高中数学圆锥曲线知识点归纳总结

高中数学圆锥曲线知识

点总结

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高考数学圆锥曲线部分知识点梳理

一、方程的曲线：

在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。

点与曲线的关系：若曲线C 的方程是f(x,y)=0，则点P 0(x 0,y 0)在曲线C 上?f(x 0,y 0)=0；点P 0(x 0,y 0)不在曲线C 上?f(x 0,y 0)≠0。

两条曲线的交点：若曲线C 1，C 2的方程分别为f 1(x,y)=0,f 2(x,y)=0,则点P 0(x 0,y 0)是C 1，C 2的交点?{

),(0),(002001==y x f y x f 方程组有n 个不同的实数解，两

条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。 二、圆：

1、定义：点集｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径.

2、方程：(1)标准方程：圆心在c(a,b)

《圆锥曲线》知识点小结

一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数（大于|其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意：2a |F1F2|表示椭圆；2a |F1F2|表示线段F1F2；2a |F1F2|没有轨迹； （2

F1F2|）的点的轨迹。

22xy3．常用结论：（1）椭圆 1(a b 0)的两个焦点为F1,F2，过F1的直线交椭圆于A,B两a2b2

点，则 ABF2的周长= （2）设椭圆

x2y2

2 1(a b 0)左、右两个焦点为F1,F2，过F1且垂直于对称轴的直线2ab

交椭圆于P,Q两点，则P,Q的坐标分别是 |

PQ|

二、双曲线：

（1）双曲线的定义：平面内与两个定点F1,F2|迹。

其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。 注意：|

F1F2|PF1| |PF2| 2a与|PF2| |PF1| 2a（2a |F1F2|）表示双曲线的一支。

2a |F1F2|表示两条射线；2a |F1F2|没有轨迹；

（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：

标准方程

中心在原点，焦点在x轴上

中心在原点，焦点在

y轴上

x2y2

1(a 0,b 0) a2b2

y2

.

.

?

2

2

圆锥曲线方程 知识要点

一、椭圆方程及其性质.

PF 1 + PF 2 1. 椭圆的第一定义： PF 1 + PF 2 PF 1 + PF 2

= 2a F 1F 2 方程为椭圆,

= 2a F 1F 2 无轨迹,

= 2a = F 1F 2 以F 1,F 2为端点的线段

椭圆的第二定义：= e ， PF d

其中 F 为椭圆焦点，l 为椭圆准线

点 P 到定点 F 的距离,d 为点 P 到直线 l 的距离

椭圆方程图形特征

x

2 y 2

+ 2 = 1(a > b a

2 b y

B

M (x , y ) 2

0 0

A F

O F A

1

1

2

2

B

1

> 0)

x

y 2 x 2

a 2 +

b 2

= 1(a > b > 0) y

A 2

F

2

M B O

B x

1

2

F

1

A

1

范围 | x |≤ a , | y |≤ b

| x |≤ b , | y |≤ a

顶点 ( ± a , 0 ), ( 0 , ± b )

( ± b ,0 ), ( 0 ,± a )

几 焦点 ( ± c ,0 ) ( 0 ,± c )

何 性 准线

对称性

x = ±

a

2

c

关于 x 轴、 y 轴、原点对称

y = ± a 2

c

关于 x 轴、 y 轴、原点对称

质

长短轴离心率 长轴长 | A

- 1 -

圆锥曲线知识点小结

1.圆锥曲线的两个定义：

（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件

定点F1(?3,0),F2(3,0)，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中，是椭圆的是( ) A．PF B．PF 1?PF2?41?PF2?6C．

D．PF1?PF2PF1?PF2?10222222?12

（2）方程(x?6)?y?(x?6)?y?8表示的曲线是_____ （3）利用第二定义

x2已知点Q(22,0)及抛物线y?42.圆锥曲线的标准方程

上一动点P（x,y）,则y+|PQ|的最小值是___

x2y2（1）已知方程??1表示椭圆，则k的取值范围为____

3?k2?k（2）若x,y?R，且3x2?2y2?6，则x?y的最大值是___，x2?y2的最小值是 x2y25（3）双曲线的离心率等于，且与椭圆??1有公共焦点，则该双曲线的方程_______

942（4）设中心在坐标原点O，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率e则C的方程为_______

3.圆锥曲线焦点位置的判断：

?2的双曲线C过点P(4,?10)，

椭圆：已知方程

x2y2??1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是( )

m?12?m

- 1 -

圆锥曲线知识点小结

1.圆锥曲线的两个定义：

（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件

定点F1(?3,0),F2(3,0)，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中，是椭圆的是( ) A．PF B．PF 1?PF2?41?PF2?6C．

D．PF1?PF2PF1?PF2?10222222?12

（2）方程(x?6)?y?(x?6)?y?8表示的曲线是_____ （3）利用第二定义

x2已知点Q(22,0)及抛物线y?42.圆锥曲线的标准方程

上一动点P（x,y）,则y+|PQ|的最小值是___

x2y2（1）已知方程??1表示椭圆，则k的取值范围为____

3?k2?k（2）若x,y?R，且3x2?2y2?6，则x?y的最大值是___，x2?y2的最小值是 x2y25（3）双曲线的离心率等于，且与椭圆??1有公共焦点，则该双曲线的方程_______

942（4）设中心在坐标原点O，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率e则C的方程为_______

3.圆锥曲线焦点位置的判断：

?2的双曲线C过点P(4,?10)，

椭圆：已知方程

x2y2??1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是( )

m?12?m

高中数学知识点《解析几何》《圆锥曲线》《曲线参数方程》

精选强化试题【39】(含答案考点及解析)

班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________

1.已知圆C经过A（1，1）、B（2，准方程.

【答案】（x+3）+（y+2）=25．

【考点】高中数学知识点》解析几何》圆》圆的标准方程与一般方程 【解析】

试题分析：设圆心坐标为C（a，a+1），根据A、B两点在圆上利用两点的距离公式建立关于a的方程，解出a值,从而算出圆C的圆心和半径，可得圆C的方程. 试题解析：∵圆心在直线x-y+1=0上， ∴设圆心坐标为C（a，a+1）， 根据点A（1，1）和B（2，-2）在圆上， 可得(a?1)+(a+1?1)=(a?2)+(a+1+2)， 解之得a=-3,

∴圆心坐标为C（-3，2）， 半径r=(?3?1)+(?3+1?1)=25, r=5,

∴此圆的标准方程是（x+3）+（y+2）=25． 考点：圆的标准方程.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

）两点，且圆心C在直线l：x-y+1=0上，求圆C的标

2.已知点，关系是（ ） A．相交且过圆心

【答案】B

,，以线段为直径作圆，则直线

C．相切

与圆的位置D

椭 圆

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 6. 7.

xxyyx2y2若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1上，则过P0的椭圆的切线方程是02?02?1.

ababxxyyx2y2若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是02?02?1.

ababx2y2椭圆2?2?1 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点?F1PF2??，则椭圆的焦点角形的面

ab?积为S?F1PF2?b2tan.

2x2y2椭圆2?2?1（a＞b＞0）的焦半径公式：

ab|MF1|?a?ex0,|MF2|?a?ex0(F1(?c,0) , F2(c,0)M(x0,y0)).

8.

9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F

的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.

椭 圆

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 6. 7.

xxyyx2y2若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1上，则过P0的椭圆的切线方程是02?02?1.

ababxxyyx2y2若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是02?02?1.

ababx2y2椭圆2?2?1 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点?F1PF2??，则椭圆的焦点角形的面

ab?积为S?F1PF2?b2tan.

2x2y2椭圆2?2?1（a＞b＞0）的焦半径公式：

ab|MF1|?a?ex0,|MF2|?a?ex0(F1(?c,0) , F2(c,0)M(x0,y0)).

8.

9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F

的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.

§8.圆锥曲线方程 知识要点

一、椭圆方程.

PF1?PF?PF?PF222?2a?F1F2方程为椭圆,?2a?F1F2无轨迹,?2a?F1F2以F1,F2为端点的线段221. 椭圆方程的第一定义：PF1PF1

⑴①椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x轴上：xa?22yb?22?1(a?b?0)22.

.

ii. 中心在原点，焦点在y轴上：yaxb?1(a?b?0)②一般方程：Ax2?By2?1(A?0,B?0).

xa22③椭圆的标准方程：

?yb22?1的参数方程为??x?acos??y?bsin?（一象限?应是属于0????2）.

⑵①顶点：(?a,0)(0,?b)或(0,?a)(?b,0).

②轴：对称轴：x轴，y轴；长轴长2a，短轴长2b. ③焦点：(?c,0)(c,0)或(0,?c)(0,c). ④焦距：F1F2?2c,c?a2?b2. ⑤准线：x??a2c或y??a2c.

⑥离心率：e?⑦焦点半径：

ca(0?e?1).

i. 设P(x0,y0)为椭圆ii.设P(x0,y0)为椭圆

xaxb2222?yb2222?1(a?b?0)上的一点，F1,F?1(a?b?0)上的一点，F1,Fa22为左、右焦点，

§8.圆锥曲线方程 知识要点

一、椭圆方程.

PF1?PF?PF?PF222?2a?F1F2方程为椭圆,?2a?F1F2无轨迹,?2a?F1F2以F1,F2为端点的线段221. 椭圆方程的第一定义：PF1PF1

⑴①椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x轴上：xa?22yb?22?1(a?b?0)22.

.

ii. 中心在原点，焦点在y轴上：yaxb?1(a?b?0)②一般方程：Ax2?By2?1(A?0,B?0).

xa22③椭圆的标准方程：

?yb22?1的参数方程为??x?acos??y?bsin?（一象限?应是属于0????2）.

⑵①顶点：(?a,0)(0,?b)或(0,?a)(?b,0).

②轴：对称轴：x轴，y轴；长轴长2a，短轴长2b. ③焦点：(?c,0)(c,0)或(0,?c)(0,c). ④焦距：F1F2?2c,c?a2?b2. ⑤准线：x??a2c或y??a2c.

⑥离心率：e?⑦焦点半径：

ca(0?e?1).

i. 设P(x0,y0)为椭圆ii.设P(x0,y0)为椭圆

xaxb2222?yb2222?1(a?b?0)上的一点，F1,F?1(a?b?0)上的一点，F1,Fa22为左、右焦点，