指数为虚数的指数函数

指数与指数函数

要点梳理1. 根式的概念根式的概念

忆一忆知识要点

符号表示

备注

如果xn=a,那么 x 叫做 a 的n次方根. n为奇数时,正数的奇 次方根是正数;负数的奇次 方根是负数. n为偶数时,正数的偶 次方根有两个且互为相反 数.n

n>1,且 n∈N*.

a

零的n次方根是零

n a (a 0) 负数没有偶次方根

要点梳理2. 两个重要公式

忆一忆知识要点

公式 (1) ( a ) a.n n

适用范围: ①当n为大于1的奇数时, a∈R.

②当n为大于1的偶数时, a≥0.公式 (2)n

a , n 2k 1, k N , a = | a |, n 2k , k N .

n

要点梳理3. 幂的有关概念 幂指数 正整数 指数

忆一忆知识要点

a a a a n

定义

条件

零指数 负整数 指数 正分数 指数 负分数 指数

a 10

n个a

n N ,a R

a 0n N ,a 0 m

a 1n a n

aa m n

m n

n

an

a>0,m,n N*,n>1a>0,m,n N*,n>1

1 m an

1 am

规定: 0的正分数指数幂为0, 0的负分数指数幂没有

4.2.1 指数函数及其图像与性质

【教学目标】 1.知识与技能目标：

使学生理解指数函数的定义、图象及性质，培养学生正确使用几何画板工具。 2.过程与方法目标：

在实验活动过程中引领学生主动探索指数函数性质，启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思 维活动，培养学生的思维能力，体会学习数学规律的方法。 3.情感态度与价值观：

让学生感受数学问题探索的乐趣，体验成功的喜悦，体会辨证的思维及数学图形的和谐美。

【教学重、难点】

教学重点：理解指数函数的定义、图象及性质。 教学难点：指数函数性质的归纳与运用。

【教学方法】

我校汽修专业的学生数学基础比较薄弱，学生对数学普遍不感兴趣。本节课概念性比较强，而且突出数学图形的运用，这恰是学生学习的弱项，但是思想比较活跃的他们对新事物具有强烈的好奇心，动手能力、观察能力比较强。因此本节课主要采用数学实验教学活动的方法，通过结合计算机软件工具，让学生在实验活动过程中来去体验、感悟知识，让学习成为一种愉悦的主动认知过程，切实做到将数学课堂还给学生。

【教学过程】 1.流程 （1）教学流程：

创设情境 激发兴趣引出新知 形成概念深入探究 引导发现巩固提高 灵活运用归纳总结 新知梳理分层作业共同提高

第五讲 指数运算和指数函数

一、知识点

1.根式的性质

nan?

2.幂的有关概念

(1)正整数指数幂：an?a??a??a.............a(n?N?) ?????n?p(2)零指数幂a?1(a?0) (3)负整数指数幂 a?01(a?0.p?N?) pa(4)正分数指数幂 amn?nam(a?0,m,n?N?,且n?1)

mn(5)负分数指数幂 a??1amn(a?0,m,n?N?,且n?1)

(6)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义 3.有理指数幂的运算性质 (1)a?a?arrrsr?s,(a?0,r,s?Q) (2)(ar)s?ars,(a?0,r,s?Q)

s (3)(ab)?a?a,(a?0,b?0,r?Q)

4．指数函数定义：函数y?a(a?0且a?1)叫做指数函数。 5. 指数函数的图象和性质

xy?ax 0 < a < 1 a > 1 图 象 定义域 性 质 值域 定点 单调性 对称性 y?ax和y?a?x关于 对称

1．函数y?(x?5)0?(x?2)

?12

（ ）

A．{x|x?5,x?2}

§2.4 指数与指数函数

(时间：45分钟 满分：100分)

一、选择题(每小题7分，共35分)

1．下列等式3

6a 3＝2a ；3－2＝6(－2)2；－342＝4(－3)4×2中一定成立的有( )

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

2．把函数y ＝f (x )的图象向左、向下分别平移2个单位长度得到函数y ＝2x 的图象，则( )

A ．f (x )＝2x ＋

2＋2

B ．f (x )＝2x ＋

2－2

C ．f (x )＝2x －2＋2

D ．f (x )＝2x －

2－2

3．函数y ＝a |x |(a >1)的图象是( )

4.函数f (x )＝a x

－b

的图象如图所示，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的 是

( )

A ．a >1，b <0

B ．a >1，b >0

C ．00

D ．0

5．设232

555

322(),(),()555

a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系是 ( )

A ．a >c >b

B ．a >b >c

C ．c >a >b

D ．b >c >a

二、填空题(每小题6分，共24分)

6．已知函数f (x )＝|2x －1|，a f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是________． ①

§2.4指数与指数函数

基础自测

1. 已知a＜，则化简的结果是 . 答案

2.设指数函数f(x)=ax(a＞0且a≠1)，则下列等式正确的有 （填序号）. ①f(x+y)=f(x)·f(y) ②f(xy)n=f n(x)·f n(y)

③f(x-y)= ④f(nx)=f n(x) 答案 ①③④

3.函数f(x)=ax-b的图象如图所示，其中a、b为常数，则下列结论不正确的有 （填序号）.

①a＞1,b＜0 ②a＞1,b＞0 ③0＜a＜1,b＞0 ④0＜a＜1,b＜0 答案 ①②③

4.关于函数f(x)=2x-2-x(x∈R)，有下列三个结论： ①f(x)的值域为R；

②f(x)是R上的增函数；

③对任意x∈R,有f(-x)+f(x)=0成立.

指数与指数函数

（一）指数

3

1、化简［3( 5)2］4的结果为 （ B ）

A．5 B．5 C．－ D．－5

2、将 22化为分数指数幂的形式为（ A ）

1115

A． 22 B． 23 C． 2 2 D． 26

3、化简ab2 a3b2

11(a, b为正数)的结果是（ C ）

b (a6b2)4

A．b

a B．ab C．a

b D．a2b

（二）指数函数

一、指数函数的定义问题

1 若f(52x 1) x 2，则f(125) 。0

2 已知指数函数图像经过点p( 1,3)，则f(3) 1

27

二、指数函数的图像问题

1、若函数y ax (b 1)(a 0,a 1)的图像经过第一、三、四象限，则一定有（ A ）

A．a 1且b 0 B．0 a 1且b 0

C．0 a 1且b 0 D．a 1且b 1

2、方程2|x|+x=2的实根的个数为___2____

3、直线y 3a与函数y ax (a 0且a 1)的图像有两个公共点，则a的取值范围是________ (0,1

3)

4 若 1 x 0，则下列不等式中成立的是（ B ）

xxxx

A.5 x

指数函数教材分析 一

指数函数是在学生系统地学习了函数概念及性质，掌握了指数与指数幂的运算性质的基础上展开研究的。作为重要的基本初等函数之一，指数函数是高中所研究的第一种函数，也为今后研究其他函数提供了方法和模式，为后续的学习奠定基础。指数函数在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此要重点研究。 基本 初等 函数 对数函数 幂函数 函数的性质 三角函数 函数的图像 指数函数 函数的概念 一次、二次函数

二、教材内部知识结构分析

1、知识点：

指数函数概念：一般地，函数y?ax（a?0,a?1,x?R）叫做指数函数

（书中有一类特殊的指数函数，限制函数，只做了解不需要掌握）

1指数函数图像：y?2,y? 利用描点法作图

2xx指数函数性质：

①定义域是实数集②函数图像在

R，对任意实数x,都有y?0，即值域是?0,??

x轴的上方且都通过点?0,1?

③当a?1时，这个函数是增函数；当0?a?1时，这个函数是增函数

2.内部知识结构： 定义 引例 一般地，函数y?ax（a?0,a?1,x?R）叫做指

一．指数函数

1.y=a^x：

（1）指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0且不等于1。 （2）指数函数的值域为大于0的实数集合。 （3） 函数图形都是下凹的。

（4） a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递减的。 （5） 函数总是通过（0，1）这点。

（6） 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。

二．对数与对数函数

（一）对数： 1.零和负数没有对数 2.三个对数恒等式

3.三个运算法则:(在a>0，a≠1的前提下)

1

(1) (2) (3)

4.两个换底公式

同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下： (1) (2)

练习：1.解出下列的x 2.求下列函数的定义域：

(2)log3(x-1)=log9(x+5).

3.已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，求4.求值:(1)

（二）对数函数的性质及应用

。 (2)

2

练习：

1. 若logm3.5>logn3.5(m，n>0，且m≠1，n≠1)，试比较m ，n的大小。

(-x2+2x+3)的值域和单调区间。

2. 求函数y=

3.已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1)。

(1)若函数f(x)的定义域为

【师说 高中全程复习构想】（新课标） 高考数学 1.7 指数与指数

函数练习

一、选择题

1．(2014·聊城统考)若lga＋lgb＝0(其中a≠1，b≠1)，则函数f(x)＝ax与g(x)＝bx的图象( )

A．关于直线y＝x对称 B．关于x轴对称 C．关于y轴对称 D．关于原点对称

解析：由lga＋lgb＝0可知lgab＝0，即ab＝1，所以f(x)＝ax，g(x)＝a－x.若点(x，y)在f(x)＝ax的图象上，则点(－x，y)在函数g(x)＝a－x的图象上，即两函数图象关于y轴对称． 答案：C 2．(2014·江西联考)已知函数f1(x)＝ax，f2(x)＝xa，f3(x)＝logax(其中a＞0，且a≠1)，在同一坐标系中画出其中的两个函数在第一象限内的图象，正确的是( )

A B C

D

解析：不论a＞1还是0＜a＜1，三个函数的单调性应该是一致的，而在A、C、D中的两个函数的单调性显然不一致． 答案：B

1?1??1?

3．(2014·中山一模)设＜??b＜??a＜1，那么( )

5?5??5?A．aa＜bb＜ba B．aa＜ba＜ab C．ab＜ba＜aa D．ab＜aa＜ba

1?1??1?解析：∵＜

指数与指数函数

（一）指数

3

1、化简［3( 5)2］4的结果为 （ B ）

A．5 B．5 C．－ D．－5

2、将 22化为分数指数幂的形式为（ A ）

1115

A． 22 B． 23 C． 2 2 D． 26

3、化简ab2 a3b2

11(a, b为正数)的结果是（ C ）

b (a6b2)4

A．b

a B．ab C．a

b D．a2b

（二）指数函数

一、指数函数的定义问题

1 若f(52x 1) x 2，则f(125) 。0

2 已知指数函数图像经过点p( 1,3)，则f(3) 1

27

二、指数函数的图像问题

1、若函数y ax (b 1)(a 0,a 1)的图像经过第一、三、四象限，则一定有（ A ）

A．a 1且b 0 B．0 a 1且b 0

C．0 a 1且b 0 D．a 1且b 1

2、方程2|x|+x=2的实根的个数为___2____

3、直线y 3a与函数y ax (a 0且a 1)的图像有两个公共点，则a的取值范围是________ (0,1

3)

4 若 1 x 0，则下列不等式中成立的是（ B ）

xxxx

A.5 x