系统的数学模型有多种

自然界的多种群模型分析

小组成员：杨宏志

曾云霖赵恒宇1

09053055 09053057 09053060

目录

摘要 第3页 关键词 第3页 问题重述 第3页 符号说明 第4页 基本假设 第4页 问题分析 第4页 正文 第5页 总结与思考 第12页 参考文献 第13页

（注：正文中包括对模型的建立，模型的具体检验，模型的改进，改进模型的检验以及问题的扩展深化。）

2

自然界的多种群模型分析

摘要：在我们生活的大自然中，有着太多太多的秩序和规则。种群之间的你争

我斗，弱肉强食也是非常激烈。种群，顾名思义就是指同一种生物的一个集合。不同种群之间的关系大致分为四种：捕食与被捕食关系，互利共生关系，相互竞争关系和寄生与寄主关系。我们这次的建模就是围绕着种群之间的关系来展开的，下面我将从这几个方面来进行分类讨论，由于寄生与寄主的关系不是很常见，关系也比较简单，在此便不再赘述。

捕食与被捕食关系：这种关系很简单，大家也能很容易地理解，

第二章 控制系统的数学模型

2-12 试用结构图等效化简求图2-32所示各系统的传递函数

C(s)。 R(s)

解 （a）

1

所以：

（b）

G1G2G3G4C(s) ?R(s)1?G1G2?G3G4?G2G3?G1G2G3G4所以：

（c） 所以：

（d）

C(s)G1?G2R(s)?1?G 2HC(s)G1G2G3R(s)?1?G 1G2?G2G3?G1G2G3

2

所以：

G1G2G3?G1G4C(s) ?R(s)1?G1G2H1?G2G3H2?G1G2G3?G1G4?G4H2（e）

所以：

2-14 试绘制图2-36所示系统的信号流图。

G1G2G3C(s) ?G4?R(s)1?G1G2H1?G2H1?G2G3H2

3

解

2-15 试绘制图2-36所示信号流图对应的系统结构图。

解

2-16 试用梅逊增益公式求2-12题中各结构图对应的闭环传递函数。 解 （a）图中有1条前向通路，3个回路，有1对互不接触回路

P ，L1??G1G2，1?G1G2G3G4，?1?1 L2??G3G4，L3??G2G3，??1?(L1?L2?L3)?L1L2，

G1G2

公交查询系统,07年全国赛B题

第２５卷第４期

２００８年８月黑龙江大学自然科学学报ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＮＡＴＵＲＡＬＳＣＩＥＮＣＥＯＦＨＥＩＬＯＮＧＪＩＡＮＧＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹＶ０１．２５Ｎｏ．４Ａｕｇｕｓｔ，２００８

公交查询系统的数学模型

李响，张睿智

（黑龙江大学数学科学学院，哈尔滨１５００８０）

摘要：运用Ｄｉｊｋｓｔｒａ标号法的推广算法和线性规划理论，建立了已知公交起点站到欲到达的

公交目的站的最优线路数学模型。解决了已知大数据量的多条公交线路和多个公交站点的最优乘

车线路查询问题，同时可以根据目标的不同，选择最短线路和耗资最少线路。模型也可应用于多种

交通工具并用的线路选择问题，并设计程序实现了该模型。

关键词：Ｄｉｊｋｓｔｒａ标号法；线路集合；线路组合；转车次数；最优路线

中图分类号：０１７７．９１文献标志码：Ｂ文章编号：１００１—７０１１（２００８）０４—０５５４一０４

０引言

２００７年全国大学生数学建模竞赛Ｂ题的含义是：在已知的５００多条公交线路和有重合情况的１５０００多个公交站点中，设计出一套可以根据不同的目标，从起始站到终点站的最优乘车线路的查询系统。问题的难点在于大数据量的处理、公交车的转乘和算法的实用性，也就是说，查询者在输人起始公交站点

公交查询系统,07年全国赛B题

第２５卷第４期

２００８年８月黑龙江大学自然科学学报ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＮＡＴＵＲＡＬＳＣＩＥＮＣＥＯＦＨＥＩＬＯＮＧＪＩＡＮＧＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹＶ０１．２５Ｎｏ．４Ａｕｇｕｓｔ，２００８

公交查询系统的数学模型

李响，张睿智

（黑龙江大学数学科学学院，哈尔滨１５００８０）

摘要：运用Ｄｉｊｋｓｔｒａ标号法的推广算法和线性规划理论，建立了已知公交起点站到欲到达的

公交目的站的最优线路数学模型。解决了已知大数据量的多条公交线路和多个公交站点的最优乘

车线路查询问题，同时可以根据目标的不同，选择最短线路和耗资最少线路。模型也可应用于多种

交通工具并用的线路选择问题，并设计程序实现了该模型。

关键词：Ｄｉｊｋｓｔｒａ标号法；线路集合；线路组合；转车次数；最优路线

中图分类号：０１７７．９１文献标志码：Ｂ文章编号：１００１—７０１１（２００８）０４—０５５４一０４

０引言

２００７年全国大学生数学建模竞赛Ｂ题的含义是：在已知的５００多条公交线路和有重合情况的１５０００多个公交站点中，设计出一套可以根据不同的目标，从起始站到终点站的最优乘车线路的查询系统。问题的难点在于大数据量的处理、公交车的转乘和算法的实用性，也就是说，查询者在输人起始公交站点

飞机座舱温度控制系统的建模与仿真

０．引言

飞机在空中飞行时，周围环境温度和湿度条件变化极大，已远远超过人体自

身温度控制系统所能适应的范围。因此，必须对人体周围的微环境温度和湿度，特别是温度进行控制，使其保持在要求的范围内。飞机座舱温度控制系统的功用，就是在各种飞行条件下，维持人体周围（座舱）温度在要求的范围内，从而使体温能在人体自身温控系统的控制下，保持在可适应的范围内。

１．座舱温度控制系统

典型的飞机座舱温度控制系统有四个基本部分组成：温度传感器，温度控

制器，执行机构和控制对象。温度控制器反应（座舱，供气管道或环境）所处位置的空气温度。将温度转变为电的或变形等信号。温度控制器将来自传感器的输入信号和给定温度值的信号进行比较，针对温度补偿信号（控制信号）给执行机构（如电机）。控制器中通常包括比较元件（如电桥）和放大器。执行机构接受控制器的控制信号，使活门位置（转角或开启量）做相应的变化，改变通过活门的空气流量或流量比例。控制对象是需要温度控制的对象，如座舱。被控参数为控制对象的温度。

２．系统数学模型

控制系统数学模型描述系统的本质。建立了系统的数学模型，建立了系统的数学模型，就可以用控制理论和数学的方法分析它的性能。根据控制类

第二章 系统的数学模型

2．3图中三图分别表示三个机械系统。求出他们各自的微分方程，图中xi表示输入位移，xo表示输出位移，假设输出端无负载效应。

解：（1）、对图（a）所示系统，有牛顿定律有

?i-x?0)-c2x?0=m??0 x c1(x?0+(c1-c2) x?0= c1x?i x即 m?

（2）、对图（b）所示系统，引入一中间变量x，并有牛顿定律有

?0) ?-x (xi-x)k1=c(x?0)=k2x0 ?-x c(x消除中间变量有

?i ?0+k1k2x0=ck1xc(k1+k2)x（3）、对图（c）所示系统，有牛顿定律有

?i-x?0)+ k1 (xi-x)= k2x0 c(x?0+(k1+k2)x0=cx?i+ k1xi 即 cx2.4 求出图（2.4）所示电网络图的微分方程。

解：（1）对图（a）所示系统，设xi为流过R1的电流，i为总电流，则有

uo?R2i?1C2

?idt

ui?uo?R1i1

ui?uo?

长方形椅子能否在不平的地面上放稳吗？

【问题提出】

日常生活中有这样的现象：把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍微挪动几次，一般都可以使四只脚同时着地．试从数学的角度加以解释． 【模型假设】

为了明确问题，对上述现象中的有关因素在符合日常生活的前提下，作出如下假设： （1）椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形．

（2）地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断 (没有像台阶那样的情况)，即从数学的角度看，地面是连续曲面．这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件．

（3）椅子在任何位置至少有三只脚同时着地．为保证这一点，要求对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的．因为在地面上与椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，如果出现深沟或凸峰(即使是连续变化的)，此时三只脚是无法同时着地的． 【建立模型】

在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来．

首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动．生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换．

控制系统的数学模型（2章补充）

描述变量之间关系的代数方程叫静态数学模型；

描述变量各阶导数之间关系的微分方程叫动态数学模型。 同一系统可用不同的数学模型形式描述，

输入输出型，外部描述，经典控制理论的主要研究方法。

状态变量型，内部描述，适用于多输入多输出系统、时变、非线性和随机控制系统。本课略 方框图模型，描述系统结构比较直观。

传递函数：按0初始态进行拉氏变换，将微分方程转换成数学方程以方便分析和计算。

时域响应：信号按时间变化的规律。微分方程形式

频域响应：信号按频率变化的规律。将传递函数中的S用jω代换 两者之间有确定的对应关系。

数学模型的建立方法有分析法和实验法两类。

分析法是依据物理和化学定律，列写出各变量之间的数学关系式。也称为解析法。

实验法是对系统施加某种典型输入信号，记录其输出响应，比对已知关系得到系统的数学模型。

时域数学模型举例

在如图无源电路网络系统中，R1和R2为电阻，C为电容，

ui(t)为输入电压；uo(t)为输出电压。根据基尔霍夫定律和欧

姆定律，有

ioio?C?o

R1dtR2 （2-1）

经 济 数 学 模 型 论 文

谢杜杜 06信管（1）班 2006429020149

我们知道：数学与经济学息息相关，可以说每一项经济学的研究、决策，都离不开数学的应用。特别是自从诺贝尔经济学奖创设以来，利用数学工具来分析经济问题得到的理论成果层出不穷，经济学中使用数学方法的趋势越来越明显。当代西方经济学认为，经济学的基本方法是分析经济变量之间的函数关系，建立经济模型，从中引申出经济原则和理论，进行预测、决策和监控。在经济领域，数学的运用首要的问题是实用性和实践性问题，即能否用所建立的模型去概括某一经济现象或说明某一经济问题。因而，数学模型分析已成为现代经济学研究的基本趋向，经济数学模型在研究许多特定的经济问题时具有重要的不可替代的作用，在经济学日益计量化、定量分析的今天，数学模型方法显得愈来愈重要。 一、经济数学模型的基本内涵

数学模型是数学思想精华的具体体现，是对客观实际对象的数学表述，它是在一定的合理假设前提下，对实际问题进行抽象和简化，基于数学理论和方法

长方形椅子能否在不平的地面上放稳吗？

【问题提出】

日常生活中有这样的现象：把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍微挪动几次，一般都可以使四只脚同时着地．试从数学的角度加以解释． 【模型假设】

为了明确问题，对上述现象中的有关因素在符合日常生活的前提下，作出如下假设： （1）椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形．

（2）地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断 (没有像台阶那样的情况)，即从数学的角度看，地面是连续曲面．这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件．

（3）椅子在任何位置至少有三只脚同时着地．为保证这一点，要求对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的．因为在地面上与椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，如果出现深沟或凸峰(即使是连续变化的)，此时三只脚是无法同时着地的． 【建立模型】

在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来．

首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动．生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换．