散度和旋度的定义和求法

梯度、散度和旋度——定义及公式

1 哈密顿算子（Hamiltion Operator ）

哈密顿算子本身没有含义，只有作用于后面的量才有实际意义；它是一个微分算子，符号为?。

三维坐标系下，有

=i j k x y z

????++???r r r 或者

(,,)x y z

????=??? 其中,,i j k r r r 分别为xyz 方向上的单位矢量。

2 梯度（Gradient ）

2.1 梯度的定义

梯度是哈密顿算子直接作用于函数f 的结果（f 可以是标量和向量）。

(,,)f f f f f f grad f f i j k x y z x y z

??????=?=++=??????r r r 标量场的梯度是向量，标量场中某一点的梯度指向标量场增长最快的地方，梯度的长度是最大变化率。

2.2 梯度的性质

?c=0

?(RS)= ?R+?S

21()(),0R S R R S S S S

?=?-?≠ [()]()f S f S S '?=?

其中，C 为常数，R 、S 为两个标量场，f 为一连续可微函数。

3 散度（Divergence ）

散度是哈密顿算子与矢量函数f 点积的结果，是一个标量。设矢量函数

=(,,)x y z x y z f f i f j f k

§ 1.7 静电场的散度和旋度

现在，让我们来考虑静电场两个基本的微分方程——散度方程和旋度方程.

1.矢量场的散度和高斯定理（参见教材P848）

在连续可微的矢量场A中，对于包含某一点(x,y,z)的小体积△V，其闭合曲面为S，定义矢量场A通过S的净通量与△V之比

的极限

(1.7-1)

为矢量场 A在该点的散度（divergence of A）

它是一个标量.显然

若则该点散度▽·A ≠ 0，该点就是矢量场A的一个源点

若则该点散度▽·A = 0，该点不是矢量场A的源点

若所有点上均有▽·A = 0，A就称为无散场.

在直角坐标系中

(1.7-2)

▽·A在球坐标和柱坐标系的表达式，见教材P850.

高斯定理（Gauss, Theorem）

对任意闭合曲面S及其包围的体积V，下述积分变换成立：

(1.7-3)

即，矢量场A通过任意闭合曲面S的净通量，等于它在S所包围的体积V内各点散度的积分. 由此可知，若A场通过任何闭合曲面的净通量均为零，它就是无散场，即处处有▽·A = 0. 这意味着，无散场的场线必定是连续而闭合的曲线.

2.电场的散度方程

大家已经知道，电场的高斯定理是个积分方程

(1.7-4)

其中r表示电荷密度分布函数.由高斯积分变换定理(1.7-3) )，(1.7-4

梯度

gradient 设体系中某处的物理参数(如温度、速度、浓度等)为w，在与其垂直距离的dy处该参数为w+dw，则称为该物理参数的梯度，也即该物理参数的变化率。如果参数为速度、浓度或温度，则分别称为速度梯度、浓度梯度或温度梯度。 在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。更严格的说，从欧氏空间Rn到R的函数的梯度是在Rn某一点最佳的线性近似。在这个意义上，梯度是雅戈比矩阵的一个特殊情况。 在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数，或者，对于一个线性函数，也就是线的斜率。 梯度一词有时用于斜度，也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。可以通过取向量梯度和所研究的方向的点积来得到斜度。梯度的数值有时也被成为梯度。 在二元函数的情形，设函数z=f(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点P(x,y)∈D，都可以定出一个向量 (δf/x)*i+(δf/y)*j 这向量称为函数z=f(x,y)在点P(x,y)的梯度，记作gradf(x,y) 类似的对三元函数也可以定义一个：(δf/x)*i+(δf/y)*j+(δf

谈矢量的旋度和保守场

维普讯资htp:t//wwwcq.ipvc.m

o第27卷第 5期 V 0 7 No 5 _2l .丽水院学报学J ORUAL NFOL S IHU IUIN VERS TY I20 0年 5100C月 0 5 t2 0.

谈矢的旋量度保和守场马松(丽水华院学数理学院 .江丽水浙 3 3)0 2 00摘:要个保守场来一说， 对表征这个场的矢量的旋度处 处为零； 之，矢个量的旋度处处为，反零一这场个一定不是保守场。

关键词：矢量；度旋；守场保中图分号类 4:1 O 4 文献识标码： A文章编 号：10 08— 6 4( 5 00 0—5—0 7 9 20 ) 05 22

A s u s o bu h rg Dne re Di c i s n oatt e T niu eg a dt s n a r ieF il f eV r n he tC0 e tv v e do c o

M a Sn h u o a

(g o ee f e tt as d yPi, i Unu v tr,i uZ ea 3g3 , hn0 )C g l h am n ih s ssLi ies Ly is j hn 20 0

1.1 函数定义域

通过介绍函数定义域的类型和求法，以全面认识定义域，深刻理解定义域，正确求函数的定义域。

一、常规型

其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或不等式组）即得原函数的定义域。

注：

1、给定函数时要指明函数的定义域。对于用解析式表示的函数如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的自变量取值的集合，即能使函数式有意义的自变量x的集合称为函数的定义域。

2、求函数的定义域的主要依据是： (1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

类型1、含分式的函数

在求含分式的函数的定义域时，要注意两点：

（1）分式的分母一定不能为0； （2）绝对不能先化简后求函数定义域。 例1、求下列函数的定义域

（1）f(x)

1

x 2

解：要使函数有意义，必须：x 2 0,即x 2. ∴函数f(x)

1

的定义域是： x|x 2 x 2

x2 1

（2）f(x)

x 1

类型2、含偶次根式的函数

（1）求含偶次根式的函数的定义域时，注意偶次根式的被开方数不小于0，通过求不等式来求其定义域；（2）在研究函数时，常常用到区间

好资料大家多多支持

定义域的求法

一、 含分式的函数

在求含分式的函数的定义域时，要注意两点：（1）分式的分母一定不能为0；（2）绝对不能先化简后求函数定义域。

x2 1例1 求函数f(x)={ EMBED Equation.3 |的定义域． x 1

二、 含偶次根式的函数

注意（1）求含偶次根式的函数的定义域时，注意偶次根式的被开方数不小于0，通过求不等式来求其定义域；（2）在研究函数时，常常用到区间的概念，它是数学中常用的术语和符号，注意区间的开闭情况.

例1 求函数y＝（a为不等于0的常数）的定义域.

三、 复合型函数

注意 函数是由一些基本初等函数通过四则运算而得到的，则它的定义域是各基本函数定义域的交集，通过列不等式组来实现.

例1 求函数y＝＋的定义域．

练习

1、求下列函数的定义域。⑴y=

⑵y=

（3）y=

（4）y=

（5）

四、抽象函数

（一）

、已知

其解法是：若

的定义域，求的定义域为

，则

的定义域，

中

，从中解得的取值范围即为 1

好资料大家多多支持

的定义域。

例1. 设函数（1）函数

（2）函数的定义域为，则 的定义域为________。 的定

记得曾经有人问过我，怎么知道一个地方所在的中央经线，以及该中央经线所在的分度带带号是多少。今天就仔细的说一下。

在采用分带的投影坐标系统中，我们最常用的是高斯-克吕格投影，它是由德国数学家、物理学家、天文学家高斯（Carl Friedrich Ｇauss，1777—1855）于十九世纪二十年代拟定，后经德国大地测量学家克吕格（Johannes Kruger，1857～1928）于1912年对投影公式加以补充，所以因此而得名。它是横轴墨卡托投影的一个变种，高斯-克吕格只是它通俗的名称，比较专业的名称叫做横轴等角切椭圆柱投影。

设想用一个圆柱横切于球面上投影带的中央经线，按照投影带中央经线投影为直线且长度不变和赤道投影为直线的条件，将中央经线两侧一定经差范围内的球面正形投影于圆柱面。然后将圆柱面沿过南北极的母线剪开展平，即获高斯—克吕格投影平面。高斯—克吕格投影后，除中央经线和赤道为直线外，其他经线均为对称于中央经线的曲线。高斯-克吕格投影没有角度变形，在长度和面积上变形也很小，中央经线无变形，自中央经线向投影带边缘，变形逐渐增加，变形最大处在投影带内赤道的两端。下图是高斯—克吕格投影方式示意图。

图一 高斯克吕格投影的投影方式

高斯—克吕

记得曾经有人问过我，怎么知道一个地方所在的中央经线，以及该中央经线所在的分度带带号是多少。今天就仔细的说一下。

在采用分带的投影坐标系统中，我们最常用的是高斯-克吕格投影，它是由德国数学家、物理学家、天文学家高斯（Carl Friedrich Ｇauss，1777—1855）于十九世纪二十年代拟定，后经德国大地测量学家克吕格（Johannes Kruger，1857～1928）于1912年对投影公式加以补充，所以因此而得名。它是横轴墨卡托投影的一个变种，高斯-克吕格只是它通俗的名称，比较专业的名称叫做横轴等角切椭圆柱投影。

设想用一个圆柱横切于球面上投影带的中央经线，按照投影带中央经线投影为直线且长度不变和赤道投影为直线的条件，将中央经线两侧一定经差范围内的球面正形投影于圆柱面。然后将圆柱面沿过南北极的母线剪开展平，即获高斯—克吕格投影平面。高斯—克吕格投影后，除中央经线和赤道为直线外，其他经线均为对称于中央经线的曲线。高斯-克吕格投影没有角度变形，在长度和面积上变形也很小，中央经线无变形，自中央经线向投影带边缘，变形逐渐增加，变形最大处在投影带内赤道的两端。下图是高斯—克吕格投影方式示意图。

图一 高斯克吕格投影的投影方式

高斯—克吕

实验三 松散岩石孔隙度、持水度和给水度的测定

一 实验目的及要求 通过本次实验，使学生加深对孔隙度、给水度和持水度概念的理解，掌握室内测定基本方法;

要求学生在实验过程中认真观察和记录，分析本次实验后面的相关问题。 二 测定方法及原理

松散岩石的孔隙度、持水度与给水度测定方法，通常有高柱仪法和加压法，前者适用于砂和

亚砂;后者则用于粘土及亚粘土。

本实验为高柱仪法(图Ⅰ—1)，用以下两种方法均可求得其相应参数。 (一) 直接测定水量法

根据定义，只要测出装入高柱筒中 干试样的体积(V干试样)、试样饱水时所 用水的体积(向供水瓶内加入的水和剩 余水的体积之差)，即： V饱水=V加水―V剩水

和在重力的作用下试样排出水的体 积(V排水)，则试样所保持的水体积(V持水) 为：

V持水=V饱水―V排水

据此，就可求出相应的孔隙度(n)、 图Ⅰ—1高柱仪测定装置 持水度(sr)和给水度(μ)。 1—高柱筒2—橡胶管3—橡皮塞4—金属网

(二) 间接测定水量法 5—调流量管夹6—接水桶7—供水瓶

先将干试样装入高柱筒，并测出干试样体积(V干试样)，倒出干试样，并

第7章 涡度、散度与垂直速度

涡度、散度与垂直速度，是天气分析预报中经常使用的三个物理量。在天气学教科书(例如：朱乾根等，2000)与动力气象学教科书(例如：吕美仲与彭永清，1990)中都有详尽介绍。本章内容，主要取材于朱乾根等的教科书。 §7.1 涡度的表达式

涡度是衡量空气质块转运动强度物理量，单位为1s。根据右手定则，逆时针旋转时为正，顺时针旋转时为负。从动力学角度分析，根据涡度的变化，就可了解气压系统的发生和发展。

更确切地说，我们这里的涡度是指相对涡度，其表达式为：

?i?j??yv?k? ?zw ??V3???xu?w?v??u?w??v?u? ?(?)i?(?)j?(?)k

?y?z?z?y?x?y??? ??i??j??k (7.1.1) ??? 其中V3(?ui?vj?wk)是三维风矢。

虽然涡度是一个矢量，但在天气分析中，一般却只计算它的垂直分量，亦即：相对涡度垂直分量或垂直相对涡度?。?的表达式为： ???v?u?