非线性振动方程

《非线性振动》学习报告

2010年3月至6月在北京学习期间，中科院并没有开设相同或者类似的课程，所以我只能以自学的方式完成课程。我每周的学习时间保持在3小时左右，使用的课本是《非线性振动》（刘延柱 陈立群 编），根据绪论的内容，以及今后可能遇到的实际问题，我重点阅读的章节为前四章。本文内容，尤其是前几章的内容，主要以我在看书时的勾画和笔记。本文全部由我自己输入，在完成过程中，没有十分注意排版的问题，所以板式可能比较混乱希望老师谅解。

第一章 非线性振动的定性分析方法 1.1 稳定性理论的基本概念

特定的运动成为系统的未受干扰的运动，简称为稳态运动，而受扰运动则是偏离稳态运动的系统的运动。

李雅普诺夫关于稳定性的定义有：稳定的、渐进稳定、不稳定 李雅普诺夫直接方法的理论基础由三个定理组成：（1）若能够早可谓征订函数V(x)，使得沿扰动方程解曲线计算的全导数V为半负定或等于零，则系统的未扰运动稳定。（2）若能构造可微正定函数V(x)，使得沿扰动方程解曲线计算的全导数V为负定，则系统的未扰运动渐进稳定。（3）若能构造可微正定、半正定函数V(x)，使得沿扰动方程解曲线计算的全导数V为正定，则系统的未扰运动不稳定。

定理：若保守系统的势能在平衡状

基于虚拟仪器的振动测试

第31卷　第6期2007年12月

武汉理工大学学报(与工程版)

JournalofWuhanUniversityofTechnology

(TransportationScience&Engineering)

交通科学

Vol.31　No.6Dec.2007

基于LabVIEW的非线性振动仿真测试平台

林富生

1,2)

*

　黄其柏　詹志刚　孟　光

1)3)4)

(华中科技大学机械科学与工程学院1)　武汉　430074)

(武汉科技学院机电工程学院2)　武汉　430073)(武汉理工大学能源与动力学院3)　武汉　430063)

(上海交通大学机械系统与振动国家重点实验室4)　上海　200240)

摘要:在LabVIEW平台上设计了非线性振动仿真和测试分析系统.系统功能包括常用的时域、频域分析功能,还包括非线性分析所需的相轨图、分叉图、Poincare图、Lyapunov指数等模块.仿真数据可由几种方法生成,既可以在控制面板或在MATLAB节点中输入状态变量表示的函数来生成,也可以选择输入其他仿真程序生成的数据.实际测试时则从工程系统中采集数据.关键词:虚拟仪器;非线性振动;仿真;测试中图法分类号:O329;TP274;TH113.21

0　引　

1.9 Ritz-Galerkin法伽辽金法基本思想：伽辽金法是一种变分方法，亦称 伽辽金法基本思想 里兹(Ritz)平均法。基本思想是假设一含待定系数 的近似解，代入控制方程后产生偏差(残值),为使 偏差最小，用一权函数(变分)乘以该偏差，并使其 在一周期内积分为零。从而得到确定待定系数的代数 方程组，解此方程组求出待定系数，即得所求近似解。

自治系统

+ f ( x ) = 0 x 看成静力平衡方程 表示惯性力 表示转动力和约束反力

ω

为待求的圆频率

+ f ( x ) = 0 x x f (x) 由虚位移原理： 由虚位移原理：

[ + f ( x )] δ x = 0 x

设解

x ( t ) = ∑ ai wi ( t )i =1

N

代入原方程，由于近似解一般不会刚好等于真解， 所以会产生不等于零的残值 N & & R(ai ) = ∑ ai wi + f ∑ ai wi ≠ 0 i =1 i =1 N

近似解的变分δ x = ∑ wi ( t )δ aii =1 N

为使偏差最小，取这个残值与近似解的变分的乘积，在 一周期内积分(也即使偏差在一个周期内平均分布)为零：

∫

T

0

工程机械结构原理、运用与维护

维普资讯

第3 8卷第 7期 20 0 5年 7月

天

津

大

学

学

报

Vo . 8 No 7 13 .

J u n l f i j nv ri o r a a i U ies y o T n n t

非线性振动控制的神经网络离散逆系统方法张强，何玉敖(. 1天津大学建筑工程学院，天津 30 7; . 0 0 2 2中国民航学院交通工程学院天津 3 0 0 ) 03 0,

摘

要：针对非线性结构振动控制难以用线性控制方法精确控制的情况提出神经网络离散逆系统方法 .立了建 结构的离散化模型，用神经网络将非线性系统通过逆系统变换变为伪线性系统对该伪线性系统可以用一般线再,,

性方法精确控制.方法将非线性结构控制问题转化成了线性结构控制问题使问题难度大大减小.某非线性建该对筑结构振动作了控制仿真，现了精确线性化，制效果曲线与对线性结构控制效果曲线几乎完全吻合神经网络 实控,.

离散逆系统方法发挥了神经网络和线性控制各自的优点， -于强非线性结构的振动控制 -￣ . j

.

关键词：非线性结构；振动控制；逆系统方法；精确线性化；神经网络中图分类号：T 3 13 U 1 .文献标志码：A 文章编号：09 1 7 2 0 ) 7 0 1. 5

《 计 算 方 法 》

期 末 论 文

论文题目 非线性方程的数值解法

学 院 专 业 班 级 姓 名 学 号 指 导 教 师 日 期

目 录

摘要 第1 章 绪论

1.1 问题的提出和研究目的和意义 1.2 国内外相关研究综述 1.3 论文的结构与研究方法 第2 章 非线性方程的数值解法 2.1 二分法 2.2 迭代法

2.3 迭代法的局部收敛性及收敛的阶 2.4 牛顿迭代法 2.5 牛顿法的改进 2.6 插值

摘要",

数值计算方法，是一种研究解决数学问题的数值近似解方法，它的计算对象是那些。

在理论上有解而又无法用手工计算的数学问题。在科学研究和工程技术中都要用到各种计算方法。例如",在地质勘探、汽车制造、桥梁设计、天气预报和汉字设计中都有计算方法的踪影。本文讨论了非线性方程的数值解法：非线性方程的二分法、迭代法原理、牛顿迭代法，迭代法的收敛性条件及适合非线性方程的插值法等等。

第1 章 绪论

可以证明插值多项式L (x) n 存在并唯一。拉格朗日插值多项式的算法",step1.输入

计算方法课程实验报告

实验名称 非线性方程求根

班级 教师 动创新13 姓名 封敏丽 赵美玲 地点 学号 201302400104 数学实验中心 序号 评分 一、 实验目的 ① 掌握二分法、牛顿迭代法等常用的非线性方程迭代算法； ② 了解迭代算法的设计原理及初值对收敛性的影响。 二、用文字或图表记录实验过程和结果 题目 求方程f(x)?x3?x2?3x?3?0在1.5 附近的根.（误差限为??1e?6,??1e?9） （1）编程实现二分法，并求解上述非线性方程的根（有根区间自己确定）。 （2）设计弦截法，计算原方程的根。 参考答案 原方程的根为x?1.732051 （1）有根区间取[1.5 2]； 用Matlab进行运算，先编写程序如下： f=input('输入函数f(x)='); qujian=input('输入区间='); err=input('输入误差='); a=qujian(1); b=qujian(2); yc=1; k=0;%计二分法的次数 while((b-a)>err&yc~=0); c=(a+b)/2; x=a;

非线性方程求根 一、证明：对任意初始值01,13x ??∈????，由不动点迭代12k x k x -+=，k=0,1,2,…产生的序

列{}k x 都收敛于方程2x x -=在1,13??????的唯一

根p 。

若要求p 的近似值的误差不超过410-（取初始值023x

=），试估计迭代次数。

解：由()12k x k k x x ?-+==知迭代函数()2x

x ?-= 对[]1/3,1x ∈，有 ()()()[][]1,1/30.5,0.79371/3,1x ???∈=????? 另外有

()1/32ln 22

ln 20.55011x x ?--'=-≤=< 由定理得本题证明部分。

为使解p 的近似值k x 的误差不超过410-，根据误

差估计式：

10,1k k L x p x x L -≤--

令 410101k L x x L --<-，得k 应取为

10

4ln 10ln 111.22ln x x L k L ---->≈

取k=12可使近似解的误差不超过410-

二、证明： 设()x ?在[],a b 上连续可微，且()01x ?'<<，()x x ?=在[],a b 上有根*x ，0[,]x a b ∈，但*0x x ≠，则由

()1,

0,1,2...k k x x k ?+== 产生的迭代序列{}k x 单调收敛于*x 。

证明：因为()x x ?=在[],a b 上有根*x ，故有()**

x

非线性方程的数值解法

第三章 非线性方程(组)的数值解法

一．取步长h=1，试用搜索法确立f(x)=x3 2x 5含正根的区间，然后用二分法求这个正根，使误差小于10 3。 【详解】

由于是要寻找正根，因此，可选含根区间的左端点为0。f(0)= 5，

f(1)= 5，f(2)= 1，f(3)=16，因此，(2,3)中有一个正根。这就确立

了含根区间。

接下来，我们用二分法求这个正根，使误差小于10 3，计算结果如下表 迭代次数

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

ak

bk

xk

2 2 2 2 2.0625 2.0938 2.0938 2.0938 2.0938 2.0938

3 2.5000 2.2500 2.1250 2.1250 2.1250 2.1094 2.1016 2.0977 2.0957

2.5 2.250 0 2.125 0 2.062 5 2.093 8 2.109 4 2.101 6 2.097 7 2.095 7 2.094 7

非线性方程的数值解法

二．对方程f(x)=x2 2sinx 2=0，用二分法求其在区间[1.5,2]内的根，要求误差小于0.01。 【详解】

用二分法求解方程在[1.5,2]内的根，要求误差小于0.01，计算结果如下表

西安财经学院 本 科 实 验 报 告

学 院（ 部 ） 统计学院 实 验 室 数学专业实训基地 课 程 名 称 大学数学实验 学 生 姓 名 董童丹（编程）杨媚（实验报告） 学 号 0804280125 0804280126 专 业 数学与应用数学0801

教务处制

二0一一年五月十五日

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《迭代法求解非线性方程》实验报告

开课实验室：实验室 312 2011年5月15日 学院 统计学院 年级、专业、班 数学与应用数学0801姓名 董童丹 班 课程 名称 大学数学实验 教师 评语 教师签名： 年 月 日 一、实验目的 掌握用fzero和fsolve程序求解方程根的方法，并根据不同的初值，根的近似值和迭代次数 分析不同根的收敛域； 二、实验环境 本次上机实践所使用的平台和相关软件Matlab。 三、实验内容 ＊题目

遗传算法解非线性方程组的Matlab程序

程序用MATLAB语言编写。之所以选择MATLB，是因为它简单，但又功能强大。写1行MATLAB程序，相当于写10行C++程序。在编写算法阶段，最好用MATLAB语言，算法验证以后，要进入工程阶段，再把它翻译成C++语言。 本程序的算法很简单，只具有示意性，不能用于实战。

非线性方程组的实例在函数(2)nonLinearSumError1(x)中，你可以用这个实例做样子构造你自己待解的非线性方程组。

%注意：标准遗传算法的一个重要概念是，染色体是可能解的2进制顺序号，由这个序号在可能解的集合(解空间)中找到可能解

%程序的流程如下：

%程序初始化，随机生成一组可能解(第一批染色体) %1: 由可能解的序号寻找解本身(关键步骤)

%2：把解代入非线性方程计算误差，如果误差符合要求，停止计算 %3：选择最好解对应的最优染色体

%4：保留每次迭代产生的最好的染色体，以防最好染色体丢失

%5: 把保留的最好的染色体holdBestChromosome加入到染色体群中 %6: 为每一条染色体(即可能解的序号)定义一个概率(关键步骤) %7：按照概率筛选染色体(关键步骤) %8：染色体杂交(关键步骤) %9：变异