二次函数大题经典例题及答案

二次函数最值问题 专题 第 4 讲

一、兴趣导入（Topic-in）: 二、学前测试(Testing):

重点梳理： 1、二次函数一般形式为：y?ax2?bx?c (a?0) 顶点式为： 。 2、结合二次函数y?ax2?bx?c (a?0)的图像可知： 当x满足 时，y随着x的增大而增大； 当x满足 时，y随着x的增大而减小。

3、数形结合讨论最值问题， 1）在X取任意实数时有： ?当a?0时，图像开口 ，函数在x?处取得最小值为，无最大值；

?当a?0时，图像开口 ，函数在x?处取得最大值为，无最小值．

2）函数中m?x?n时有： ?当a?0时，数形结合分类讨论函数的最值问题： 1）当m??

最大值为 。 2）当?

最大值为 。 3）当n??

最大值为

二次函数经典解答题

1．如图，抛物线y＝ax2+bx的对称轴为y 轴，且经过点（，），P为抛物线上一点，A （0，）．

（1）求抛物线解析式；

（2）Q为直线AP上一点，且满足AQ＝2AP．当P运动时，Q在某个函数图象上运动，试写出Q点所在函数的解析式；

（3）如图2，以P A为半径作⊙P与x轴分别交于M（x1，0），N（x2，0）（x1＜x2）两点，当△AMN为等腰三角形时，求点P的横坐标．

【分析】（1）抛物线y＝ax2+bx的对称轴为y轴，则b＝0，将点（，），代入y＝ax2，即可求解；

（2）分点Q在点P下方（点Q位置）、点Q在点P上方（点Q′位置），两种情况分别求解；

（3）分AM＝AN、AM＝MN、AN＝MN，三种情况分别求解．

【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx的对称轴为y轴，则b＝0，

将点（，），代入y＝ax2并解得：a ＝，

故抛物线的表达式为：y ＝x2；

（2）设点Q的坐标为（x，y），点P（m ，m2），

①当点Q在点P下方时（点Q位置），

∵AQ＝2AP，

∴P为AQ的中点，

第1 页共3 页

由中点公式得：m ＝x ，m2＝，

整理得：y ＝x2﹣；

②当点Q在点P上方时（点Q′位置），

同理可得：y ＝﹣x2+；

Q点所在函数的解析式为：y ＝

二次函数综合训练

1、如图，抛物线

y x bx c与x轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点，

2

（1）求该抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在 点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请 说明理由.

2、（2009年兰州）如图17，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米. 现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系.

(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标； (2)求这条抛物线的解析式；

(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD- DC- CB， 使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上， 则这个“支撑架”总长的最大值是多少？

34

54

3、如图，直线

y x 6

分别与x轴、y轴交于A、B两点，直线

y x

与AB交于点

C，与过点A且平行于y轴的直线交于点D．点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿X轴向左运动．过点E作x轴的垂线，分别交直线AB、OD于P、Q两点，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ACD重叠部分（阴影部分）的面积为S（平方单位）．点E的运动时间为t（秒）．

（1）求点C的坐标．（1分）

（2）当0

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1．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．（1）求抛物线的解析式；

（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17，若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；

2．已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P（1，1）为圆心的⊙P与x轴、y轴分别相切于点M和点N，点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连接PF，过点P作PE⊥PF交y轴于点E，设点F 运动的时间是t秒（t＞0）

（1）若点E在y轴的负半轴上（如图所示），求证：PE=PF；

（2）在点F运动过程中，设OE=a，OF=b，试用含a的代数式表示b；

（3）作点F关于点M的对称点F′，经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连接QE．在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

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1 中考数学有关二次函数大题含答案

1、（2007天津市）知一抛物线与x 轴的交点是)0,2(-A 、B （1，0），且经过点C （2，8）。 （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点坐标。

2、（2007贵州省贵阳）二次函数

2

(0)y ax bx c a =++≠的图象如 图1所示，根据图象解答下列问题：

（1）写出方程2

0ax bx c ++=的两个根．（2分） （2）写出不等式2

0ax bx c ++>的解集．（2分）

（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围．（2分）

（4）若方程2

ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取

值范围（4分

图1

x

y

3

3 2 2 1

1 4 1- 1- 2-

O x

y

O

3

－

9

－

1 －

1

A

B

图2

2

3、（2007河北省）如图2，已知二次函数24y ax

x c =-+的图像经过点

A 和点

B ．

（1）求该二次函数的表达式；

（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；

（3）点P （m ，m ）与点Q 均在该函数图像上（其中m ＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m 的值及点Q 到x 轴的距离．

4、（2008?茂名）如图3，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x 2+bx+c 经过A （0

幂函数的概念

例1、下列结论中，正确的是( ) A．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1) B．幂函数的图象可以出现在第四象限

1

C．当幂指数α取1,3，2时，幂函数y＝xα是增函数

D．当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数

解析 当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不通过原点，故选项A不正确；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα (α∈R)，y>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B不正确；而当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但它在定义域上不是减函数．

答案 C

1

例2、已知幂函数f(x)＝(t3－t＋1)x5(7＋3t－2t2) (t∈Z)是偶函数且在(0，＋∞)上为增函数，求实数t的值．

p

分析 关于幂函数y＝xα (α∈R，α≠0)的奇偶性问题，设q (|p|、|q|互质)，

pp

当q为偶数时，p必为奇数，y＝xq是非奇非偶函数；当q是奇数时，y＝xq的奇偶性与p的值相对应．

解 ∵f(x)是幂函数，∴t3－t＋1＝1， ∴t＝－1,1或0.

7

当t＝0时，f(x)＝x5是奇函数；

2

当t＝－1时，f(x)＝x5是偶函数；

828

当t＝1时，f

二次函数压轴题精讲

1．二次函数综合题

（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．

（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用

将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题

从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．

第1页（共90页）

例1. 已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交

点分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C．

（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P

二次函数压轴题精讲

1．二次函数综合题

（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．

（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用

将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题

从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．

第1页（共90页）

例1. 已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交

点分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C．

（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P

二次函数图像性质

1、二次函数y?ax?bx?c的图像如图所示，OA＝OC，则下列结论： ①abc＜0；②4ac?b2；③ac?b??1； ④2a?b?0；⑤OA?OB??y2c； aA-2⑥4a?2b?c?0。其中正确的有（ ） A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

2、抛物线y=ax2+bx+c的图象如图，OA=OC，则（ ） （A） ac+1=b; （B） ab+1=c; （C）bc+1=a; （D）以上都不是

O1CBx第1题图 y C A O x 3，已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图2所示，给出以下结论：① a+b+c＜0；② a－b+c＜0；③ b+2a＜0；④ abc＞0 .其中所有正确结论的序号是（ ）

A. ③④ B. ②③ C. ①④ D. ①②③

y

O -11x

图2

4．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的一部分；图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1，

给出四个结论：①b2＞4ac；②2a＋b＝0；③a－b＋c＝0；④5a＜b．其中正确的是________________．(填序号)

5．y＝a

二次函数压轴题精讲

1．二次函数综合题

（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．

（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用

将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题

从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．

第1页（共90页）

例1. 已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交

点分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C．

（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P