简明数理逻辑答案

《数理逻辑》教案

许道云

(2011.8)

教 材：《面向计算机科学的数理逻辑》(第二版)

(陆钟万著)

出版社：科学出版社

版 本：2006年6月第8次印刷

绪言（课程介绍）

什么是逻辑？命题（判断）对象、以及对象间的（推理）关系。 数理逻辑：用数学的方法研究逻辑。

数理逻辑研究分支：模型论、集合论、递归论、证明论。 数理逻辑研究什么？

逻辑推理：当前提为真时，保证结论为真。

逻辑研究这样的可推理关系。即，前提和结论之间的推理关系是否正确。演绎推理---演绎逻辑。

它不同于归纳逻辑。归纳逻辑是从前提出发，使用归纳推理，得到的结论与自身协调，或与前提协调。

数理逻辑属于演绎逻辑范围。只研究推理及可推理关系，不关心前提与结论中各个命题的真假。

例1. 前提：所有大于2不被自身整除的自然数为素数。 7不被自身整除。 结论：7不是素数。 例2. 前提：所有中学生打网球。 王君不打网球。 结论：王君不是中学生。

命题有内容和形式：内容决定命题的真或假。决定前提和结论之间的可推导关系，是命题逻辑形式。如：

前提：集合S中的所有元素具有R性质。 a不具有R性质。

结论

数理逻辑部分

一、 填空题

1、将几个命题联结起来，形成一个复合命题的逻辑联结词主要有 、 、 、 和 。 2、命题公式G=（P?Q）?R，则G共有 个不同的解释；把G在其所有解释下所

取真值列成一个表，称为G的 ；解释（?P，Q，?R）或（0，1，0）使G的真值为 。 3、 已知命题公式G?(?P?Q)?R，则G的主析取范式是 。

4、 求公式?(P?Q)?(P?Q)的析取范式

合取范式是 。

5、 设命题公式G?P??(Q?R)，则使公式G为假的解释是 、 和

《数理逻辑》教案

许道云

(2011.8)

教 材：《面向计算机科学的数理逻辑》(第二版)

(陆钟万著)

出版社：科学出版社

版 本：2006年6月第8次印刷

绪言（课程介绍）

什么是逻辑？命题（判断）对象、以及对象间的（推理）关系。 数理逻辑：用数学的方法研究逻辑。

数理逻辑研究分支：模型论、集合论、递归论、证明论。 数理逻辑研究什么？

逻辑推理：当前提为真时，保证结论为真。

逻辑研究这样的可推理关系。即，前提和结论之间的推理关系是否正确。演绎推理---演绎逻辑。

它不同于归纳逻辑。归纳逻辑是从前提出发，使用归纳推理，得到的结论与自身协调，或与前提协调。

数理逻辑属于演绎逻辑范围。只研究推理及可推理关系，不关心前提与结论中各个命题的真假。

例1. 前提：所有大于2不被自身整除的自然数为素数。 7不被自身整除。 结论：7不是素数。 例2. 前提：所有中学生打网球。 王君不打网球。 结论：王君不是中学生。

命题有内容和形式：内容决定命题的真或假。决定前提和结论之间的可推导关系，是命题逻辑形式。如：

前提：集合S中的所有元素具有R性质。 a不具有R性质。

结论

数理逻辑部分

一、 填空题

1、将几个命题联结起来，形成一个复合命题的逻辑联结词主要有 、 、 、 和 。 2、命题公式G=（P?Q）?R，则G共有 个不同的解释；把G在其所有解释下所

取真值列成一个表，称为G的 ；解释（?P，Q，?R）或（0，1，0）使G的真值为 。 3、 已知命题公式G?(?P?Q)?R，则G的主析取范式是 。

4、 求公式?(P?Q)?(P?Q)的析取范式

合取范式是 。

5、 设命题公式G?P??(Q?R)，则使公式G为假的解释是 、 和

《数理逻辑》教案

许道云

(2011.8)

教 材：《面向计算机科学的数理逻辑》(第二版)

(陆钟万著)

出版社：科学出版社

版 本：2006年6月第8次印刷

绪言（课程介绍）

什么是逻辑？命题（判断）对象、以及对象间的（推理）关系。 数理逻辑：用数学的方法研究逻辑。

数理逻辑研究分支：模型论、集合论、递归论、证明论。 数理逻辑研究什么？

逻辑推理：当前提为真时，保证结论为真。

逻辑研究这样的可推理关系。即，前提和结论之间的推理关系是否正确。演绎推理---演绎逻辑。

它不同于归纳逻辑。归纳逻辑是从前提出发，使用归纳推理，得到的结论与自身协调，或与前提协调。

数理逻辑属于演绎逻辑范围。只研究推理及可推理关系，不关心前提与结论中各个命题的真假。

例1. 前提：所有大于2不被自身整除的自然数为素数。 7不被自身整除。 结论：7不是素数。 例2. 前提：所有中学生打网球。 王君不打网球。 结论：王君不是中学生。

命题有内容和形式：内容决定命题的真或假。决定前提和结论之间的可推导关系，是命题逻辑形式。如：

前提：集合S中的所有元素具有R性质。 a不具有R性质。

结论

1 离散数学期末复习题 2012-6-16

1.“太阳系以外的星球上有生命。”是命题。 （ T ） 2．?（???）=?（A）? ?（B） （ F ）

?（?∩?）=?（A）∩?（B） （ T ） 3．一个命题的合取范式不是唯一的。 （ T ） 4．等价式?（?x）A（x）?（?x）?A（x）成立。 ( T ) 5．（?x）（P（x）?Q（x））? R（x）是命题。 （ F ）

8．对于一个谓词公式，指定不同的个体域，则其真值不一定相同.T 9. 若命题公式A的主析取范式包含全部的极小项，则A为永真式T 10．命题“他在教室看书或在宿舍看书。”可以符号化为P∨ S。F 11．当个体域S=｛a,b,c｝消去公式(?x) P(x)∨(?x)Q(x)中量词为(P(a)∨Q(a)) ∧ (P(b)) ∨Q(b)) ∧ (P(c)∨Q(c)) F

12. 设P、Q是两个命题，当且仅当P、Q的真值均相同时，P ?

1 离散数学期末复习题 2012-6-16

1.“太阳系以外的星球上有生命。”是命题。 （ T ） 2．?（???）=?（A）? ?（B） （ F ）

?（?∩?）=?（A）∩?（B） （ T ） 3．一个命题的合取范式不是唯一的。 （ T ） 4．等价式?（?x）A（x）?（?x）?A（x）成立。 ( T ) 5．（?x）（P（x）?Q（x））? R（x）是命题。 （ F ）

8．对于一个谓词公式，指定不同的个体域，则其真值不一定相同.T 9. 若命题公式A的主析取范式包含全部的极小项，则A为永真式T 10．命题“他在教室看书或在宿舍看书。”可以符号化为P∨ S。F 11．当个体域S=｛a,b,c｝消去公式(?x) P(x)∨(?x)Q(x)中量词为(P(a)∨Q(a)) ∧ (P(b)) ∨Q(b)) ∧ (P(c)∨Q(c)) F

12. 设P、Q是两个命题，当且仅当P、Q的真值均相同时，P ?

专题二 数理逻辑用语

一、考纲要求：

了解命题的概念常用的逻辑联结词（且、或、非、如果 那么 ）。理解充要条件的含义。

二、复习指导：

数理逻辑用语的知识可以培养学生具有逻辑思维推理、判断能力。涉及这个知识的试题，范围很广，可以是方程、函数、不等式、数列、向量、解析几何等各种数学知识。

数理逻辑用语与集合的知识一样，以容易题为主，题型是选择题和填空题，每年一至二题；在复习过程中要注意三类题型：一是命题的判断；二是判断充分（必要、充要）条件；二是求命题的充分（必要、充要）条件；注意归纳求充分（必要）条件的方法。

三、知识归纳：

1.命题的概念与判断；2.命题的真假判断（或、且、非）；3.充分必要条件判断

四、历届高考题：

（2008 年）14、x R,"x 3"是"|x| 3"的

A.充分必要条件 B .充分不必要条件 C .既不必要也不充分条件 D .必要不充分条件 （2006 年7） 设G和F是两个集合，则“G中的元素都在F中”是“G=F”的（ ）

A 充分条件 B 充要条件 C 必要条件 D 既非充分又非必要条件 （2005年 13） “b2－4ac>0”是方程ax2

一阶逻辑基本概念

1． 在一阶逻辑中将下面命题符号化，并分别讨论个体域限制为(a),(b)时命题的真值：

（1）凡有理数都能被2整除。

（2）有的有理数能被2整除。

其中(a)个体域为有理数集合,(b)个体域为实数集合。

2． 在一阶逻辑中将下面命题符号化，并分别讨论个体域限制为(a),(b)时命题的真值：

（1）对于任意的x，均有x2-2= (x+)(x-)。

（2）存在x，使得x+5=9。

其中(a)个体域为自然数集合，(b)个体域为实数集合。

3． 在一阶逻辑中将下列命题符号化：

（1）没有不能表示成分数的有理数。

（2）在北京卖菜的人不全是外地人。

（3）乌鸦都是黑色的。

（4）有的人天天锻炼身体。

4． 在一阶逻辑中将下列命题符号化：

（1）火车都比轮船快。

（2）有的火车比有的汽车快。

（3）不存在比所有火车都快的汽车。

（4）“凡是汽车就比火车慢”是不对的。

5． 给定解释I如下：

(a)个体域DI为实数集合R。 (b)DI中特定元素=0。

(c)特定函数(x,y)=x-y，x,y∈DI。 (d)特定谓词

(x,y)：x=y，

(x,y)：x

课程名称：数理逻辑 （英文名称：Mathematical Logic）

一、课程目的、任务：学习数理逻辑的基本理论，为进一步学习现代西方哲学和逻辑哲学打下基础。

二、课程内容：介绍数理逻辑的基础知识，包括：命题演算和狭谓词演算的构成，定理的推演，范式，语义解释，公理系统的三种一致性和三种完全性，公理的独立性，命题演算和狭谓词演算的一致性和完全性定理，以及判定问题。

三、教学方式、实践环节的特色：注重基本概念和基本方法的讲解，通过课堂教学和课外作业，使学生较扎实地掌握数理逻辑的基础知识。 四、教材及参考书目：

教材：王宪钧著《数理逻辑引论》，北京大学出版社，1998年版。 参考书目：彭漪涟主编《逻辑学导论》，华东师范大学出版社，2000年版。 五、考核方式与评价结构比例：

平时成绩占40％，按照每次课后布置的课外作业来评定。期末闭卷考试，考试成绩占60％。 六、讲授大纲：（两级目录）

序言

第一篇 命题逻辑

第一章 真值联结词 真值函项 重言式 第一节 复合命题 复合命题的真假

第二节 真值联结词 真值形式 第三节 五个基本真值联结词 第四节 命题形式 第五节 真值表方法

第六节 真值函项 重言的真值函