三阶非线性极化率

从理论上分析一种由三阶电极化引起的非线性光学现象，并讲述其实际应用

双光子吸收现象

摘要

本文从理论上分析了一种由三阶电极化引起的非线性光学现象—双光子吸收现象，并讲述了其实际应用—飞秒激光微纳加工，双光子吸收起因于介质三阶非线性效应，吸收的光子数与N2(w1,0)成正比，即与入射光强的平方成正比，利用非线性双光子聚合作用可获得远小于衍射极限的加工分辨率。

关键词：三阶电极化 双光子吸收 飞秒激光微纳加工

Abstract

This article analyzed a nonlinear optical phenomenon caused by a three order polarization from theories, this phenomenon is two photon absorption phenomenon. As a practical application, femtosecond laser micromachining was introduced , two photon absorption arises from the medium of three order nonlinear effec

从理论上分析一种由三阶电极化引起的非线性光学现象，并讲述其实际应用

双光子吸收现象

摘要

本文从理论上分析了一种由三阶电极化引起的非线性光学现象—双光子吸收现象，并讲述了其实际应用—飞秒激光微纳加工，双光子吸收起因于介质三阶非线性效应，吸收的光子数与N2(w1,0)成正比，即与入射光强的平方成正比，利用非线性双光子聚合作用可获得远小于衍射极限的加工分辨率。

关键词：三阶电极化 双光子吸收 飞秒激光微纳加工

Abstract

This article analyzed a nonlinear optical phenomenon caused by a three order polarization from theories, this phenomenon is two photon absorption phenomenon. As a practical application, femtosecond laser micromachining was introduced , two photon absorption arises from the medium of three order nonlinear effec

第一章非线性光学极化率的经典描述

1.1 极化率的色散特性

1.2 非线性光学极化率的经典描述

1.3 极化率的一般性质

上面两式中的J和ρ分别为介质中的自由电流密度和自由电荷密度, M为磁化强度, ε0为真空介电常数, μ0为真空磁导率, σ为介质的电导率, P是介质的极化强度。

由于研究的光与物质相互作用主要是电作用, 可以假定介质是非磁性的, 而且无自由电荷, 即M=0, J=0，ρ=0。所以, 上述方程可简化为

光在介质中传播时, 由于光电场的作用, 将产生极化强度。

P = P L + P NL(1.1 -5)

, 当光电场强度很低时, 可以忽略非线性项P

NL

, 这就是通常的线性光学问仅保留线性项P

L

题。当光电场强度较高时, 必须考虑非线性项P NL, 并可以将非线性极化强度写成级数形式:

P NL = P(2) + P(3 )+ …+ P(r) + …(1.1 -6)

E0(r)是光电场中的实振幅大小。极化强度为P(r,t) = P(ω) e-iωt+ P*(ω) e iωt(1.1 -10) P(ω)为频域复振幅。

考虑电场强度和极化强度的真实性

E*(ω) = E(-ω) (1.1 -11)

P*(ω)

第一章非线性光学极化率的经典描述

1.1 极化率的色散特性

1.2 非线性光学极化率的经典描述

1.3 极化率的一般性质

上面两式中的J和ρ分别为介质中的自由电流密度和自由电荷密度, M为磁化强度, ε0为真空介电常数, μ0为真空磁导率, σ为介质的电导率, P是介质的极化强度。

由于研究的光与物质相互作用主要是电作用, 可以假定介质是非磁性的, 而且无自由电荷, 即M=0, J=0，ρ=0。所以, 上述方程可简化为

光在介质中传播时, 由于光电场的作用, 将产生极化强度。

P = P L + P NL(1.1 -5)

, 当光电场强度很低时, 可以忽略非线性项P

NL

, 这就是通常的线性光学问仅保留线性项P

L

题。当光电场强度较高时, 必须考虑非线性项P NL, 并可以将非线性极化强度写成级数形式:

P NL = P(2) + P(3 )+ …+ P(r) + …(1.1 -6)

E0(r)是光电场中的实振幅大小。极化强度为P(r,t) = P(ω) e-iωt+ P*(ω) e iωt(1.1 -10) P(ω)为频域复振幅。

考虑电场强度和极化强度的真实性

E*(ω) = E(-ω) (1.1 -11)

P*(ω)

分数阶非线性系统论文：稳定性PI~α控制器双参数Mittag-Leffler函数估值定理分数阶超混沌Chen系统分数阶统一混沌系统

【提示】本文仅提供摘要、关键词、篇名、目录等题录内容。为中国学术资源库知识代理，不涉版权。作者如有疑义，请联系版权单位或学校。

【摘要】分数阶非线性系统理论对推动现代数学、物理学的进步起到了十分重要的作用，它不仅拓展了经典的整数阶系统理论，而且作为数学工具能够更好地描述大自然中的研究对象。而稳定性是保证系统良好运行的关键问题，因此研究分数阶非线性系统的稳定性问题具有十分重要的理论和实际意义。本文首先对I. Podlubny提出的双参数Mittag-Leffler函数估值定理中的限制条件进行了分析，通过证明得出了该定理部分条件约束范围过宽的结论，因此对双参数Mittag-Leffler函数进行重新定义并推导出改进的双参数Mittag-Leffler函数估值定理。然后提出了一个可适用于一类分数阶非线性系统的稳定性理论，并利用改进的双参数Mittag-Leffler函数估值定理和Gronwall定理进行了证明。其次针对分数阶超混沌Chen系统模型设计了PI~α控制器，将同步误差的比例和积分同时加入控制器中，以实现混沌系

分数阶非线性系统论文：稳定性PI~α控制器双参数Mittag-Leffler函数估值定理分数阶超混沌Chen系统分数阶统一混沌系统

【提示】本文仅提供摘要、关键词、篇名、目录等题录内容。为中国学术资源库知识代理，不涉版权。作者如有疑义，请联系版权单位或学校。

【摘要】分数阶非线性系统理论对推动现代数学、物理学的进步起到了十分重要的作用，它不仅拓展了经典的整数阶系统理论，而且作为数学工具能够更好地描述大自然中的研究对象。而稳定性是保证系统良好运行的关键问题，因此研究分数阶非线性系统的稳定性问题具有十分重要的理论和实际意义。本文首先对I. Podlubny提出的双参数Mittag-Leffler函数估值定理中的限制条件进行了分析，通过证明得出了该定理部分条件约束范围过宽的结论，因此对双参数Mittag-Leffler函数进行重新定义并推导出改进的双参数Mittag-Leffler函数估值定理。然后提出了一个可适用于一类分数阶非线性系统的稳定性理论，并利用改进的双参数Mittag-Leffler函数估值定理和Gronwall定理进行了证明。其次针对分数阶超混沌Chen系统模型设计了PI~α控制器，将同步误差的比例和积分同时加入控制器中，以实现混沌系

篇一：三阶魔方解法说明书

篇二：三阶魔方入门图解教程

三阶魔方新手入门教程

前言

我们常见的魔方是3x3x3的三阶魔方，英文名 Rubik's cube 。是一个正 6 面体，有6种颜色，由26块组成，有8个角块；12个棱块；6个中心块（和中心轴支架相连）见下图：

（图1）

学习魔方首先就要搞清它的以上结构，知道角块只能和角块换位，棱块只能和棱块换位，中心块不能移动。

魔方的标准色：

国际魔方标准色为：上黄－下白，前蓝－后绿，（见图2）注：（这里以白色为底面，因为以后的教程都

面，为了方便教学，请都统一以白色为准）。

左橙－右红。

将以白色为底

（图2）

认识公式

（图3） （图4）

公式说明：实际上就是以上下左右前后的英文的单词的头一个大写字母表示

（图5）

（图6）

（图7）

步骤一、完成一层

（图8）

首先要做的是区分一层和一面：很多初学者对于“一面”与“一层”缺乏清楚的认识，所以在这里特别解释一

下。所谓一层,就是在完成一面(如图2的白色面)的基础上,白色面的四条边,每条边的侧面只有一种颜色,图(2).

如图（1）中心块是蓝色，则它所在面的角和棱全都是蓝色，是图(2)的反方向 图（3）和（4）则是仅仅是一面的状态,而不是一层

!

（1）（2）

（3）（4）

注：图（2）和（4）分

篇一：三阶魔方图解教程

三阶魔方图解教程

一、认识三阶魔方

三阶魔方（三阶，即3X3，每面共9块分三层的魔方），即最常见的魔方。是匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授在1974年发明的。当初他发明魔方，仅仅是作为一种帮助学生增强空间思维能力的教学工具。但要使那些小方块可以随意转动而不散开，不仅是个机械难题，这牵涉到木制的轴心，座和榫头等。直到魔方在手时，他将魔方转了几下后，才发现如何把混乱的颜色方块复原竟是个有趣而且困难的问题。鲁比克就决心大量生产这种玩具。魔方发明后不久就风靡世界。

二、还原步骤

底层小T——中层归位——顶层十字——顶棱大T——顶角到位——顶角归位 1、记忆6面颜色

三阶魔方有6个面，颜色相对固定，一般为白、黄、蓝、绿、红、橙，且白黄相对，蓝绿相对，红橙相对，需要记忆这6个面的相对位置，比如按照我们现在的主流魔方的贴纸的贴法（上黄下白，前蓝后緑，左橙右红）。

注：其实每个面的颜色都是固定的，因为魔方6个面的中心块相对位置是不动的，通过这6块的颜色，在还原过程中也可帮助我们判断每一面的颜色。

2、记忆6面名称，及旋转方向

（1）为了便于后面记忆还原公式，我们还需要了解一下三阶魔方6个面的名称，当我们双手拿着魔方时，通常我们将魔方对着自己的一

篇一：三阶魔方入门转法图解 (初级)

三阶魔方入门转法图解

本文主要是对青年农民和许技江发表的一些教程的总结，也请两位作者指正。

一层转法请参考“青年农民”同志在魔方吧发表的《幼儿级魔方超级菜鸟入门教程（一层）》，链接

地址：http://bbs.mf8.com.cn/viewthread.php?tid=1906&extra=page%3D1

二层、三层转法我是参考许技江的教程总结的。

1. 二层的转法

当底面和第一层转好的时候，就把底面朝下 首先介绍两种转法：

在此层还原过程中会遇到一种比较奇怪的情形，如下图A。可以先把其他的边块拧到中间错误的位置，

把错误边块挤出来，再以正确的方法放回去。可先将「黄-粉红」边块把「红-绿」边块挤出来，如图B。再把「红-绿」移回去，如图C。

四周面中层完成后，可以进入下一阶段。

2. 三层顶面转出十字

这部分的公式只有一个，俗称六步法：如下图。

在完成底面及四周面的底层和中层后，请接着观察面，只要看十字的部分，角的地方不用看。转成“十字”后的图形

3. 三层顶面四角定位

顶面转出十字后，接着我们要处理顶面的角

块，分成两个阶段：

顶面角块的移动：观察四个角

块

各应该所去的位置，利用公式调整。

顶面角块的翻动

：将四个角

块

的顶面颜色都翻上

三阶魔方公式、魔方图解、魔方教程，从零基础到精通！

魔方还原法 Rubic's Cube Solution ————先看理论“ 魔方的还原方法很多

在这里向大家介绍一种比较简单的魔方六面还原方法。这种方法熟练之后可以在大约30秒之内将魔方的六面还原。

在介绍还原法之前，首先说明一下魔方移动的记法。魔方状态图中标有字母“F”的为前面，图后所记载的操作都以这个前面为基准。各个面用以下字母表示：

F：前面 U：上面 D：下面 L：左面 R：右面

H：水平方向的中间层 V：垂直方向的中间层

魔方操作步骤中，单独写一个字母表示将该面顺时针旋转90度，字母后加一个减号表示将该面逆时针旋转90度，字母后加一个数字2表示将该面旋转180度。H的情况下，由上向下看来决定顺逆时针方向；V的情况下，由右向左看来决定顺逆时针方向。例如

U：将上层顺时针旋转90度 L-：将左面逆时针旋转90度

H2：将水平中间层旋转180度

三阶魔方入门的玩法（层先法）复原的基本步骤示意图：

第一步：底棱归位（又称之为 Cross，英文的意思是十字还原，选择白色面做底面，在底层架十字）

第二步：底角归位（就是复原魔方第一层四个角块）。下面是5种