综合法和分析法

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直接证明与间接证明 2.2.1 综合法与分析法

综合法和分析法

综合法

分析法

定义

利用 已知条件 和某 从要证明的 结论出发 ， 些数 逐步寻求使它成立 充分条件 ，直至最 学 公理 、 定义 、 的 后，把要证明的结论归结 定理 等，经过一 系列的 推理论证 ， 为判定一个明显成立的条 件(已知条件、 最后推导出所要证明 定义、公理 等),这种证 的结论成立，这种证 定理、 明方法叫做综合法 明方法叫做分析法

综合法

分析法

框图 表示(P表示 已知条件 、已有的 定义、公理、定理 等， Q表示所要证明的结论 ) 特点 顺推证法或由因导果法 逆推证法或执果索因法

[例 1] +b+c).

1 2 已知 a, b, c>0.求证： a +b +c ≥ (a +b2+c2)(a 33 3 3

[分析] 不等式中的a,b,c为对称的，所以 从基本的不等式定理入手，先考虑两个正数 的均值定理，再根据不等式的性质推导出证 明的结论.

[证明] ∵a2+b2≥2ab,a>0,b>0, ∴(a2+b2)(a+b)≥2ab(a+b). ∴a3+b3+a2b+ab2≥2ab(a+b)=2a2b+2ab2. ∴a3+b3≥a2b+ab2. 同理：b3+c3≥

§2.2.1综合法与分析法

曹县一中 杨玉啟

一、学习目标

（一）知识与技能目标

1. 了解直接证明的两种基本方法：分析法、综合法 2. 了解综合法和分析法的思维过程和特点

（二）过程与方法目标

1. 通过对实例的分析、归纳与总结的过程，发展学生的理性思维能力。

2. 通过实际演练，使学生体会证明的必要性，并发展他们的分析问题、解决问题的能力。

（三）情感、态度与价值观目标

通过本节课的学习，正确认识综合法和分析法在证明过程中的重要作用，养成勤于观察、认真思考的数学品质和言之有理、论证有据的思维习惯，正确认识与理解综合法和分析法的关系，及辩证分析问题的观点。

二、学习重点、难点

重点：分析法与综合法的思维过程及特点 难点：分析法与综合法的应用

三、学习过程

（一）知识链接

问题1. 由 1+3=4=2 1+3+5=9=3 1+3+5+7=16=4 1+3+5+7+9=25=5 …………….

猜想： 1+3+5+7+…+(2n-1)=n

上面运用的是哪一种推理？结论正确吗？如何验证你的判断

证明不等式的基本方法

一、比较法比较法是证明不等式最基本的方法也是最常用的方法。 ①作差法：a b a b 0,a b a b 0;

a a 当b 0时,a b 1,a b 1; ②作商法： b b

1、作差法作差变形

判断 (与？比较大小)

下结论

2、作商法作商 变形 判定 (与？比较大小) 下结论

例1、求证： x 3 3x2

例2、 已 知 a , b, m 都 是 正 数 ， 并 且 a b, 求 证 ： a m a b m b

例3、 已 知 a , b是 正 数 ， 且 a b, 求 证 ： a b a b ab3 3 2 2

二、综合法与分析法综合法

从已知条件出发,利用定义、定理、公理、 性质等,经过一系列的推理、论证而得出命 题成立,这种证明方法叫做综合 法.由叫顺 推证法或由因导果法 则综合法用框图表示为:P Q1Q1 Q 2Q2 Q3

…

Qn Q

问题： 已知a、b、c > 0,且不全相等，求证 a(b + c )+ b(c + a )+ c(a + b ) > 6abc2 2 2 2 2 2

问题： 已知a1 ,a 2 , a

2．2.1 综合法与分析法

教材分析 《直接证明与间接证明》是在学习了推理方法的基础上学习的，研究的是如何正确利用演绎推理来证明问题．本节课是《直接证明与间接证明》的第一节，主要介绍了两种证明方法的定义和逻辑特点，并引导学生比较两种证明方法的优点，进而灵活选择证明方法，规范证明步骤．本节课的学习需要学生具有一定的认知基础，应尽量选择学生熟悉的例子．

教学目标 1．知识与技能目标

(1)了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法． (2)了解分析法和综合法的思维过程和特点． 2．过程与方法目标

(1)通过对实例的分析、归纳与总结，增强学生的理性思维能力．

(2)通过实际演练，使学生体会证明的必要性，并增强他们分析问题、解决问题的能力． 3．情感、态度及价值观 通过本节课的学习，了解直接证明的两种基本方法，感受逻辑证明在数学及日常生活中的作用，养成言之有理、论之有据的好习惯，提高学生的思维能力．

重点难点

重点：分析法和综合法的思维过程及特点． 难点：分析法和综合法的应用．

教学过程

创设情境、引入新课

提出问题1：前面我们学习了两种重要的推理方法，请同学们回忆，我们学习了什么推理方法，它们各自的特点和作用各是什

不等式证明一（比较法）

比较法是证明不等式的一种最重要最基本的方法。比较法分为：作差法和作商法 一、 作差法w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

若a，b∈R，则： a－b＞0?a＞b；a－b＝0?a＝b；a－b＜0?a＜b 它的三个步骤：作差——变形——判断符号（与零的大小）——结论.

作差法是当要证的不等式两边为代数和形式时，通过作差把定量比较左右的大小转化为定性判定左—右的符号，从而降低了问题的难度。作差是化归，变形是手段，变形的过程是因式分解（和差化积）或配方，把差式变形为若干因子的乘积或若干个完全平方的和，进而判定其符号，得出结论.

例1、求证：x2 + 3 > 3x

证：∵(x2 + 3) ? 3x = x?3x?()?()?3?(x?)? ∴x2 + 3 > 3x

例2、 （课本P22例2）已知a, b, m都是正数，并且a < b，求证：

23223223223?0 4a?ma? b?mb 证：

a?mab(a?m)?a(b?m)m(b?a)??? b?mbb(b?m)b(b?m)∵a,b,m都是正数，并且a 0 , b ? a > 0 ∴

a?mam(b?a)? ?0 即：b?mbb(b?m)

一．判断题

1. 电解分析法是借用外部电源的作用来实现化学反应向着自发方向进行的过程。（ × ） 2. 电解分析是以测量沉积于电极表面的沉积物质量为基础的。 （ √ ） 3. 在电解分析法中，通常的情况下，所施加的外加电压都要小于理论分解电压。（ × ） 4. 电解分析法是以电压为“沉淀剂”的重量分析法。 （ × ） 5. 欲实现电解分析，则要加直流电压于电解池的两个电极上。 （ √ ） 6. 在利用电解分析法对物质进行分析的过程中部需要基准物质和标准溶液。 （ √ ） 7. 电极电位值偏离平衡电位的现象，称为电极的极化现象。一般来说，阳极极化时，其电

极电位更负。 （ × ） 8. 通常情况下，析出金属离子的超电位都较小，可以忽略。 （ √ ） 9. H2和O2在不同电极上的超电位与电极电位有关。 （ × ） 10. 对金属离

【成才之路】2015-2016学年高中数学 2.2.1综合法与分析法练习

新人教A 版选修2-2

一、选择题

1．设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．不确定 [答案] B

[解析] 由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，所以，sin(B ＋C )＝sin 2A ，∴sin A

＝sin 2A ，而sin A >0，∴sin A ＝1，A ＝π2

，所以△ABC 是直角三角形． 2．(2015·长春外国语学校高二期中)若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系是( )

A ．P >Q

B ．P ＝Q

C ．P

D ．由a 的取值确定 [答案] C

[解析] 取a ＝1得P ＝1＋8<4，Q ＝2＋5>4，

∴P

证明如下：要证P

只要证2a ＋7＋2a a ＋7 <2a ＋7＋2 a ＋3 a ＋4 ，

只要证a 2＋7a

只要证0<12，

∵0<12成立，∴P

3．若a 、b 、c ∈R ，且ab ＋bc ＋ca ＝1，则下列不等式成立的是( )

A ．a 2＋b 2＋c 2≥2

B ．(

《运用加、减、乘、除法的知识解决问题》说课稿

一、说教学内容：运用加、减、乘、除法的知识解决问题解决含有三个及以上信息的问题，教学班级是四年级。 二、说学情分析：

之前学生已经具备了利用加、减、乘、除法的知识解决只含有两个信息的问题能力，掌握了利用综合法解决问题的步骤，这为本节课解决含有三个及以上信息的实际问题奠定了基础，解决三个及以上信息的问题关键是要能准确选择判断哪两个信息之间有联系，因此，教学中要重视学生的独立思考和选择信息能力的培养，这对于提高学生的解题有很大的促进作用。

三、说教学目标：

1. 通过具体问题情景，让学生经历用综合法解决问题的模式：收集数学信息—解读信息—判断信息之间联系的过程。

2.能用四个意义分析题中的数量关系，确定解题思路，先算什么，再算什么。提高分析问题、解决问题的能力。

3. 初步建立运用综合法解决问题的模型，培养学生有条理地思考问题的能力。 四、说教学流程 （一）情景引入

在五一节这一天，东东爸爸妈妈带着他到儿童乐园完，一路上遇到了许多数学问题，同学们愿意帮助他吗吗？

（二）课件呈现以下四道铺垫练习： 1、

园内有47位小朋友，又来了26位。

1

2、请同学门看，在儿童乐园的一角，有一位阿姨在卖气

2019-2020学年高中数学 第一章 推理与证明 1.2 综合法与分析法

综合法教案 北师大版选修2-2

一、教学目标：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的基本方法之一：综合法；了解综合法的思考过程、特点。

二、教学重点：了解综合法的思考过程、特点；难点：综合法的思考过程、特点。

三、教学方法：探析归纳，讲练结合

四、 教学过程

（一）、复习：

演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程.数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理.

（二）引入新课

引例：四边形ABCD 是平行四边形，

求证：AB=CD ，BC=DA

证 连结AC ，因为四边形ABCD 是平行四边形,所以AB//CD ，BC//DA

又AC=CA

故 AB=CD ，BC=DA 直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为直接证明，其一般形式为：

本题结论

1234∠=∠∠=∠故，ABC CDA ???所以

在数学证明中，综合法是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，综合法表现为由因导果，它是寻求解题思路的一种基本思考方法，应用十分广泛。

从已知条件出发，以已知定义、公理、定理等为依据,逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法叫做综合法

寻龙点穴和阴阳宅坐山立向综合法

寻龙点穴和阴阳宅坐山立向综合法

风水浅谈：

风水学中的寻龙点穴

古人说：三年寻龙，十年点穴。意思就是说，学会寻龙须要

很长的时间，但要懂得点穴，并且点得准则难上加难，甚至

须要用“十年”时间。但是，若没正确方法，就是用百年时

间，也不能够点中风水穴心聚气的真点，这样一来，寻龙的功夫也白费了。

寻龙点穴法

论龙

龙亦即山脉也.按其所处地貌形态有高岗龙,平岗龙,平洋龙之分.山脉或起或伏,或跃或腾,或盘或距.山脉可以渡海,过湖,穿田,过峡,起伏升空,可以渡海,过江绵延数千公里.

龙或隐或现,或断或续.龙导生气行走,气随龙脉行转.龙长生气亦雄厚,龙短气亦短.所谓“千里来龙,千里结穴;百里来龙, 百里结穴” .是也.

术家按龙脉起伏形成,将山脉综合概括为如下九种:

一回龙

形势盘旋,回首舐尾,如盘蛇,如虎之摆尾.

二腾龙

形势高远,险峻耸立,如腾如跃,如人之奋起.

三降龙

形势耸秀,从天而降,或落于平原,或落于山岗.

四生龙

形势秀美,生动活泼,形态婉转,活灵活现.

五飞龙

形势奋翔,如鹰展翅,腾空而起,飞翔云端.

六卧龙

形势蹲踞,安稳止息,如眠如弓,如虎伏,如象驻.

七隐龙

形势跌宕,脉理隐延,或隐呀藏,或断呀续.

八潜龙

形如潜伏,或潜于水,或沉于田野,蓄势待飞

九游龙