最大线性无关组的个数和秩

第十二讲 向量组的最大线性无关组

一、考试内容与考试要求

考试内容

向量组的最大线性无关组；等价向量组；向量组的秩；向量组的秩与矩阵的秩之间的关系；向量的内积；向量空间及其相关概念；n维向量空间的基变换和坐标变换；过渡矩阵；规范正交基．

考试要求

（1）理解向量组的最大线性无关组的概念，会求向量组的最大线性无关组； （2）理解向量组的秩的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系，会求向量组的秩；

（3）理解向量组等价的概念；

（4）了解内积的概念，了解规范正交基；

（5）了解n维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念；

（6）了解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵．

注 考研数学二、三不考向量空间等概念，对数学一的考生要求掌握向量空间的有关内容．

二、知识要点

引入 当方程组Ax?o（Ax?b）有无穷解时，可以用有限个解表示出来，这有限个解就是解集的基础解系，一个基础解系也就是一个最大线性无关向量组．

向量组的秩：是这有限个解的个数，也就是最大无关组中向量的个数，或基础解系中解向量的个数．

复习 首先简单复习本讲需要用到的一些知识。

线性表示：??k1?1?k2?2???km?m，对k1,k2,?km没有要求，且

R(

安庆师范学院数学与计算科学学院2014届毕业论文

向量组线性相关与线性无关的判别方法

摘要 向量组的线性相关性与线性无关性是线性代数中最为抽象的概念之一，如何判别向量组的

线性相关与线性无关是正确理解向量的关键，本文介绍了它与行列式、矩阵、线性方程组的解之间的关系.总结了向量组线性相关和线性无关的判定方法.

关键词 向量组 线性相关 线性无关 矩阵 秩

1 引言

在高等代数中，向量组的线性相关和线性无关的判定这个课题有许多的研究成果，它与行列式，矩阵，线性方程组的解，二次型，线性变换以及欧式空间都有着重要的联系，然而向量的线性相关与线性无关的判别是比较抽象和难以理解的，实际上，向量组的线性相关与线性无关是相对的，我们只要掌握了线性相关的判别，那么线性无关的判别也就迎刃而解了，至今已给出了以下几种常见的方法：利用定义法判断，利用齐次线性方程组的解判断，利用矩阵的秩判断，利用行列式的值判断等.其中，利用齐次线性方程组，利用矩阵的秩，利用行列式的值这三种方法的出发点不同但实质是一样的.

2 向量组线性相关和线性无关的定义

定义 设向量组?1,?2,?,?m都为n维向量，如果数域P中存在一组不全为零的数

k1,k2km,使k1?1?k2?2?

线性代数

第3.3节3. 节3向量的秩组一向、组量极的大无关 二、向量组组秩 的三、向量组的秩矩与秩的关阵系

线性代数

一向量组的、极大无组关.基1概本 1念.本概念基 有设向组量的A分部 组定义设有向量组 的部分组1αα2,,,Lrα满足 (Li )α,α21,Lαr,线 无关性 ； 线性L关； (i无)iA任中向量一 α可由 α以1α,2,L,αr 性线示表 ，中任一量向L 线性表 示，则称α 1α2,,Lα,为向r量 组的个一极大线无性组，关简称极大的一 极大线性无关个 组L为 向量A的组一极个大性无关组，简线极称 大无组关 .无关 组是任何否量向都组极大有无关呢组？果如，有是 否何任量组向都极大有关无组？呢果有，是如否唯 先看个例子一. 一？先看一个例.子

线性代数

1例考察下 列向组量的大无极关组(1) α1 (=0,,0)0

存不在(2 )1α= ( 00,,),0α2= ( 10,0,),α3 =0,1(,0 )3) α( 1 (1=0,0,,α2 ) =(0,1,)0α3,= (0,,10)(4) 1 α =(,0,10),α 2=(0 ,,1)0,3 = α1,(1,)0不难纳

归α 2,α 3 1,α2αα3,α,1α;

西南交大线性代数习题参考答案

2 第一章 行列式

§1 行列式的概念

1． 填空

(1) 排列6427531的逆序数为 ，该排列为 排列。

(2) i = ，j = 时， 排列1274i 56j 9为偶排列。

(3) n 阶行列式由 项的代数和组成，

其中每一项为行列式中位于不同行

不同列的 n 个元素的乘积，若将

每一项的各元素所在行标按自然顺

序排列，那么列标构成一个n 元排列。若该排列为奇排列，则该项的

符号为 号；若为偶排列，该

项的符号为 号。

(4) 在6阶行列式中， 含152332445166a

a a a a a 的项的符号为 ，含324314516625a

a a a a a 的项的符号为 。

2． 用行列式的定义计算下列行列式的值

(1)

11222332330000a a a a a

3 解： 该行列式的3!项展开式中，有 项不为零，它们分别为

，所以行列式的值为 。

(2) 12,121,2

1,11,12,100000

0n n n n n n n n n n n n nn a a a a a a a a a a ------L

陕西科技大学基础课部数学教研室

第十一讲 向量组的秩与向量空间

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§4.3 向量组的秩 §4.5 向量空间

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第三节

向量组的秩

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一、向量组的秩1.极大线性无关组 极大线性无关组 如果在A中能选出 个向量a 设有向量组 A ,如果在 中能选出 r 个向量 1 , a2 ,…,ar,满足： 满足： 1)向量组 0:a1,a2,…,ar线性无关； 向量组A 线性无关； 向量组 2)向量组 中的任一向量均可被向量组 0线性表示； 向量组A中的任一向量均可被向量组 向量组 中的任一向量均可被向量组A 线性表示； 或者满足： 或者满足： 1)向量组 向量组A 线性无关； 1)向量组 0:a1,a2,…,ar线性无关； 2)向量组 中的任何r+1个向量都线性相关 向量组A中的任何 个向量都线性相关； 2)向量组 中的任何 个向量都线性相关； 那么称向量组A 是向量组A的一个极大线性无关组 的一个极大线性无关组. 那么称向量组 0是向量组 的一个极大线性无关组.

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向量组的极大线性无关组一般是不唯一的。 向量组的极大线性无关组一般是不唯

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第十一讲 向量组的秩与向量空间

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§4.3 向量组的秩 §4.5 向量空间

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第三节

向量组的秩

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一、向量组的秩1.极大线性无关组 极大线性无关组 如果在A中能选出 个向量a 设有向量组 A ,如果在 中能选出 r 个向量 1 , a2 ,…,ar,满足： 满足： 1)向量组 0:a1,a2,…,ar线性无关； 向量组A 线性无关； 向量组 2)向量组 中的任一向量均可被向量组 0线性表示； 向量组A中的任一向量均可被向量组 向量组 中的任一向量均可被向量组A 线性表示； 或者满足： 或者满足： 1)向量组 向量组A 线性无关； 1)向量组 0:a1,a2,…,ar线性无关； 2)向量组 中的任何r+1个向量都线性相关 向量组A中的任何 个向量都线性相关； 2)向量组 中的任何 个向量都线性相关； 那么称向量组A 是向量组A的一个极大线性无关组 的一个极大线性无关组. 那么称向量组 0是向量组 的一个极大线性无关组.

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向量组的极大线性无关组一般是不唯一的。 向量组的极大线性无关组一般是不唯

审计方法研究： 电信行业审计的重大线索和思路

审计方法研究： 电信行业审计的重大线索和思路

审计利剑出鞘 国企蛀虫现形——审计署重庆办电信行业专项审计调

查纪实

【时间:2009年11

月06日】

2007年10月至12月，审计署驻重庆特派办在对电信行业专项审计调查中发现，重庆市电信公司下属重庆菲斯特信息网络有限责任公司（以下简称菲斯特网络公司）原总经理谢某、财务部主任何某等人，以截留收入、虚列支出等方式非法转移资金2400多万元至两家空壳私营企业，其中900多万元被相关人员提取现金，1500多万元转入该公司有关人员控制的私营企业。该案以《审计要情》上报国务院后，国家领导人作了重要批示。2008年初，监察部、最高人民检察院等部门组成的联合调查组，在当地监察、检察等单位的配合下，很快取得突破，为国有企业挽回经济损失1300多万元。同时，2009年6月1日，重庆市第一中级人民法院二审认定该公司原总经理谢某犯职务侵占罪，判处有期徒刑7年，该公司原财务部主任何某犯职务侵占罪，判处有期徒刑5年6个月。

这一案件线索是如何发现的呢？这一切还需从头说起。

发现线索——一民营企业竟然无偿占有国有企业资金1000多万【来源:审计署重庆办】 【字号：大 中 小】

审计方法研究

3.4 向量和矩阵的范数

为了研究线性方程组近似解的误差估计和迭代法的收敛性，我们需要对Rn(n维

向量空间)中的向量或Rnxn中矩阵的“大小”引入一种度量，——向量和矩阵的范 数。

向量和矩阵的范数

在一维数轴上，实轴上任意一点x到原点的距离用|x|表示。而任意两点x1,

x2之间距离用| x1-x2 |表示。

向量和矩阵的范数

而在二维平面上，平面上任意一点P(x,y)到原点的距离用 x 2 y 2 | OP 表示。而平面上 | 任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离用 表示。 推广到n维空间，则称为向量范数。

| P1 P2 | ( x1 x 2 ) ( y1 y 2 )2

2

向量范数定义3.4.1 设任一向量x R n , 按某一确定的

x ||, 且满足 : 1)非负性： || x || 0,当且仅当x 0时， || x || 0; 2)奇次性： || kx || | k ||| x ||, k R; 3)三角不等式：对任意 x, y R , 都有 || x y || || x || || y || ,法则对应于一非负实数 ||n

则称 || x || 为向量x的范数。

常见的向量范数设向

§3.3 向量组的线性关系一.线性组合 二.线性相关与线性无关 三.小结与思考题

向量组的线性关系对于我们揭示线性方程组中方程 与方程之间、解与解之间的关系乃至更广泛的事物之 间的联系是极其有意义的, 我们必须熟练掌握如何判

定向量组之间的线性关系.

一.线性组合定义3.7 对于 n 维向量 1 , 2 ,

, m , 若存在一组

实数k1 , k2 ,

, km , 使得 km m , m 的线性组合,或称2

k1 1 k2 2 则称向量β 是向量组 1 , 2 ,

向量β 可由向量组 1 , 2 ,

, m 线性表示.

称k1 , k2 ,

, km 为组合系数或表示系数.

例1 设向量组 1 1 3 2 0 0 0 0 , 1 , 2 , 3 0 2 4 2 3 1 1 2

不难验证

2 1 2 或 1- 33

例2 设

判定向量β 是否可由向量组 1 , 2 , 3线性表示？ 如果

3.4 向量和矩阵的范数

为了研究线性方程组近似解的误差估计和迭代法的收敛性，我们需要对Rn(n维

向量空间)中的向量或Rnxn中矩阵的“大小”引入一种度量，——向量和矩阵的范 数。

向量和矩阵的范数

在一维数轴上，实轴上任意一点x到原点的距离用|x|表示。而任意两点x1,

x2之间距离用| x1-x2 |表示。

向量和矩阵的范数

而在二维平面上，平面上任意一点P(x,y)到原点的距离用 x 2 y 2 | OP 表示。而平面上 | 任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离用 表示。 推广到n维空间，则称为向量范数。

| P1 P2 | ( x1 x 2 ) ( y1 y 2 )2

2

向量范数定义3.4.1 设任一向量x R n , 按某一确定的

x ||, 且满足 : 1)非负性： || x || 0,当且仅当x 0时， || x || 0; 2)奇次性： || kx || | k ||| x ||, k R; 3)三角不等式：对任意 x, y R , 都有 || x y || || x || || y || ,法则对应于一非负实数 ||n

则称 || x || 为向量x的范数。

常见的向量范数设向