简单迭代法的matlab编程

雅可比迭代法：

function x=jacobi(a,b,p,delta,n)

%a为n维非奇异矩阵；b为n维值向量

%p为初值；delta为误差界；n为给定的迭代最高次数 N=length（b）; for k=1:n

for j=1：N

x(j)=(b(j)-a(j,[1:j-1,j+1:N])*p([1:j-1,j+1:N]))/a(j,j); end

err=abs(norm(x’-p)); p=x’;

if(err

p %显示迭代过程 x=x’； k,err

高斯塞德尔法迭代：

function x=saidel(a,b,p,delta,n)

%a为n维非奇异矩阵；b为n维值向量

%p为初值；delta为误差界；n为给定的迭代最高次数 N=length（b）; for k=1:n

for j=1：N if j==1

x(1)=(b(1)-a(1,2:N)*p(2:N))/a(1,1); else if j=N

x(N)=(b(N)-a(N,1:N-1)*(x(1:N-1))’)/a(N,N); else

x(j)=(b(j)-a(j,(1:j-1)*x(1:j-1）-a

1. jacobi迭代法解方程组的MATLAB程序

function x=jacobi(a,b,x0,m)%a:系数矩阵 b:等号右边矩阵 x0:迭代初值 m:迭代次数 x_temp=x0; for k=1:m

for i=1:length(b) sum=0; for j=1:length(b) if(j~=i)

sum=sum+a(i,j)*x_temp(j); end end

x(i)=-(sum-b(i))/a(i,i); end x_temp=x; end 2.

gauss-seidel迭代法解方程组的MATLAB程序

function x=gaussseidel(a,b,x0,m) x=x0; for k=1:m

for i=1:length(b) sum=0; for j=1:length(b) if(j~=i)

sum=sum+a(i,j)*x(j);

1. jacobi迭代法解方程组的MATLAB程序

function x=jacobi(a,b,x0,m)%a:系数矩阵 b:等号右边矩阵 x0:迭代初值 m:迭代次数 x_temp=x0; for k=1:m

for i=1:length(b) sum=0; for j=1:length(b) if(j~=i)

sum=sum+a(i,j)*x_temp(j); end end

x(i)=-(sum-b(i))/a(i,i); end x_temp=x; end 2.

gauss-seidel迭代法解方程组的MATLAB程序

function x=gaussseidel(a,b,x0,m) x=x0; for k=1:m

for i=1:length(b) sum=0; for j=1:length(b) if(j~=i)

sum=sum+a(i,j)*x(j);

第八章 解线性方程组的迭代法习题参考答案

1. 设方程组

(a) 考察用雅可比迭代法,高斯-塞德尔迭代法解此方程组的收敛性; (b) 用雅可比迭代法,高斯-塞德尔迭代法解此方程组,要求当||x终止． (k 1) 5x1 2x2 x3 12 x1 4x2 2x3 20 2x 3x 10x 323 1 x(k)|| 10 4时迭代

1. (a) Jacobi迭代矩阵

0.40.2 0 B D 1(L U) 0.2500.5 0.2 0.30

3特征方程为 | I B| 0.21 0.055 0

特征根均小于1，Jacobi迭代法收敛。

Gauss-Seidel迭代矩阵

00.40.2 G (D L) 1U 00.40.7 00.040.17

32| I G| 0.57 0.09 6 0 特征方程为

特征根均小于1，Gauss-Seidel迭代法收敛。 (b) Jacobi迭代格式为

X(k 1) BX(k) f1

1T其中B如上，f1 Db ( 1.250.3)，

迭代18次得

， X 3.99999642.99997391.9999999

Gauss-Seidel迭代格式为 T

X(k 1) GX(k) f2

1

西 安 邮 电 大 学

（计算机学院）

课内实验报告

实验名称 用迭代法解方程

专业名称： 计算机科学与技术 班 级： 学生姓名： 学号（8位） 指导教师：

实验日期： 2013年11月

一. 实验目的及实验环境

实验目的：编写程序，比较两种迭代法的优劣。 在MATLAB数学软件下求解 二. 实验内容

求下列方程的实根

(1) x^2-3x+2-e^x=0; (2) x^3+2x^2+10x-20=0.

要求：(1)设计一种不动点迭代法，要使迭代序列收敛，然后再用斯特芬森加速迭代，计算到|x(k)-x(k-1)|<10^(-8)为止。(2)用牛顿迭代，同样计算到|x(k)-x(k-1)|<10^(-8)。输出迭代初值及各次迭代值和迭代次数k，比较方法的优劣。 三．方案设计

1.在Matlab中直接求解

2.采用不动点迭代法、斯特芬森加速迭代和牛顿迭代法实现并比较优劣。 四．测试数据及运行结果

（1）先用画图的方法估计根的范围 ezplot('x^2-3*x+2-exp(x)'); grid on;

x2-3 x+2-exp(x)500-50-100-150-200-6-4-20x246

可以估计到方程的根在区间（0,1）;选取迭代初值为x0=0.5； 构造不动点迭代公式x(k+1)=( x(k)^2

实验二：迭代法、初始值与收敛性

一：实验要求

考虑一个简单的代数方程

x2 x 1 0,

针对上述方程，可以构造多种迭代法，

如xn 1 xn 1,xn 1 1

2

1xn

,xn 1 在实

轴上取初值，分别用以上迭代做实验，记录各算法的迭代过程。

二：实验要求及实验结果

（1） 取定某个初始值，按如上迭代格式进行计算，它们的收敛性如何？重复选取不同放

入初始值，反复实验。请读者自行设计一种比较形象的记录方式（如何利用Matlab的图形功能），分析三种迭代法的收敛性与初值的选取关系。

（2） 对三个迭代法中的某一个，取不同的初值进行迭代，结果如何？试分析对不同的初

值是否有差异？

实验内容：

ⅰ）对xn 1 xn 1进行迭代运算，选取迭代次数n=20；分别选择初值-0.6， 1.6进行

2

实验，并画出迭代结果的趋势图。

编写MATLAB运算程序如下：

%迭代法求解 %令x=x^2-1 clear

n=30; x=-0.5;

x1=x^2-1; for i=1:n

end

m=linspace(0,29,n);

x1=x1^2-1; xx(i)=x

2013-2014（1）专业课程实践论文

题目：方程的加速迭代方法

一、算法理论

Aitken加速迭代算法基本原理：

对于收敛的迭代过程，只要迭代足够多次，就可以使结果达到任意的精度。但有时迭代过程收敛缓慢，从而使计算量变得很大，因此，迭代过程的加速是个重要的过程。

设x0是跟x*的某个预测值，只迭代公式校正一次x1?f(x0),而由微分中值定理有：x1?x*?f?。 (t)?(x0?x*)（其中t介于x*与x0之间）

假定f'?x?改变不大，近似的取某个近似值L，则由x1?x*?L?(x0?x*)得到

x*?L?x0x1?1?L1?L,可以期望按上式右端求得

x2?x?LL??x1?x0?x1是比x1更好的近似值，将每得到一次改进?0?x1?1?L1?L1?L?和xk分别表示第K步的校正值和改进值，则加速迭代计值算做一步，并用xk算方案可表述如下：

??1?f?xk? 校正：xk??1?改进：xk?1?xk??1?xk?L??xk

1?L然而上述加速公式有个缺点，由于其中含有倒数f??x?的有关信息L，实际使用不便。

仍设已知x*的某个猜测值为x0，将校正值x1?f?x0?,再校正一次，又得

x2?f?x1?。由于x2?x*?L??x1?x*?将它

Jacobi

迭代法与Gauss-Seidel迭代

法算法比较

目录

1 引言 .............................................................................................................................................. 1

1.1 Jacobi迭代法 .................................................................................................................... 2 1.2 Gauss-Seidel迭代法 .......................................................................................................... 2 1.3 逐次超松弛（SOR）迭代法 ...................................................

基于牛顿迭代法的圆形断面临界水深直接计算

学院：建筑工程学院学号：2111206052 姓名：王瑞峰

一、问题来源

圆形断面由于具有受力条件好、适应地形能力强、水力条件好等优点，已成为农田灌溉、城市给水排水等工程较常采用的断面形式。而临界水深的计算则是进行圆形断面水力计算的关键，但其计算较繁杂，要求解高次隐函数方程，且未知量包含在三角函数中，求解难度大。自20世纪90年代，对圆形断面临界水深的计算进行了大量研究，获得了较多成果。鉴此，本文应用牛顿迭代算法，得到一种较简洁且可提供高精度算法 程序的近似计算公式。

二、数学模型

相应于断面单位能量最小值的水深称为临界水深，其计算公式为：

需满足的临界流方程为：

其中

式中，d为洞径；为临界水深对应的圆心角，rad；n为流速分布不均匀系数(不特殊说明时取1.0)；Q为流量，m3Is；g为重力加速度(通常取9.81 m/s2)；分别为临界流对应的过水断面面积和水面宽度。

无压流圆形断面的水力要素见图1

将式(1)、(3)、(4)代入式(2)得：

将式(5)整理即得临界水深的非线形方程：

由此可知．式(6)为临界水深h。的高次隐函数方程，且未知量包含在三角函数中。即圆形断面临界水深的求解即为式(6)

本文主要介绍两种最常用的代数方程组迭代求解方法,原理即其使用方法

雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法以及超松弛迭代

对于给定的方程x Ax b用下式逐步代入求近似解的方法称为迭代法。如xk(当k )的极限存在，此极限即方程组的真正解，此迭代法收敛，否则称迭

代法收敛。

x

k 1

A

xk

b

k 0,1,2...1、雅可比（Jacobi）迭代法

设有方程组

Ax=b (56)

其展开形式为

a11 a1n x1 b1

(57) a n1 ann x n b n

系数矩阵A为非奇异阵，且aii 0(i=1-n)A可分解为 A＝D＋A0 （58）其中：

0 a1n

D a110

A 0

0 a nn

a

m1 0

改写线性方程组（57)式，将第i个方程（i=1~n）表示为xi的表达式：n

x1

i a(bi aijxj) （59）

iijj 1

i

改写后的（57）式的矩阵表达式为：

本文主要介绍两种最常用的代数方程组迭代求解方法,原理即其使用方法

x Ax b（60）其中

很容易看出（56）式和（60）式间系数矩阵A与在如下关系

及自由项列阵b