schmidt正交化求矩阵QR分解

qr分解 论文呢

第３１卷第３期

２０１佛山科学技术学院学报（自然科学版）ＪｏｕｒｎａｌｏｆＦｏｓｈａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）Ｖ０１．３１ＮＯ．３３年５月Ｍａｙ２０１３文章编号：１００８—０１７１（２０１３）０３—００４４—０４

基于Ｇｒａｍ—Ｓｃｈｍｉｄｔ正交法的

矩阵并行ＱＲ分解算法

黄丽嫦，黄润

（佛山职业技术学院计算机系，广东佛山５２８１３７）

摘要：分析了线性无关向量组的Ｇｒａｍ—Ｓｃｈｍｉｄｔ正交化过程以及矩阵的ＱＲ分解原理。在多核架构的微机中，设计实现了一种基于Ｇｒａｍ—Ｓｃｈｍｉｄｔ正交法的矩阵ＱＲ多核并行分解算法。新算法易于计算机编程实现，数值实验也验证了算法具有良好的并行性。

关键词：Ｇｒａｍ—Ｓｃｈｍｉｄｔ正交法；ＱＲ分解；多核并行计算

中图分类号：０１５１．２１文献标志码：Ａ

矩阵的ＱＲ分解在数值代数中有着重要的应用，它为矩阵特征值的数值求解提供了理论依据，并且也是求解最小二乘问题、最优化问题和某些病态方程组的有效工具。ＱＲ分解的优点是具有良好的数值稳定性，无须像选主元策略那样进行某些行或列的交换；而缺点就是在分解过程中所产生的串行计算次数远高于Ｉ。Ｕ、Ｃｈｏｌｅｓｋｙ等其他矩阵分解，为此，研究

正交矩阵的作用

引言

正交矩阵是一类重要的实方阵，由于它的一些特殊的性质，使得它在不同的领域都有着广泛的作用,也推动了其它学科的发展.本文从正交矩阵的最主要的性质入手，来讨论它的四点作用.

首先，我们来了解一下正交矩阵的定义. 一.正交矩阵的定义及性质 (一)正交矩阵的定义

定义1 n阶实矩阵A，若满足A?A?E，则称A为正交矩阵. 定义2 n阶实矩阵A，若满足AA??E，则称A为正交矩阵. 定义3 n阶实矩阵A，若满足A??A?1，则称A为正交矩阵. 定义4 n阶实矩阵A的n个行（列）向量是两两正交 的单位向量，则称A为正交矩阵. 以上四个定义是等价定义. (二)正交矩阵的性质

设A为正交矩阵，它有如下的主要性质. <1>∣A∣=±1，A-1存在，并且A-1也为正交矩阵； <2>A′，A*也是正交矩阵；

当∣A∣=1时，A??A*，即aij?Aij；

1

当∣A∣=-1时,A???A*,即aij??Aij.

<3>若B也是正交矩阵，则AB,A?B,AB?,A?1B,AB?1都为正交 矩阵.

证明 <1>显然 A??1

(A?1)???A???(A?1)?1 所以A?1也是正交矩阵.

?1<2>A??A?1，显然A?为正交矩阵.

A*由 A??1，A??A

矩阵分解

在矩阵运算中，把矩阵分解成形式比较简单或具有某种特性的一些矩阵的乘积，在矩阵理论的研究和应用中，具有重要的意义。一方面，矩阵分解能够明显反映出原矩阵的某些数值特征，如矩阵的秩、行列式、特征值及奇异值等，令一方面分解的方法与过程往往提供了某些有效地数值计算方法和理论分析根据。常见的矩阵分解方法有：三角分解、QR分解、满秩分解、奇异值分解。下面将主要从这四个方面进行分别介绍。

一、三角分解

定义： 设A?Cnn?n，如果存在下三角矩阵L?Cnn?n和上三角矩阵R?Cnn?n，使得

A?LR （1） 则成A可以作三角分解。

A可以作三角分解的充分必要条件是A的k阶顺序主子式。 ?k?detAk?0(k?1,2,?n?1)，而Ak为A的k阶顺序主子式（证明略）

如果A可以分解成A?LR，其中L是对角元素为1的下三角矩阵（称为单位下三角矩阵），R是上三角矩阵，则称之为A的Doolittle分解；L是下三角矩阵，R为对角元素为1的上三角矩阵，则称之为A的Crout分解。

如果A可以分解为A?LDR，其中L为单位下三角矩阵，D为对角

矩阵，R为单位上三

矩阵分解

在矩阵运算中，把矩阵分解成形式比较简单或具有某种特性的一些矩阵的乘积，在矩阵理论的研究和应用中，具有重要的意义。一方面，矩阵分解能够明显反映出原矩阵的某些数值特征，如矩阵的秩、行列式、特征值及奇异值等，令一方面分解的方法与过程往往提供了某些有效地数值计算方法和理论分析根据。常见的矩阵分解方法有：三角分解、QR分解、满秩分解、奇异值分解。下面将主要从这四个方面进行分别介绍。

一、三角分解

定义： 设A?Cnn?n，如果存在下三角矩阵L?Cnn?n和上三角矩阵R?Cnn?n，使得

A?LR （1） 则成A可以作三角分解。

A可以作三角分解的充分必要条件是A的k阶顺序主子式。 ?k?detAk?0(k?1,2,?n?1)，而Ak为A的k阶顺序主子式（证明略）

如果A可以分解成A?LR，其中L是对角元素为1的下三角矩阵（称为单位下三角矩阵），R是上三角矩阵，则称之为A的Doolittle分解；L是下三角矩阵，R为对角元素为1的上三角矩阵，则称之为A的Crout分解。

如果A可以分解为A?LDR，其中L为单位下三角矩阵，D为对角

矩阵，R为单位上三

正交矩阵与酉矩阵的性质和应用

0 前 言.......................................................................................................................... 1 1 欧式空间和正交矩阵................................................................................................ 2

1.1 欧式空间.......................................................................................................... 2 1.2 正交矩阵的定义和性质.................................................................................. 2

1.2.1 正交矩阵的定义和判定....................................

给出行正交矩阵的概念,并讨论行正交矩阵的行列式、可逆性、特征值、迹等问题,得到行正交矩阵的行列式、等于正负1、行正交矩阵的逆矩阵和伴随矩阵仍是行正交矩阵以及一些等价条件.

第 3卷第 1 7期

西南民族大学学报 然科学版自J u a f o t we t i e s y f r t n l i sNau a c e c i o o r l u h s v r i o i ai e t r l i n eEd t n n o S Un t Na o t S i

文章编号： 0 324 (0 1 1 0 10 10 832 1) - 7— 0 0 4

行正交矩阵的一些性质贾书伟，何承源(西华大学数学与计算机学院，四川成都 6 0 3 ) 10 9

摘

要：给出行正交矩阵的概念，并讨论行正交矩阵的行列式、可逆性、特征值、迹等问，题得到行正交矩阵的行列式

等于正负 l、行正交矩阵的逆矩阵和伴随矩阵仍是行正交矩阵以及一些等价条件.关键词：矩阵；正交矩阵；行正交矩阵； (对称矩阵行列)中图分类号： 5 . Ol 1 2文献标志码： A

d i 03 6/i n10 -4 3 0 0 .1 o:1 . 9 .s.0 32 8. 1.1 8 9 js 2 1

第6讲 矩阵分解

内容：1. 矩阵的三角分解

2. 矩阵的满秩分解 3. 矩阵的QR分解 4. 矩阵的Schur定理

5. 矩阵的谱分解和奇异值分解

矩阵分解指将一个矩阵写成结构比较简单的或性质比较熟悉的另一些矩阵的乘积．它在控制理论和系统分析等领域有广泛应用．

§1 矩阵的三角分解

定义1.1 称A?(aij)n?n?a11?0??????0a12?a1n?a22?a2n??为上三角矩阵，?????0?ann?B?AT为下三角矩阵．特别地，称A（或AT）的对角元素为1

的上（下）三角矩阵为单位上（下）三角矩阵．三角矩阵是一类特殊的矩阵，具有特殊的性质． 1.Gauss消元法

?a11?1?a12?2???a1n?n?b1?a??a????a??b2112222n12n元线性方程组? ，其矩阵形式 ?????an1?1?an2?2???ann?n?bn Ax?b，

其中：A?(aij)n?n?a11?a??21????an1a12a22?an2?a1n??a2n??，x???,?,?,??T，b??b,b,?,b?T． 12n12n?????ann?采用按自然顺序选主元素进行消元．假定化A为上三角矩阵的过程未用到行和列交换，

矩阵LDLT分解与Cholesky分解：

求矩阵A???ij?20?20的LDLT分解与Cholesky分解，其中

i,i?j??ij??。mini(j,)-i2?,j?矩阵的LDLT消去函数的程序代码：

%矩阵的LDLT分解

function [s,l,d]=ldlt(a) s=1;l=0;d=0;

%判断矩阵是否对称

if a~=a' %矩阵不对称，输出错误信息 s=0; else

b=diag(a); %列向量b存放矩阵a的对角元素，矩阵D的元素也放在该向量 n=size(a,1); %矩阵a维数n for k=1:n

b(k)=b(k)-(a(k,1:k-1).^2)*b(1:k-1);

if ~b(k) %如果矩阵D的对角元素出现0，出现错误，停止计算 s=0; break

else %进行递推

a(k+1:n,k)=(a(k+1:n,k)-a(k+1:n,1:k-1)*(b(1:k-1).*a(k,1:k-1)'))/b(k);

高一物理 孙飞

专题：力的正交分解法

1、定义：把力沿着两个选定的互相垂直的方向分解，叫做力的正交分解法。

说明：正交分解法是一种很有用的方法，尤其适于物体受三个或三个以上的共点力作用的情怳。

2、正交分解的原理

一条直线上的两个或两个以上的力，其合力可由代数运算求得。当物体受到多个力的作用，并且这几个力只共面不共线时，其合力用平行四边形定则求解很不方便。为此，我们建立一个直角坐标系，先将各力正交分解在两条互相垂直的坐标轴上，求x、y轴上的合力Fx, Fy

Fx=FX1+FX2+FX3+、、、 FY=FY1+FY2+FY3+、、、

④最后求Fx和Fy的合力F 大小 ：

方向（与Y方向的夹角）：

22分别求出两个不同方向上的合力Fx和Fy，然后就可以由F合=Fx?Fy，求合力了。

说明：“分”的目的是为了更方便的“合”

正交分解与常规力的分解的区别：正交分解与力的分解不同的是不是按照力的作用效果分解，而是把力分解

clear clc

s=[0 0 0 0 0 0 35 50 2 40 50 160 75 150 4 80 150 200 115 250 14 180 475 300 150 350 24 280 800 400 250 420 36 565 1600 800 ];

x=input('请输入浓度值：') ];

for i=1:6 for j=1

if x(i)

elseif s(j,i)<=x(i)&&x(i)<=s(j+1,i)

r(j,i)=(s(j+1,i)-x(i))/(s(j+1,i)-s(j,i)) else

r(j,i)=0 end end

for j=2:4

if s(j-1,i)<=x(i)&&x(i)<=s(j,i)

r(j,i)=(x(i)-s(j-1,i))/(s(j,i)-s(j-1,i)) elseif s(j,i)<=x(i)&&x(i)<=s(j+1,i) r(j,i)=(s(j+1,i)-x(i))/(s(j+1,i)-s(j,i)) else

r(j,i)=0 end end for j=5

if x(i)>s(j,i) r(j,