隐函数参数方程求导例题

大学高等数学(大一)

第 三章

§3.4 隐函数和参数方程求导3. 4. 1 隐函数的导数 3. 4. 2 由参数方程确定的函数的导数 3. 4. 3 相关变化率问题 3. 4. 4 高阶导数机动 目录 上页 下页 返回 结束

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3. 4.1隐函数的微分法1.隐函数的概念

F x, y x 0, x I 成立, 则称 F x, y 0 确定了区间 I 里的一个隐函数 ；称形如 y f x 表示的函数为显函数 。若从方程 F x, y 0 中能求解出函数： y y x 或 x x y 则称该隐函数可以被显化。3 y 1 x ; 就确定了一个显函数 方程 x y 1 0 例如：

设方程 F x, y 0, 若存在函数 y y x , x I 使得

3

但要提请注意的是：并非隐函数均可被显化。 再如：5 7 方程. y 2 y x 3x 0 也确定 y 是 x 的函数 ，

但此隐函数不能被显化 。机动 目录 上页 下页 返回 结束

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2. 隐函数的求导法则 设方程 F x,

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·复习 初等函数的求导法则，基本初等函数的求导公式. ·引入 前面我们所遇到的函数都是y=f(x)的形式，这种函数的求导问题已经解决，下面我们来学习几种特殊的求导法. ·讲解新课

第四节 隐函数的导数、由参数方程确定的函数的导数 一 隐函数的求导法

把一个变量明显是另一个变量的函数，并可以表示为y=f(x)的形式的函数叫做显函数．把一个函数的自变量x和变量y之间的对应关系由一个二元方程F(x,y)=0所确定的函数叫做隐函数．

如4x-5y+8=0，x2+y2=R2，x+y-ey=0都是隐函数． 把隐函数化成显函数的过程叫做隐函数的显化. 如将方程x+y-1=

0化成y=

隐函数的显化有时是有因难的．甚至是不可能的．

如隐函数xy=ex+y3就无法化成显函数．但在实际问题中，常常需要计算隐函数的导数．

求隐函数的导数的方法是将方程两边同时对自变量x求导，把y看成是关于x的函数，把关于y的函数应看成是关于x的复合函数． 例1 求由方程e+xy-e=0所确定的隐函数的导数y'x． y '解：将方程两边同时对x求导，得ey'x+y+xyx=0，解得y

y'x=-y(x+ey≠0). yx+e

dy中允许dx一般地，由方程F(x,y)=0所确定的隐函数

一、一个方程的情形对方程

F ( x, y ) 0

(1)

如能确定一个一元隐函数 y 隐函数的导数. 2 2 如 x y

f ( x) 且隐函数可导,

则可将y看成x的函数,对上式直接求导,可求出

1 0

直接对x求导,利用y为x的函数,可得

x 2 x 2 yy 0 y y' '

但必须先明确两个问题: 1) 在什么条件下,方程(1)可以确定隐函数? 2) 如能确定隐函数,其是否可导?

1. F ( x , y ) 0定理1 设函数F(x,y)在点 P( x0 , y0 )的某邻域内具连续 偏导数,且

F ( x0 , y0 ) 0, Fy ( x0 , y0 ) 0,

则方程F(x,y)=0在( x0 , y0 ) 的某邻域内能唯一确定一个 可导且具连续导数的函数y=f(x),满足 y0 f ( x0 )

Fx dy dx Fy

隐函数的求导公式

隐函数求导公式的推导 求复合函数

F ( x, y) F ( x, f ( x)) 0的全导数,即得

由Fy 连续,且 Fy ( x0 , y0 ) 0 故存在点 ( x0 , y0 ) 的一邻域,使得在其上Fy 0 从而

dy Fx Fy 0 dx

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一、隐函数的导数定义:由方程所确定的函数 y y( x )称为隐函数 .y f ( x ) 形式称为显函数F ( x, y) 0 y f (x)

.

隐函数的显化

问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?

隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导.

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例1 求由方程y 的导数

xy e ex

y

0 所确定的隐函数

dy dx

,

dy dxx 0

.

解

方程两边对

x 求导 ,x

y x

dy dx

ee

e yy

y

dy dx

0

解得 dy dx

dy dx

x

x eex

,

由原方程知

x 0, y 0,

x 0

yy x 0 y 0

x e

1.

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例2 设曲线 C 的方程为 x 3 y 3 3 xy , 求过 C 上3 3 点 ( , )的切线方程 2 2 线通过原点 .x 求导 ,3 x 3 y y 3 y 3 xy 2 2

, 并证明曲线

C 在该点的法

解

方程两边对

y

3 3 ( , ) 2 2

y x2

2

y x

(

3 3 , ) 2 2

1.

所求切线方程为 y 法线

课件

第二节 函数的求导法则一、四则运算求导法则 二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题

第二章

课件

导数概念的回顾f ( x + x ) f ( x ) 1、导数的定义 f ′( x ) = lim 、 x → 0 x2、导数几何意义

f ′( x0 )表示曲线 y = f ( x )在点 M ( x0 , f ( x0 ))处的 切线的斜率。3、求导公式

(C )′ = 0 (sin x )′ = cos x(cos x )′ = sin x2

课件

( x )′ = µx ( µ ∈ R ) .µ 1

µ

( a )′ = a lna.x

x

( e )′ = e .x

x

1 . (log a x )′ = x ln a 1 (ln x )′ = . x3

课件

左右导数f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 + x ) f ( x0 ) = lim ; 1.左导数 左导数: 1.左导数: f ′( x0 ) = xlim x →0 x → x0 x x0 f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 + x ) f ( x0 ) = li

第三节 多元复合函数微分法

第三节 复合函数的微分法一. 复合函数的微分法 dy dy du = 一元复合函数的微分法则--链导法:(1).z = f [ ( x),ψ ( x)]dx du dx

推广

定理1 设 u = (x) 和 v = ψ (x) 都在点x可导,而z=f(u,v)在对应点 (u,v)可微,则复合函数 z = f [ ( x),ψ ( x)] 在点x可导,且 全导数dz f du f dv = + dx u dx v dx

u z v x

(证明略) 注:1.上述定理可推广到所有的多元复合函数.

2. 因为多元复合函数类型复杂,所以不要死记公式,要学会用 复合关系图.

例如: z = f (u , v, w), u = ( x), v = ψ ( x), w = h( x)dz f du f dv f dw = + + dx u dx v dx w dx

z

u v w

x

u z v

x y

(2).z = f [ ( x, y ),ψ ( x, y )]

定理2 设 u = ( x, y ) 和 v = ψ ( x, y ) 都在点(x,y)可偏导,而z=f(u,v) 在对应点(u,

二次求导

【理·2010全国卷一第20题】已知函数f(x)?(x?1)lnx?x?1. （Ⅰ）若xf'(x)?x?ax?1，求a的取值范围； （Ⅱ）证明：(x?1)f(x)?0

先看第一问，首先由f(x)?(x?1)lnx?x?1可知函数f?x?的定义域为?0,???，易得

211f??x??lnx??x?1??1?lnx?

xx则由xf'(x)?x?ax?1可知x?lnx?2??1?2??x?ax?1，化简得 x?xlnx?x2?ax，这时要观察一下这个不等式，显然每一项都有因子x，而x又大于零，所以两边同

乘

1可得lnx?x?a，所以有a?lnx?x，在对g?x??lnx?x求导有 x1g??x???1，即当0＜x＜1时，g??x?＞0，g?x?在区间?0,1?上为增函数；当x?1时，g?x??0；

x当1＜x时，g??x?＜0，g?x?在区间?1,???上为减函数。

所以g?x?在x?1时有最大值，即g?x??lnx?x?g?1???1。又因为a?lnx?x，所以a??1。 应该说第一问难度不算大，大多数同学一般都能做出来。再看第二问。

要证(x?1)f(x)?0，只须证当0＜x?1时，f?x??0；当1＜x时，f?x?＞0即可。

11，但用

Lihai--

2010.03.06 Math School, Sichuan University

大学数学Ⅱ: 微积分(2)

数学学院李海

Cell phone: 13550068363email: alihai@

2010-4-23Mathematics II: Calculus (2)

Lihai--2

2010.03.06 Math School, Sichuan University

由方程确定的函数

Lihai--2010.03.06 Math School, Sichuan University

由方程确定的函数关系

Example0: 很多联系两个变量的函数关系往往由二元方程来确定, 例如:

222x+(y－b)=r

表示一个圆, 当r=C时也可以解出函数关系,如:

在绿色区域:y=b±在红色区域:x= 又如: xy=C表示一对双曲线

.

方程参数的影响

Example0+: 方程参数的赋值范围, 往往影

响函数关系的成立区域. 如果方程为:

e

x

++

C=0 则当参数C<0时, 此方程决定一个实函数:

而当参数数. 若在复数域上建立函数关系C>0时, 此方程不能决定一个实函

, 不受限制

.

Lihai--2010.03.0

* 导数公式：(1) C 0 (C为常数)n n 1 ( x ) nx (n R ) ( 2)

(3) (sin x ) cos x (4) (cos x) sin xx x ( a ) a ln a ( a 0, a 1) ( 5)

(e x ) e x

(6) (log a x ) 1 (ln x ) x

1 ( a 0, a 1) x ln a

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三、导数的运算法则法则1: 两个函数的和(或差)的导数，等于这 两个函数的导数的和(或差),即：

[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x).特别地：

[Cf ( x)] Cf ( x).(C为常数)

动手做一做1. 求下列函数的导数：

y

2 3 xx

3

2

(1) y 3 x 2 2 x ( 2) y 4 log 3 xx

1 y 4 ln 4 x ln 3

( 3) y sin x e

x

y cos x e x1 y 2 2 x cos x 1

(4) y x 0.5 tan x2. 使得函数 y 个？3

2 x 6 x