不等式放缩法

数列型不等式的放缩技巧九法

证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下九种：

一 利用重要不等式放缩

1． 均值不等式法

2例1 设Sn?1?2?2?3???n(n?1).求证n(n?1)?Sn?(n?1).

22解析 此数列的通项为ak?k(k?1),k?1,2,?,n.

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222k?1k?12即n(n?1)?Sn?n(n?1)?n?(n?1).

2222 注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式ab?a?b，

2若放成k(k?1)?k?1则得Sn??(k?1)?(n?1)(n?3)?(n?1)，就放过“度”了！

22k?1②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里

2 a1???ana12???annn11???a1an?

篇一：《放缩法在不等式的应用》论文

放缩法在不等式的应用

所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：

一. “添舍”放缩

通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。 例1. 设a，b为不相等的两正数，且a－b＝a－b，求证1＜a＋b＜

3

3

2

2

2

2

2

2

2

4。 证明：由题设得a＋ab＋b＝a＋b，于是（a＋b）＞a＋ab＋b＝a＋b，又a＋b＞0，得a＋b＞1，又

ab＜

1（a＋b），而（a＋b）＝a＋b＋ab＜a＋b＋1（a＋b），即3（a＋b）＜a＋b，所以a＋b＜42

2

2

2

，

故有1＜a＋b＜

。

例2. 已知a、b、c不全为零，求证：

a?ab?b?b2?bc?c2?c

数列型不等式放缩技巧八法

证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：

一 利用重要不等式放缩

1． 均值不等式法

例1 设Sn?1?2?2?3???n(n?1).求证解析 此数列的通项为ak?n(n?1)(n?1)2

?Sn?.22k(k?1),k?1,2,?,n.

n1k?k?11，n??k?Sn??(k?)， ?k?k(k?1)??k?222k?1k?12即n(n?1)?Sn?n(n?1)?n?(n?1).

2222 注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式ab?a?b，若放成

2k(k?1)?k?1则得Sn??(k?1)?(n?1)(n?3)?(n?1)，就放过“度”了！

k?1n222 ②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里

2 a1???ana12???an

(一)不等式概念和性质错解例析

初学不等式，由于对概念及性质理解不够深刻，有些同学常出现一些错误，现举例分析,望能引以为戒

一、理解概念不透致错

例1、下列给出四个式子，

①x>2 ②a≠0 ③5<3 ④a≥b 其中是不等式的是（ ）

A、①④ B、①②④ C、①③④ D、①②③④

错解、选A

分析、不等式是指形式上用“<”、“>”、“≤”、“≥”、“≠”连接的式子，不受其是否成立的影响，5<3是不等式，只不过这个不等式不成立，另外a≠0也是不等式，因为“≠”也是不等号， 正解、选D

二、符号意义不清致错 例2、下列不等式

①2a>a ②a2+1>0 ③8≥6 ④x2≥0 一定成立的是（ ）

A、②④ B、② C、①②④ D、②③④

错解、选A

分析、导致本题错误的原因是对“≥”理解不正确，“≥”的意义是“>”或“=”，有选择功能，二者成立之一即可，事实上也只能二者取一，不等号两边的量不会既“>”又“=”，所以，对8≥6的理解应是“8大于6”，对x2≥0的理解应是，“当x=0时，x2=0；当x≠0时，x2>0” 正解、选D

例3、不等式x>-2的解集在数轴上表示正确的一项是（ ）

A B C

D

错解，选A

分析、对不等式的解集在数轴上的表示方法不清出错，在数轴上表示不等式的解集时，实心

初二数学备课组

中学生数学

年 !月上

第

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分式不(丁兴

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江苏省南京市上新河中学&

在数学竞赛中的分式不等式的证明往往带有一定的技巧性因此证明过程常常会用到%

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著名的不等式这种做法忽视了证明不等式基本的方法即作差法这里我们通过作差法来简,

同 4可以通过作差法给出简易的证明丁丫牛 6一+“

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这是一道经典的不等式题常见的证法是整体代换分母或用柯西不等式证明之事实上用作差法很容易给出证明)二二一一<卜8%%

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中考专题复习

第2讲 不等式与不等式组

一级训练

1．(2012年广东广州)已知a＞b，c为任意实数，则下列不等式中总是成立的是( ) A．a＋c＜b＋c B．a－c＞b－c C．ac＜bc D．ac＞bc 2．(2012年四川攀枝花)下列说法中，错误的是( )

A．不等式x＜2的正整数解中有一个 B．－2是不等式2x－1＜1的一个解 C．不等式－3x＞9的解集是x＞－3 D．不等式x＜10的整数解有无数个

3．(2012年贵州六盘水)已知不等式x－1≥0，此不等式的解集在数轴上表示为(

)

4．(2012年湖北荆州)已知点M(1－2m，m－1)关于x轴的对称点在第一象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是(

)

2x－1≥x＋1，

5．(2012年山东滨州)不等式 的解集是( )

x＋8≤4x－1

A．x≥3 B．x≥2 C．2≤x≤3 D．空集

x－1≥0，

6．(2012年湖北咸宁)不等式组 的解集在数轴上表示为(

)

4－2x＞0

7．(2012年湖南益阳)如图2－2－2，数轴上表示的是下列哪个不等式组的解集(

)

图2－2－2

x≥－5， x＞－5， x＜5， x＜5， A. B. C. D. x＞－3

第四章 微积分中值定理与证明 4.1 微分中值定理与证明

一 基本结论

1．零点定理：若f(x)在[a,b]连续，f(a)f(b)?0，则???(a,b)，使得f(?)?0． 2．最值定理：若f(x)在[a,b]连续，则存在x1,x2使得f(x1)?m,f(x2)?M．其中

m,M分别是f(x)在[a,b]的最小值和最大值．

3．介值定理：设f(x)在[a,b]的最小值和最大值分别是m,M，对于?c?[m,M]， 都存在???[a,b]使得f(?)?c．（或者：对于?c?(m,M)，都存在???(a,b)使得

f(?)?c）

4．费玛定理：如果x0是极值点，且f(x)在x0可导， 则 f?(x0)?0．

5．罗尔定理：f(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导，f(a)?f(b)，则???(a,b)使得

f?(?)?0．

6．拉格朗日定理：f(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导，，则???(a,b)使得

f(b)?f(a)?(b?a)f?(?)．

) 7．柯西定理：f(x)，g(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导，且g?(x)?0，则???(a,b使得

f(b)?f(a)f?(?)?．

g(b)?g(a)g?(?)8．泰勒公

不等式知识

目录：

三道小题

（一）一些基础。。。

（二）不等式的一些直观解释。。。 （三）谈谈放缩法。。。 （四）杂谈 关于配方法。。。 （五）杂谈 差分代换。。。

（六）杂谈 谈谈切线法及其推广 （七）介绍几个重要的不等式①。。。 （八）介绍几个重要的不等式②。。。 （九）杂谈 再谈配方法。。。。

（十）关于函数实根分别和不等式解集问题。。。。。。。

（十一）谈谈齐次形式不等式的程序化处理①对称整理类。。。 （十二）谈谈齐次形式不等式的程序化处理②Schur拆分法。。。 （十三）细化赫尔德(H?lder)不等式&引入闵可夫斯基(Minkowski)不等式。。。。 （十四）幂平均函数及其他。。。。。。。 （十五）SOS定理。。。

（十六）凸函数理论及受控理论。。。

（十七）杂谈 克劳修斯（Clausius）不等式与热力学第二定律。。。。 （十八）关于机械化方法的历史。。。 （十九）多元函数极值的偏导方法。。。。 （二十）解析——几何与代数的桥梁 小测试 A（轮换不等式） 小测试 B（含参情况） 小测试 C（对称破缺）

出三道小题，作为你们的自我检测，如果做不上来，你你还需要多练习练习。如果可以，那我们继续看：

①对于实数 x , y

不错的不等式题目

2006

1、均值不等式的理解

1．如果正数a，b，c，d满足a b cd 4，那么（ ） Ａ．ab≤c d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一 Ｂ．ab≥c d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一 Ｃ．ab≤c d，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一 Ｄ．ab≥c d，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一 答案：A

2、均值不等式的应用

1．若x，y R+，且x 4y 1，则x y的最大值是 ． 答案：

116

2．已知x 0，y 0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则最小值是（ ） Ａ．0 Ｂ．1

(a b)cd

2

的

Ｃ．2 Ｄ．4

3

是1 a和1 a的等比中项，则a 3b的最大值为（ ） A．1

B．2

C．3

2aba 2b

5

D．4

的最大值为（ ）

4．若a是1 2b与1 2b的等比中项，则

15

Ｂ．

4

Ｄ．

2

答案：B

3、其他不等式性质

1．设a，b是非零实数，若a b，则下列不等式成立的是（ ） Ａ．a b Ｂ．ab答案：C

4、解复杂不等式

1．解不等式(3x 1 1)(sinx 2) 0．

解：因为对任意x R，sinx 2 0，所以原不等式等价于3

一、高中数列基本公式：

1、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an= 2、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。 3、等差数列的前n项和公式：Sn=

Sn=

Sn=

当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式。

n-1n-k

4、等比数列的通项公式： an= a1 q an= ak q (其中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0)

5、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式)；

当q≠1时，Sn= Sn=

三、高中数学中有关等差、等比数列的结论 1、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等差数列。

2、等差数列{an}中，若m+n=p+q，则3、等比数列{an}中，若m+n=p+q，则

4、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等比数列。

5、两个等差数列{an}与{b