量子力学考研真题

2.2.2 2009年真题

【题目】1. 简单描述康普顿（Compton）散射实验及其意义 【解题】

康普顿散射指的是短波电磁辐射（x射线等）射入物质被散射后，除了出

现与入射波同样波长的散射外，还出现波长向长波方向移动的现象。 康普顿散射的意义就是它表明了光子存在动量

【题目】2. 表明电子有自旋的实验依据有哪些（至少例举出两个）？乌伦贝

克和古德斯密特关于电子自旋的假设是什么？

【解题】

表明电子有自旋的实验依据有光谱精细结构，反常塞曼效应

乌伦贝克和古德斯密特关于电子自旋的假设是效应认为电子在绕着原子核旋转

的同时，自己也在旋转，即电子具有自旋。

【题目】3.质量为u的线性谐振子处于第n个能量本征态，若保持系统的能量

不变而将振子看成经典振子，其幅度为多大？

【解题】

由(n?12)???12u?A

22得出A?(2n?1)?u?

【题目】4. 设氢原子在t=0时处于状态

?(r,?)?12R31(r)Y10(?,?)?13R31(r)Y1?1(?,?)?cR32(r)Y21(?,?)。

此状态是定态，为什么：式中常数c的值是多少？

【解题】

氢原子的本征函数?(r)?Rnl(r)Ylm(?,?) 能量En

2007年硕士学位研究生入学统一考试试题

量子力学A卷

一、在一维无限深方势阱(0＜x＜a) 中运动的粒子受到微扰

作用。 试求基态能量的一级

修正。

二、粒子在势场V(x) 中运动并处于束缚定态ψn(x) 中。 试证明粒子所受势场作用力的平均值为零。 三、

1．考虑自旋为的系统。试在的本征态。 其中

是角动量算符，而A，B为实常数。

表象中求算符

的本征值及归一化

2．假定此系统处于以上算符的一个本征态上，求测量得到结果为的概率。

四、两个无相互作用的粒子(质量均为m) 置于一维无限深方势阱(0＜x＜a) 中。对下列两种情况写出：两粒子体系可具有的两个最低总能量值，相应的简并度以及上述能级对应的所有二粒子波函数。 1．两个自旋为

的可区分粒子；

2．两个自旋为的全同粒子。

五、一个质量为m的粒子被限制在r=a和r=b的两个不可穿透的同心球面之间运动。不存在其它势，求粒子的基杰能量和归一化波函数。

2007年量子力学A卷参考答案

一、解：能级，n=1，2，3…。相应的能量本征函数为

因此基态能量的一级修正为

二、解：粒子所受势场作用的力算符

为

三、解：a) 设，则在表象中有

设本征值为设为归一化的本征态，a2+b2=1，

则由本征方程解得本征态为

1.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：?mT?b, b?2.9?10?3m?C。

0证明：由普朗克黑体辐射公式：??d??8?h?c331h?d?，及??cekT?1?、d???c?x2d?得

???8?hc1hc?5，令x?hce?kT?1hc?kT，再由

d??d??0，得?.所满足的超越方程为5?xex用图解

e?1法求得x?4.97，即得

?mkT?4.97，将数据代入求得?mT?b, b?2.9?10?3m?C

01.2．在0K附近，钠的价电子能量约为3eV,求de Broglie波长. 解：??hp?h2mE32?7.09?10?100m?7.09A

1.3. 氦原子的动能为E?kT，求T?1K时氦原子的de Broglie波长。

解：

??hp?h2mE?h3mkT?23?12.63?10?100m?12.63A其中

m?4.003?1.66?10?27kg，k?1.38?10J?K?1

1.4利用玻尔—索末菲量子化条件，求：

（1）一维谐振子的能量。（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。 已知外磁场B?10T，玻尔磁子?B?0.923?10?23J?T?1，求动能的量子化间隔?E，并与

T?4K及T?100K的热运动能

浙江大学1998-2008年量

子力学考研真题

浙江大学1998年攻读硕士学位研究生入学考试试题

考试科目 量子力学

第一题：（10分）

（1） 写出玻尔-索末菲量子化条件的形式。

（2） 求出均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。（利用玻尔-索末菲量子化条件

?求，设外磁场强度为B）

第二题：（20分）

（1） 若一质量为?的粒子在一维势场V(x)??级。

（2） 若某一时刻加上了形如esin为一已知常数）。

?0,0?x?a中运动，求粒子的可能能

??,x?a,x?0?xa，（e?1）的势场，求其基态能级至二级修正（??122???x,x?0（3） 若势能V(x)变成V(x)??2，求粒子（质量为?）的可能的能级。

?x?0??,

第三题：（20分）

氢原子处于基态，其波函数形如??ce?ra，a为玻尔半径，c为归一化系数。

（1） 利用归一化条件，求出c的形式。

（2） 设几率密度为P(r)，试求出P(r)的形式，并求出最可几半径r。 （3） 求出势能及动能在基态时的平均值。

??联系起来？ ??及?T（4） 用何种定理可把?V

第四题：（15分）

?2?2?2LLLy??x??z，转子的轨道角动量量子数是1， 一转子，其哈密顿量

南京大学1998年硕士研究生考试试题——量子力学

???(一) 20分 有半壁无限高势垒的一维阱 V?x???0?V?0x?00?x?a x?a在E?V0的情形下，该系统是否总存在一个束缚态？如果回答是否定的，那么系统中至少有一个束缚态的存在的充要条件是什么？

（二）20分 一个取向用角坐标?和?确定的转子，作受碍转动，用下述哈密顿量描述：

?2是角动量平方算符，??AL?2?B?2cos?2??，式中A和B均为常数，且A??B，LH试用一级微扰论计算系统的p能级（l?1）的分裂，并标出微扰后的零级近似波函数。 （三）20分求在一维无限深势阱中，处于?n?x?态时的粒子的动量分布几率?n?p? 。 （四）20分 试判断下列诸等式的正误，如果等式不能成立，试写出正确的结果： （1）e???i?p????i??x???pj?1i?22?e????xj?e ？式中i?和?j分别是x和y方向的单位矢量。

?x,p?xf?x??p?x??（2）?p?i?x??xf(x) ？式中pp'??i?x ，

??（3）系统的哈密顿算符为H??2p2?12???2p2????V?r? ，设?n?r?是归一化的束缚态波函数，则有：

?n?n??nr??V?r??n ？

量子力学的变分法-量子力学的变分法

　　当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。　　
量子力学的变分法-量子力学的变分法
解薛定谔方程的一种应用范围极广的近似方法
对于束缚定态
它是基于能量本征值方程（即不含时间的薛定谔方程）与能量变分原理的等价性
通过求能量的极值得到能量本征值方程的解
在处理具体问题时
总是采用波函数某种特殊的变化去代替最普遍的任意变分
这样就可得到依赖于波函数特殊形式的近似解
这种方法称为变分法

　　若体系的哈密顿量算符为彑
其能量本征值方程为

(1)
该体系的能量平均值
(2)
是波函数φ的泛函
式中表示对体系全部坐标积分
可以证明
求彑的本征值方程
等价于求解
(3)
也就是满足变分原理(3)的φ为彑的本征函数
唕的极值为所对应的本征值
即
(4)
　　这样
如果能猜测到一个φ正好满足式(1)
则由式(2)所得的唕【φ】等于E
如果猜测的φ与ψ 略有不同
则唕【φ】必定大于E
因而唕【φ】总是给出唕的一个上限
当做了多次猜测之后
其中最小的唕一定是这些猜测中最好的
这样就把最小的唕取作E的近似值
应用以上手续可得到一种通过猜测去计算能量近似值的方法
改善波函数通常是通过一个含连续参数的特殊形式的波函数φ(q
α1
α2
α3
...)来实现

南京大学1998年硕士研究生考试试题——量子力学

???(一) 20分 有半壁无限高势垒的一维阱 V?x???0?V?0x?00?x?a x?a在E?V0的情形下，该系统是否总存在一个束缚态？如果回答是否定的，那么系统中至少有一个束缚态的存在的充要条件是什么？

（二）20分 一个取向用角坐标?和?确定的转子，作受碍转动，用下述哈密顿量描述：

?2是角动量平方算符，??AL?2?B?2cos?2??，式中A和B均为常数，且A??B，LH试用一级微扰论计算系统的p能级（l?1）的分裂，并标出微扰后的零级近似波函数。 （三）20分求在一维无限深势阱中，处于?n?x?态时的粒子的动量分布几率?n?p? 。 （四）20分 试判断下列诸等式的正误，如果等式不能成立，试写出正确的结果： （1）e???i?p????i??x???pj?1i?22?e????xj?e ？式中i?和?j分别是x和y方向的单位矢量。

?x,p?xf?x??p?x??（2）?p?i?x??xf(x) ？式中pp'??i?x ，

??（3）系统的哈密顿算符为H??2p2?12???2p2????V?r? ，设?n?r?是归一化的束缚态波函数，则有：

?n?n??nr??V?r??n ？

《量子力学》题库

一、简答题

1 试写了德布罗意公式或德布罗意关系式，简述其物理意义 答：微观粒子的能量和动量分别表示为： E?h????

??h?p?n??k

?其物理意义是把微观粒子的波动性和粒子性联系起来。等式左边的能量和动量是描述粒

子性的；而等式右边的频率和波长则是描述波的特性的量。

2 简述玻恩关于波函数的统计解释，按这种解释，描写粒子的波是什么波？

答：波函数的统计解释是：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。按这种解释，描写粒子的波是几率波。

3 根据量子力学中波函数的几率解释，说明量子力学中的波函数与描述声波、光波等其它波动过程的波函数的区别。

答：根据量子力学中波函数的几率解释，因为粒子必定要在空间某一点出现，所以粒子在空间各点出现的几率总和为1，因而粒子在空间各点出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度而不决定于强度的绝对大小；因而将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，这是其他波动过程所没有的。

4 设描写粒子状态的函数?可以写成??c1?1?c2?2，其中c1和c2为复数，?1和?2为粒子的分别属于能量E1和E2的构成完备系的能量本征态。试说明式子??c1?1?c2?

一、 填空题

1．玻尔的量子化条件为 。 2．德布罗意关系为 。

3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为 。 4．波函数的统计解释：_____________________________________ __________________________________________________________ 5．

为归一化波函数，粒子在

方向、立体角

内出现的几率

为 ，在半径为 ，厚度为 为 。

的球壳内粒子出现的几率

6．波函数的标准条件为 。 7．

，

为单位矩阵，则算符

的本征值为__________。

8．自由粒子体系，__________守恒；中心力场中运动的粒子 ___________守恒。

9．力学量算符应满足的两个性质是 。 10．厄密算符的本征函数具有

河南科技大学物理工程学院教案（李同伟） 第四章 态和力学量的表象

第四章 态和力学量的表象

§4-1 状态的表象

一、表象

?具有断续谱，它满足的本征方程为 设力学量算符F?u(x)?fu(x) Fnnn?算符F具有一组正交归一完备的本征函数系?un(x)?。如果把?un(x)?作为一组基矢（或称为基底），则它们张开一个空间。由展开假设可知，对任意一个状态?(x,t)，则有

?(x,t)??cn(t)un(x)

n显然，?(x,t)就是该空间中的一个矢量，所以也称为态矢。因此，这个空间就称为态矢空间，也叫做希尔伯特空间。每一个物理上允许的波函数都是态矢空间中的一个元素，量子力学的所有活动都在这个空间内进行。

?的本征函数系?u(x)?作为基矢组，上面讨论的空间是以F所以称为F表象下的态矢空n间。?(x,t)的展开系数

*cn(t)??un(x)?(x,t)dx

???表示态矢?(x,t)在un(x)上的投影。

若波函数?(x,t)和un(x)都已经归一化，则

????***?*(x,t)?(x,t)dx??cmcn?umundx??cmcn?mn??cnmn??mnn?2?1