数列求和导学案

高三一轮数列导学案

2015考生

刘 1

高考递推数列求通项 1.累加法(逐差相加法)

例1:已知数列?an?满足a1?

2.累乘法(逐商相乘法) 例2:已知数列?an?满足a1?

例3:已知a1?3，an?1?

变式（:2004，全国I,理15．）已知数列{an}，满足a1=1，an?a1?2a2?3a3?????(n?1)an?1

(n≥2)，则{an}的通项an??11，an?1?an?2，求an。 2n?n2nan，求an。 ，an?1?3n?13n?1an (n?1)，求an 3n?2n?1?1

n?2___?类型3 an?1?pan?q（其中p，q均为常数，(pq(p?1)?0)）。构造等比数列

例4:已知数列?an?中，a1?1，an?1?2an?3，求an.

变式:

在数列?an?中，若a1?1,an?1?2an?3(n?1)，则该数列的通项an?_______________

类型4 an?1?pan?q（其中p，q均为常数，(pq(p?1)(q?1)?0)）。 （或

nan?1?pan?rqn,其中p，q, r均为常数） 。

解法：一般地，

高三一轮复习惯成自然 努力造就实力，态度决定高度。

一轮复习——数列求和

编号201231——036 【课前导学】

【考纲要求】：

1．熟练掌握和应用等差、等比数列的前n项和公式．

2．熟练掌握常考的错位相减法，裂项相消以及分组求和这些基本方法，注意计算的准确性和方法选择的灵活性．

【基础部分,我落实】

一、预备知识

1.等差数列的前n项和公式： ． 2.等比数列的前n项和公式： ． 3.常用的分式变形：

我的问题

数列及其数列求和

数

学

数列及其数列求和

专题1：数列及其数列求和

解读考纲

（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义．了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．

（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题．

（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的问题．

重点、考点精读与点拨

一、基本知识

1．定义：

(1) .数列：按一定次序排序的一列数

(2) 等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列叫做等差数列

(3) 等比数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一

个常数，则这个数列叫做等比数列

2． 通项公式与前n项和公式

{an}为等差数列： an a1 (n 1)d

{bn}为等比数列：

Sn na1

n(a1 an)n(n 1)d 22

bn b1q

n 1

(q 1)

a1(1 qn)a1 anq

（q 1) Sn

1 q1 q

3． 常用性质

{an}为等差数列，则有

数列及其数列求和

（1） 从第二项起，每项是前一项与后一项的等差中项，an （2） an am (n m)d

an 1 an 1

（n

教学设计

《数列求和》教学设计

四川省金堂中学校 杨 聪

【课例解析】

1、 教材的地位和作用

本节课是人教A版《数学（必修5）》第2章数列学完基础知识后的一节针对数列求和方法的解题课。通过本节课的教学让学生感受倒序相加、裂项相消、错位相减等求和法在数列求和中的魅力，并把培养学生的建构意识和合作、探究意识作为教学目标。

2、 学情分析

在此之前，学生学习了数列的一般概念，又对等差、等比数列从定义、通项、性质、求和等方面进行了深入的研究。在研究过程中，数列求和问题重点学习了通过转化为等差、等比数列求和的方法，在推导等差、等比数列求和公式时分别用到了倒序相加法、错位相减法，本节课在此基础上进一步对上述数列求和方法做深入的研究、应用。本节课的内容和方法正处于学生的认知水平和知识结构的最近发展区，学生能较好地完成本节课的教学任务。

【方法阐释】

本节课的教学采用 “学力课堂”模式，分为“自学、互学、展学、导学、练学”五个教学环节，五个环节并不是简单的顺次递进，而是有机的相互融合。

本节课从学生回顾等差数列、等比数列求和公式推导过程中用到的倒序相加、错位相减求和法引入，从自主探究题组及问题探究入手展开教学，引导学生自主发现几种常见求和法，并很快进入深层次思维状态。接下

§6.4 数列求和

（时间：45分钟 满分：100分）

一、选择题(每小题7分，共35分)

1*

1．在等比数列{an} (n∈N)中，若a1＝1，a4＝，则该数列的前10项和为( )

8

11

A．2－8 B．2－9 2211

C．2－10 D．2－11

222．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为( )

A．2＋n－1 C．2n＋1＋n2－2

n2

B．2

n＋1

＋n－1

2

D．2n＋n－2

3．已知等比数列{an}的各项均为不等于1的正数，数列{bn}满足bn＝lg an，b3＝18，b6＝12，则数列{bn}的前n项和的最大值等于( ) A．126

B．130

C．132

D．134

4．数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S100等于( )

A．200

B．－200 C．400

D．－400

5．数列1·n,2(n－1),3(n－2)，…，n·1的和为( )

1

A.n(n＋1)(n＋2) 61

C.n(n＋2)(n＋3) 3

1

B.n(n＋1)(2n＋1) 61

D.n(n＋1)(n＋2) 3

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Shandong Xueda Information Technology Co., Ltd.

数列裂项求和

一.裂项求和基本问题

1.求和：)

1(1541431321211+++?+?+?+?=n n S n 1

111)111()5141()4131()3121()211(+=+-=+-++-+-+-+-=n n n n n S n 。 2.求和：)12)(12(1971751531311+-++?+?+?+?=

n n S n 1

2)1211(21)121121(21)7151(21)5131(21)311(21+=+-=+--++-+-+-=n n n n n S n 3.求和：)13)(23(11071741411+-++?+?+?=

n n S n 。 )1

31231(31)10171(31)7141(31)411(31+--++-+-+-=n n S n 1

3)1311(31+=+-=n n n 。 4.求和：)2(1641531421311+++?+?+?+?=

n n S n 。 )1

111(21)6141(21)5131(21)4121(21)311(21+--++-+-

数列求和及综合应用

解答题

1. (2014·湖北高考文科·T19)已知等差数列{an}满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式.

(2)记Sn为数列{an}的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn>60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由. 【解题指南】(1)由2,2+d,2+4d成等比数列可求得公差d,从而根据通项公式表示出数列{an}的通项. (2)根据{an}的通项公式表示出{an}的前n项和公式Sn,令Sn>60n+800,解此不等式. 【解析】(1)设数列{an}的公差为d,依题意,2,2+d,2+4d成等比数列,故有(2+d)=2(2+4d),

2

化简得d-4d=0,

2

解得d=0或d=4. 当d=0时,an=2;

当d=4时,an=2+(n-1)·4=4n-2,

从而得数列{an}的通项公式为an=2或an=4n-2. (2)当an=2时,Sn=2n. 显然2n<60n+800,

此时不存在正整数n,使得Sn>60n+800成立. 当an=4n-2时,Sn=

2

n[2?(4n?2)]2

=2n.

22

令2n>60n+800,即n-30n-400>0, 解得n>40或n<-10(舍去),

此时存在正整数n,使得Sn>60

数列求和及综合应用

解答题

1. (2014·湖北高考文科·T19)已知等差数列{an}满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式.

(2)记Sn为数列{an}的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn>60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由. 【解题指南】(1)由2,2+d,2+4d成等比数列可求得公差d,从而根据通项公式表示出数列{an}的通项. (2)根据{an}的通项公式表示出{an}的前n项和公式Sn,令Sn>60n+800,解此不等式. 【解析】(1)设数列{an}的公差为d,依题意,2,2+d,2+4d成等比数列,故有(2+d)=2(2+4d),

2

化简得d-4d=0,

2

解得d=0或d=4. 当d=0时,an=2;

当d=4时,an=2+(n-1)·4=4n-2,

从而得数列{an}的通项公式为an=2或an=4n-2. (2)当an=2时,Sn=2n. 显然2n<60n+800,

此时不存在正整数n,使得Sn>60n+800成立. 当an=4n-2时,Sn=

2

n[2?(4n?2)]2

=2n.

22

令2n>60n+800,即n-30n-400>0, 解得n>40或n<-10(舍去),

此时存在正整数n,使得Sn>60

观察,归纳,总结! 观察,归纳,总结! 观察,归纳,总结! 观察,归纳,总结!

1 数列的通项公式

教学目标:使学生掌握求数列通项公式的常用方法. 教学重点:运用叠加法、叠乘法、构造成等差或等比数列及运用1(2)n n S S n -=-≥n 公式a 求数列的通项公式. 教学难点:构造成等差或等比数列及运用

1(2)n n S S n -=-≥n 公式a 求数列的通项公式的方法. 教学时数:2课时.

教 法:讨论、讲练结合.

第一课时

一．常用方法与技巧：

（1）灵活运用函数性质，因为数列是特殊的函数.

（2）运用好公式： 1

1(1)(2)n n n S n a S S n -=?=?-≥?

快速练习:

1.写出下面数列通项公式（记住）：

1,2,3,4,5,… =

n a ______________.

1,1,1,1,1,… =

n a ______________.

1,-1,1,-1,1,… =

n a ______________.

-1,1,-1,1,-1,… =

n a ______________

数列求和及其综合应用

1. 掌握数列的求和方法(1) 直接利用等差、等比数列求和公式；(2) 通过适当变形(构造)将未知数列转化为等差、等比数列，再用公式求和；(3) 根据数列特征，采用累加、累乘、错位相减、逆序相加等方法求和；(4) 通过分组、拆项、裂项等手段分别求和；(5) 在证明有关数列和的不等式时要能用放缩的思想来解题(如n(n－1)

2. 数列是特殊的函数，这部分内容中蕴含的数学思想方法有：函数与方程思想、分类讨论思想、化归转化思想、数形结合思想等，高考题中所涉及的知识综合性很强，既有较繁的运算又有一定的技巧，在解题时要注意从整体去把握．

－

1、 若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n1·(3n－2)，则a1＋a2＋?＋a10＝________.

An7n＋5a72.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则＝________

Bnn＋3b7

a2n＋1

3.若数列{an}满足2＝p(p为正常数，n∈N*)，则称{an}为“等方比数列”．则“数列{an}

an是等方比数列”是“数列{an}是等比数列”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)

4.已知函数