四个抛物线标准方程推导过程

篇一：抛物线定义及标准方程

一、 复习预习

复习双曲线的基本性质，标准方程以及方程的求法、应用

二、知识讲解

(一)导出课题

我们已学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线．今天我们将学习第四种圆锥曲线——抛物线，以及它的定义和标准方程．课题是“抛物线及其标准方程”．

请大家思考两个问题：

问题1：同学们对抛物线已有了哪些认识？

在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图象？

问题2：在二次函数中研究的抛物线有什么特征？

在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴是平行于y轴、开口向上或开口向下两种情形．

引导学生进一步思考：如果抛物线的对称轴不平行于y轴，那么就不能作为二次函数的图象来研究了．今天，我们突破函数研究中这个限制，从更一般意义上来研究抛物线．

(二)抛物线的定义

1．回顾

平面内与一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线，那么当e=1时，它又是什么曲线？

2．简单实验

如图2-29，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于A到直线l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F；用

第二章 圆锥曲线与方程

2.4.1 抛物线及其标准方程

生活中存在着各种形式的抛物线

我们对抛物线已有了哪些认识？

二次函数是开口向上或向下的抛物线。y

o

x

问题探究： 当|MF|=|MH| ,点M的轨迹是什么？

探 究 ？

H

M

·

C

·F

l

e=1

可以发现,点M随着H运动的过程中,始终|MF|=|MH|,即点M与点F和定直线l的距离相等.点M生成的轨迹是 曲线C的形状.(如图) 我们把这样的一条曲线叫做抛物线.

抛物线的定义:在平面内,与一个定点F 和一条定直线l(l不经过点F) 的距离相等的点的轨迹叫抛 物线. 点F叫抛物线的焦点,H

d M

·

C焦 点

·F

准线

l

直线l 叫抛物线的准线

e=1

d 为 M 到 l 的距离

想一想

如果点F在直线l上，满足条件的点的 轨迹是抛物线吗？

注：若F L,则满足到定点F和定直线L的距离相等的点的 轨迹是过点F且垂直于直线L的一条直线.

1.抛物线的定义 距离相等的 平面内与一个定点F和一条定直线l(不经过点F)_________ 焦点 ，直线l叫做 点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的_____ 准线 . 抛物线的_____ 试一试：在抛物线定义中，若去掉条件“l不经过点F”,点的 轨迹还

高二数学选修2-1,三维设计,三章全部。

2.4.1 抛物线及其标准方程

如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．

问题1：画出的曲线是什么形状？ 提示：抛物线

问题2：|DA|是点D到直线EF的距离吗？为什么？

提示：是．AB是直角三角形的一条直角边． 问题3：点D在移动过程中，满足什么条件？ 提示：|DA|＝|DC|.

抛物线的定义

平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点Fl.

平面直角坐标系中，有以下点和直线：A(1,0)，B(－1，0)，C(0,1)，D(0，－1)；l1：x＝－1，l2：x＝1，l3：y＝－1，l4：y＝1.

问题1：到定点A和定直线l1距离相等的点的轨迹方程是什么？ 提示：y2＝4x.

问题2：到定点B和定直线l2距离相等的点的轨迹方程是什么？ 提示：y2＝－4x.

问题3：到定点C和定直线l3，到定点D

和定直线l4距离相等的点的轨迹方程分别是什么？

提示：x2＝4y，x2＝－4y.

高二数学选修2-1,三维设计,三

抛物线的定义和标准方程

抛物线的定义和标准方程

教学目标：

1、使学生掌握抛物线的定义，开口向右的抛物线的标准方程的推导过程。进一步得出开口向左、向上、向下的抛物线的标准方程。

2、熟练掌握抛物线的四种标准方程及其所对应的开口方向、焦点坐标、准线方程之间的关系；

3、能根据已知条件熟练地求出抛物线的标准方程,进一步培养学生在解决数学问题时进行观察、类比、猜想、分析、计算的能力。 教学重点和难点：

重点：抛物线的定义；根据具体条件求出抛物线的标准方程；根据抛物线的标准方程求出焦点坐标、准线方程。

难点：抛物线的标准方程的推导。 教学过程： 一、复习提问：

1、已知轨迹条件，怎样建立轨迹方程？ （答：已知曲线，求方程的一般步骤如下：

（1）建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任一点M的坐标； （2）写出曲线上的点M所要适合的条件 ；

（3）用点M的坐标表示这个条件，得出方程f (x,y)=0; （4）把方程f (x,y)=0化简；

（5）证明化简后的方程就是所求的曲线方程。

如果方程化简的每一步都同解，那么最后一步证明可以省略。）

2、在平面内到一定点的距离和到一条定直线距离的比是常数e 的点的轨迹， 当e < 1时是什么图形？（椭圆） 当e > 1时是什么图形？

§2.4.1抛物线及其标准方程教案

高二数学组：万志强

一、教学目标

1.知识与技能目标：掌握抛物线的定义，掌握抛物线的四种标准方程形式，及其对应的焦点、准线。

2.过程与方法目标：掌握对抛物线标准方程的推导，进一步理解求曲线方程的方法——坐标法。通过本节课的学习，提高学生观察，类比，分析和概括的能力。

3.情感态度与价值观目标：通过本节的学习，让学生体验数学的美，体验研究解析几何的基本思想，感受圆锥曲线在刻画现实和解决实际问题中的作用，进一步体会数形结合的思想。

二、教学重点和难点

重点：抛物线的定义和标准方程．

难点：抛物线的标准方程的推导；抛物线定义及焦点、准线等知识的灵活运用。

三、教学方法

启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法

四、教具准备

多媒体

五、教学过程

1.引入：

（1）生活中的抛物线（图片及动画展示）；

（2）我们知道，到一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹，当常数e在（0，1）内变化时，轨迹是椭圆；当常数e大于1时，轨迹是双曲线；那么当常数e等于1时轨迹是什么曲线呢？这就是今天我们要学习的第三种圆锥曲线——抛物线，以及它的定义和标准方程. 2.抛物线的定义：

如图所示，把一块直尺固定在图上直

2.4.1抛物线及其标准方程

一、选择题

1．【题文】抛物线y?axA．?a,0?

2．【题文】抛物线y?2?a?0?的焦点坐标为（ ）

1?1???1??C．?0,D．,0?0,???

4a2a8a? ??? ??

B．?12x的准线方程是（） 4A．y?1 B．y??1 C．x??1 D．x?1

3．【题文】抛物线y?4x2的焦点坐标为（） A.?0,1? B.?1,0? C.?0,

4．【题文】顶点在原点，经过圆C:x2?y2?2x?22y?0的圆心，且准线与x轴垂直的抛物线方程为（）

A.y2??2x B.y2?2x C.y?2x2 D.y??2x2

5．【题文】已知点F是抛物线y2?4x的焦点，点P在该抛物线上，且点P的横坐标是2，则PF?（）

A．2 B．3 C．4 D．5

6．【题文】抛物线y?2px?p?0?上一点M?x0,8?到

抛物线的定义和标准方程

抛物线的定义和标准方程

教学目标：

1、使学生掌握抛物线的定义，开口向右的抛物线的标准方程的推导过程。进一步得出开口向左、向上、向下的抛物线的标准方程。

2、熟练掌握抛物线的四种标准方程及其所对应的开口方向、焦点坐标、准线方程之间的关系；

3、能根据已知条件熟练地求出抛物线的标准方程,进一步培养学生在解决数学问题时进行观察、类比、猜想、分析、计算的能力。 教学重点和难点：

重点：抛物线的定义；根据具体条件求出抛物线的标准方程；根据抛物线的标准方程求出焦点坐标、准线方程。

难点：抛物线的标准方程的推导。 教学过程： 一、复习提问：

1、已知轨迹条件，怎样建立轨迹方程？ （答：已知曲线，求方程的一般步骤如下：

（1）建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任一点M的坐标； （2）写出曲线上的点M所要适合的条件 ；

（3）用点M的坐标表示这个条件，得出方程f (x,y)=0; （4）把方程f (x,y)=0化简；

（5）证明化简后的方程就是所求的曲线方程。

如果方程化简的每一步都同解，那么最后一步证明可以省略。）

2、在平面内到一定点的距离和到一条定直线距离的比是常数e 的点的轨迹， 当e < 1时是什么图形？（椭圆） 当e > 1时是什么图形？

抛物线及其标准方程

《抛物线及其标准方程》教学过程设计 山东省青州第五中学 刘新燕 邮政编码262514 电话15064442608

邮箱chenyulianglxy@

教案名称 人教B版高中数学选修2—1第二章第四节《抛物线及其标准方程》（百度图片）/i?ct=503316480&z=&tn=baiduimagedetail&word=%C5%D7%CE%EF%CF%DF&in=1183&cl=2&lm=-1&st=&pn=10&rn=1&di=33471257715&ln=1991&fr=&fm=&fmq=1332143816125_R&ic=&s=&se=&sme=0&tab=&width=&height=&face=&is=&istype=#pn10&-1&di33471257715&objURLhttp%3A%2F%%2Fimgs%2F2009-03%2F367.jpg&fromURLhttp%3A%2F%%2Fnews%2F2009%2F322517.php&W450&H300&T7261&S82&TPjpg

2.4.1抛物线及其标准方程

2017．12.6 张军（安顺民族中学）

【教学目标】

1.知识及技能:了解抛物线的定义、几何图形，掌握掌握抛物线标准方程的四种形式，会求抛物线的

焦点坐标及准线方程

2．过程与方法:通过求抛物线标准方程，进一步领会和掌握解析几何的基本思想

3．情感、态度与价值观:感受抛物线是刻画现实世界中较多事物的曲线，以及其在解决实际问题中的

应用.

【重点难点】

重点：(1)抛物线的定义及焦点、准线；（2）抛物线的四种标准方程和P的几何意义 难点：在推导抛物线的标准方程的过程中，如何选择适当的坐标系

【学法指导】

以自学为主，教师引导为辅，并辅助以多媒体等教学用具.

【复习引入】

复习1：椭圆的第二定义的内容是：平面上到一个定点F的距离和它到一条定直线l的距离之比是一

个常数e（ ）的点的轨迹方程是椭圆. 复习2：双曲线的第二定义的内容是:平面上到一个定点F的距离和它到一条定直线l的距离之比是一

个常数e（ ）的点的轨迹方程是双曲线. 思考1：若这个比值 e=1，轨迹又如何呢？

【教学过程】

一． 提出问题：若动点M

尊敬的各位专家，领导，老师：

大家好，我是富锦三中数学教师康晓磊。刚才我们共同听取了**老师讲授的《抛物线及其标准方程》一课，下面由我对本节课进行评议，我将从教材分析、教学目标、教学方法、教学过程、教师教学基本功、教学效果六个方面进行评议。 一、教材分析

抛物线及其标准方程是新课标人教版高中数学选修2-1（1-1）第二章第四（三）节部分内容，是在学习了椭圆、双曲线之后进行学习的圆锥曲线。本节课，教师将导学案提前及时发给学生，学生在课前便能了解本节课的教学目标、重点、难点及教学内容，大大降低了授课难度。这种处理方式，充分体现了学生的主体地位，同时又能在课堂上节省时间，提高课堂效率。在重难点的处理上，教师结合导学案，通过小组合作探究活动突破难点，体现重点。以上的教材处理过程，体现出教师对教材的深刻理解，也诠释了用教材去教而不是教教材这一教学理念。

二、教学目标 （一）知识与技能

（1）掌握抛物线的定义、几何图形 （2）会推导抛物线的标准方程

（3）能够利用给定条件求抛物线的标准方程 （二）过程与方法 通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动，培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，并进一步感受坐标法及数形