.试用雅克比迭代法和高斯塞德尔迭代法求解如下的线性方程组，设置精度为 1.0e-6:

10 1 1 x1 6.2 1 10 2 x2 = 8.5 2 1 5 x 3.2 3 2. 用 w=1 及 w=1.25 的 SOR 方法求解如下的线性方程组， 设置精度为 0.5e-7(初值为(1,1,1))

4 3 0 x1 24 3 4 1 x2 = 30 0 1 4 x 24 3 四.实验公

实验一 线性方程组迭代法实验

一、

实验目的

1．掌握用迭代法求解线性方程组的基本思想和计算步骤；

2．能熟练地写出Jacobi迭代法的迭代格式的分量形式，并能比较它们各自的特点及误差估计；

3.理解迭代法的基本原理及特点，并掌握Jacobi迭代Gauss-Seidel迭代和SOR迭代格式的分量形式、矩阵形式及其各自的特点；

4.掌握Jacobi迭代Gauss-Seidel迭代和SOR迭代算法的MATLAB程序实现方法,及了解松弛因子对SOR迭代的影响；

5.用SOR迭代法求解线性方程组时，超松弛因子?的取值大小会对方程组的解造成影响，目的就是能够探索超松弛因子?怎样对解造成影响，通过这个实验我们可以了解?的大致取值范围。

二、

实验题目

1、迭代法的收敛速度

用迭代法分别对n=20，n=200解方程组Ax=b,其中

?4??????A?????????1315131513??134???...15134?15?15??15134?13?15???????11?3?5??4?13?1?34??n?n

（1）选取不同的初值x0和不同的右端向量b，给定迭代误差，用两种迭代法计算，观测得到的迭代向量并分析计算结果给出结论；

（2）取定初值x0

第6章

解线性方程组的迭代方法

6.1 迭代法的基本概念 6.2 雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法

6.3 超松弛迭代法 6.4* 共轭迭代法

上页

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6.1 迭代法的基本概念6.1.1 引 言 对线性方程组 Ax=b, (1.1) 其中A为非奇异矩阵, 当A为低阶稠密矩阵时, 第5章 讨论的选主元消去法是有效的. 但对于大型稀疏矩 阵方程组(A的阶数n很大 104,但零元素较多), 利 用迭代法求解是合适的. 本章将介绍迭代法的一些基本理论及雅可比 迭代法，高斯-赛德尔迭代法，超松弛迭代法，而 超松弛迭代法应用很广泛。 下面举简例，以便了解迭代法的思想.上页 下页

例1 求解方程组

8 x1 3 x2 2 x3 20, 4 x1 11 x2 x3 33, 6 x 3 x 12 x 36. 2 3 1记为Ax=b,其中

(1.2)

x1 8 3 2 30 A 4 11 1 , x x2 , b 33 . x 6 3 12 36 3 此方程组的精确解是x*=(3,2,1)T

hao

第3章 解线性方程组的迭代法

清华大学工程硕士数学课程--数值分析 数值方法

§1 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法

（I）迭代概念

（1） Ax b ， A Rn n， b R

A M N ， M R

n n

n

， N R

n n

，

M非奇异

Mx Nx

b

Mx Nx b

x M

1

Nx M

1

1

b

如果令 B M

1

N,f Mb，那么上式写成

（2） x Bxf 此方程组等价于Ax b

任给x

(0)

R，

(1)

n

x x

Bx

(0)

f f

(2)

Bx

(1)

（3） x

(k 1)

Bx

(k)

k(

f

(k)

)

由（3）可以确定 x

x

(k)

，当x

x R，即

*n

x

*

0 时，有

*

*

x Bx f

x同样满足 Ax b

*

*

定义 式（3） x

(k 1)

Bx

k(

f称为求解 （1）

)

Ax b 的简单形式迭代法，B称为迭代矩阵。

（II）Jacobi迭代法

hao

Ax b

写成分量形式有

n

a

j 1

ij

xj bi,

i 1,2, ,n

i 1n

ij

aiixi

a

j 1

xj

j i 1

aijxj bi,i 1,2, ,n

假定 aii 0 ，那么有 xi

1aii

i 1

n

ij

(bi

西安财经学院 本 科 实 验 报 告

学 院（ 部 ） 统计学院 实 验 室 数学专业实训基地 课 程 名 称 大学数学实验 学 生 姓 名 董童丹（编程）杨媚（实验报告） 学 号 0804280125 0804280126 专 业 数学与应用数学0801

教务处制

二0一一年五月十五日

第 1 页

《迭代法求解非线性方程》实验报告

开课实验室：实验室 312 2011年5月15日 学院 统计学院 年级、专业、班 数学与应用数学0801姓名 董童丹 班 课程 名称 大学数学实验 教师 评语 教师签名： 年 月 日 一、实验目的 掌握用fzero和fsolve程序求解方程根的方法，并根据不同的初值，根的近似值和迭代次数 分析不同根的收敛域； 二、实验环境 本次上机实践所使用的平台和相关软件Matlab。 三、实验内容 ＊题目

3.4 向量和矩阵的范数

为了研究线性方程组近似解的误差估计和迭代法的收敛性，我们需要对Rn(n维

向量空间)中的向量或Rnxn中矩阵的“大小”引入一种度量，——向量和矩阵的范 数。

向量和矩阵的范数

在一维数轴上，实轴上任意一点x到原点的距离用|x|表示。而任意两点x1,

x2之间距离用| x1-x2 |表示。

向量和矩阵的范数

而在二维平面上，平面上任意一点P(x,y)到原点的距离用 x 2 y 2 | OP 表示。而平面上 | 任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离用 表示。 推广到n维空间，则称为向量范数。

| P1 P2 | ( x1 x 2 ) ( y1 y 2 )2

2

向量范数定义3.4.1 设任一向量x R n , 按某一确定的

x ||, 且满足 : 1)非负性： || x || 0,当且仅当x 0时， || x || 0; 2)奇次性： || kx || | k ||| x ||, k R; 3)三角不等式：对任意 x, y R , 都有 || x y || || x || || y || ,法则对应于一非负实数 ||n

则称 || x || 为向量x的范数。

常见的向量范数设向

3.4 向量和矩阵的范数

为了研究线性方程组近似解的误差估计和迭代法的收敛性，我们需要对Rn(n维

向量空间)中的向量或Rnxn中矩阵的“大小”引入一种度量，——向量和矩阵的范 数。

向量和矩阵的范数

在一维数轴上，实轴上任意一点x到原点的距离用|x|表示。而任意两点x1,

x2之间距离用| x1-x2 |表示。

向量和矩阵的范数

而在二维平面上，平面上任意一点P(x,y)到原点的距离用 x 2 y 2 | OP 表示。而平面上 | 任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离用 表示。 推广到n维空间，则称为向量范数。

| P1 P2 | ( x1 x 2 ) ( y1 y 2 )2

2

向量范数定义3.4.1 设任一向量x R n , 按某一确定的

x ||, 且满足 : 1)非负性： || x || 0,当且仅当x 0时， || x || 0; 2)奇次性： || kx || | k ||| x ||, k R; 3)三角不等式：对任意 x, y R , 都有 || x y || || x || || y || ,法则对应于一非负实数 ||n

则称 || x || 为向量x的范数。

常见的向量范数设向

解线性方程组的迭代方法 1 引言 2 基本迭代法

3 迭代法的收敛性

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1 引对线性方程组

言

Ax=b, (1.1) 其中A为非奇异矩阵, 当A为低阶稠密矩阵时, 用前面讨 论的选主元消去法是有效的. 但对于大型稀疏矩阵方 程组(A的阶数n很大，但零元素较多), 利用迭代法求解 是合适的. 迭代法的基本思想就是用逐次逼近的方法去求线 性方程组的解。 本章将介绍迭代法的一些基本理论及雅可比迭代 法，高斯-赛德尔迭代法，超松弛迭代法，而超松弛迭 代法应用很广泛。 下面举简例，以便了解迭代法的思想. 上页 下页

例1 求解方程组

8 x1 3 x2 2 x3 20, 4 x1 11 x2 x3 33, 6 x 3 x 12 x 36. 2 3 1记为Ax=b,其中

(1.2)

x1 8 3 2 30 A 4 11 1 , x x2 , b 33 . x 6 3 12 36 3 方程组的精确解是x*=(3,2,1)T. 现将改写为上页 下页

1 3 x 2 2 x 3

第四章 解线性方程组的迭代法

对于阶数不高的方程组，直接法非常有效，对于阶数高，而系数矩阵稀疏的线性方程组却存在着困难，在这类矩阵中，非零元素较少，若用直接法求解，就要存贮大量零元素。为减少运算量、节约内存，使用迭代法更有利。本章介绍迭代法的初步内容。

§1 雅克比法、赛得尔法、超松驰法

1．雅克比（Jacobi ）迭代法

设有n 阶方程组

???????=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 （4.1）

若系数矩阵非奇异，且0≠ii a (i = 1, 2,…, n )，将方程组（4.1）改写成 ()()()

?????

??????----=----=----=--11,221112323122221213132121111111n n n n n n nn n n n n n x a x a x a b a x x a x a x a b a x x a x a x a b a x 然后写成迭代格式 ()()()???????????----=----=

《计算方法》课内实验报告

学生姓名: 及 学 号： 学 院: 班 级: 课程名称： 实验题目: 指导教师 姓名及职称：

张学阳 理学院 数学101 计算方法

解线性方程组的直接方法和迭代法

宋云飞 讲 师 朱秀丽 讲 师 尚宝欣 讲 师

1009300132

2012年12月10日

目 录

一、实验题目........................................................................................ - 1 - 二、实验目的........................................................................................ - 1 - 三、实验内容........................................................................................ - 1 - 四、实验结果...............................................................