幻方探究过程

幻方问题探究

桂林师范专科学校数学与计算机科学系 刘锡萍

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[摘 要]：本文探究了幻方的起源和各种构造方法，并论述了幻方的更完美对称性和一些不同形式的数阵及其简单应用。

[关键词]：河图，洛书，幻方，幻和，数阵。

幻方的起源

2

幻方是一种古老的流行的数学游戏。n阶幻方就是把整数1，2，3，?，n排列成n*n阵列，使得每行中的各数之和，每列中的各数之和以及两条主对角线中的各数之和都是同一个数Sn。数Sn称为n阶幻方的幻和。图1是几个幻方的例子：

n2(n2?1)在n阶幻方中所有整数之和是1+2+3+??+n=。n阶幻方的幻和

22

n(n2?1)Sn=，具体地说，3阶幻方的幻和S3=15，4阶幻方的幻和S4=34，5阶幻方的幻和

2S5=65，??。

幻方起源于何时何地？我国《易·系辞》中有这样的表述：“河出图，洛出书，圣人则（仿效）之。”（如图2）。相传，在远古时代，大禹带领百姓治理好波涛汹涌的水患之后，有一匹龙马从河中跃出，它背上的毛旋自然的组成一组花纹，叫做“河图”，在洛水边有一只神龟，龟背上有一些奇妙的斑点，称为“洛书”。（如图3） 河图、洛书被认为是上天用来启示人类智慧的天机所在，包含许多治理国家的大道理，并被作为辟

幻方的研究与调查结果报告

西工大附中 初一（24）班 刘雨璇 指导老师：路树军

幻方（Magic Square）是一种将数字安排在正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等的方法。

幻方，一种汉族传统游戏。旧时在官府、学堂多见。它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等。

幻方（OEIS中的数列A006052）的数目还没有得到解决。

1 种类 完全幻方 完全幻方指一个幻方行、列、主对角线及泛对角线各数之和均相等。 乘幻方 乘幻方指一个幻方行列、对角线各数乘积相等。 高次幻方 n阶幻方是由前n^2（n的2次方）个自然数组成的一个n阶方阵，其各行、各列及两条对角线所含的 n个数的和相等。例子：（三阶幻方，幻和为15，） 4 9 2 3 8 5 7 1 6 三阶幻方中间必填5 高次幻方是指，当组成幻方各数替换为其2，3,...,k次幂时，仍满足幻方条件者，称此幻方为k次幻方。 反幻方 反幻方的定义：

篇一：幻方教案

二年级（上）《幻方》教学设计与点评

设计： 嘉定区南苑小学 葛 懿

点评：嘉定区教师进修学院 居丽华

一、教学内容： 九年制义务教育课本二年级数学第一学期（试用本）

二、教学目标：

篇一：幻方教案

二年级（上）《幻方》教学设计与点评

设计： 嘉定区南苑小学 葛 懿

点评：嘉定区教师进修学院 居丽华

一、教学内容： 九年制义务教育课本二年级数学第一学期（试用本）

二、教学目标：

趣味数学,幻方,偶数一个N行N列的方阵,如果每行N个数的和、每列N个数的和,每条对角线上N个数的和全部都等于同一个数,就称这个方阵为N阶幻方阵(魔方阵)。

1234567891011121442314114067137136101113313

1415161718192021222324131311301617127126202112312224252627282930313233343536251191182829115114323311111036373839404142434445464748108383910510442431011004647974950515253545556575859609650519392545589885859856162636465666768697071726183826465797868697574727374757677787980818283847371707677676680816362848586878889909192939495966086875756909153529495499798991001011021031041051061071084898994544102103414010610

幻方和数阵图

幻方

在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。我国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”。

需要掌握的幻方填写方法主要有：

1、奇数阶幻方

n为奇数 (n=3，5，7，9，11……) (n=2×k+1，k=1，2，3，4，5……) 奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法)。填写方法是这样： 把1(或最小的数)放在第一行正中； 按以下规律排列剩下的n×n-1个数： (1)每一个数放在前一个数的右上一格；

(2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列； (3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；

(4)如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；

(5)如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。 这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。 口诀：

1居首行正中央,

依次右上莫相忘 上出格时往下放, 右出格时往左放. 排重便往自下放, 右上出格一个样

数阵图与幻方

知识集锦

数阵图是将一些数字按照一定要求排列而成的某些图形，数阵图可分为辐射型数阵图、封闭型数阵图和复合型数阵图三种形式。

幻方又叫魔方、九宫算或纵横图，它起源于我国上古时代，是一种具有奇妙性质的数字表格，在古代就有“河图”、“洛书”的传说。

在3×3的方格里，填上9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的3个自然数的和相等，这样的数字表格叫三阶幻方，相等的和叫做幻和。类似的还有四阶幻方、五阶幻方??

例题集合

例1 把3、4、5、6、7这五个数字分别填入下图的五个方格中，使横 行、竖列三个数的和都是14。

练习1 将5、6、7、8、9这五个数分别填入下图中，使横行、竖列三个数的和都是21。

例2 将11～17共七个数分别填入下图的圆圈内，使每条线段上的3个圆圈中的数之和都是40。

1 / 6

练习2 将1～13这十三个数分别填入下图的圆圈内，使每条线段上四个圆圈内的数字之和都是

47。

例3 把1、2、3、4、5、6填入下图的圆圈中，使每条边上三个数字的和都等于9。

练习3 如下图，在五个小圆圈内分别填上1、2、3、4、5这五个数，使每条直线上的三个数字

之和都相

科学探究过程技能》单元的设计与思考 苏教版小学《科学》教材编写组 科学是一种知识体系。它是以确切的事实为依据、提出能对事实加以合理诠释的“想法与理论”。这些想法及理论之间经逻辑思考，建立起协同一致的、不相互矛盾的、可以相互援引的知识体系。 某一知识是否被视为“科学”，不仅要从知识的确实性、一致性、逻辑性去考核，也可从获得知识的“过程与方法”上去检验。因此，如何去获得知识的“方法和过程”也常成为检验“此一知识是否为科学”的依据。科学教育一种重要的目标就是培养学生在科学探究过程中所需运用的各项技能；设想学生一旦拥有这些技能，便可凭借这些技能来探究周围的世界，并且所获得的知识也就能具有“科学”的特质。 基于以上的考虑，苏教版小学科学教材特别突出了科学探究过程技能方面的训练，并为此特别安排了一个序列，来系统地训练儿童科学探究能力。本文将系统地介绍苏教办小学科学教材的过程技能单元的编排思路及特色。 一、国际科学教育领域中对科学探究过程技能的研究 美国在六十年代兴起改进“科学教育”的热潮，美国科学促进会（AAAS：American Association for the Advancement of Science）自一九六一年开始考查及分析科学家进行科

科学探究过程技能》单元的设计与思考 苏教版小学《科学》教材编写组 科学是一种知识体系。它是以确切的事实为依据、提出能对事实加以合理诠释的“想法与理论”。这些想法及理论之间经逻辑思考，建立起协同一致的、不相互矛盾的、可以相互援引的知识体系。 某一知识是否被视为“科学”，不仅要从知识的确实性、一致性、逻辑性去考核，也可从获得知识的“过程与方法”上去检验。因此，如何去获得知识的“方法和过程”也常成为检验“此一知识是否为科学”的依据。科学教育一种重要的目标就是培养学生在科学探究过程中所需运用的各项技能；设想学生一旦拥有这些技能，便可凭借这些技能来探究周围的世界，并且所获得的知识也就能具有“科学”的特质。 基于以上的考虑，苏教版小学科学教材特别突出了科学探究过程技能方面的训练，并为此特别安排了一个序列，来系统地训练儿童科学探究能力。本文将系统地介绍苏教办小学科学教材的过程技能单元的编排思路及特色。 一、国际科学教育领域中对科学探究过程技能的研究 美国在六十年代兴起改进“科学教育”的热潮，美国科学促进会（AAAS：American Association for the Advancement of Science）自一九六一年开始考查及分析科学家进行科

数阵图与幻方

知识集锦

数阵图是将一些数字按照一定要求排列而成的某些图形，数阵图可分为辐射型数阵图、封闭型数阵图和复合型数阵图三种形式。

幻方又叫魔方、九宫算或纵横图，它起源于我国上古时代，是一种具有奇妙性质的数字表格，在古代就有“河图”、“洛书”的传说。

在3×3的方格里，填上9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的3个自然数的和相等，这样的数字表格叫三阶幻方，相等的和叫做幻和。类似的还有四阶幻方、五阶幻方??

例题集合

例1 把3、4、5、6、7这五个数字分别填入下图的五个方格中，使横 行、竖列三个数的和都是14。

练习1 将5、6、7、8、9这五个数分别填入下图中，使横行、竖列三个数的和都是21。

例2 将11～17共七个数分别填入下图的圆圈内，使每条线段上的3个圆圈中的数之和都是40。

1 / 6

练习2 将1～13这十三个数分别填入下图的圆圈内，使每条线段上四个圆圈内的数字之和都是

47。

例3 把1、2、3、4、5、6填入下图的圆圈中，使每条边上三个数字的和都等于9。

练习3 如下图，在五个小圆圈内分别填上1、2、3、4、5这五个数，使每条直线上的三个数字

之和都相