为什么椭圆周长公式不准确

椭圆周长公式的推导、证明、检验、评价与应用

-----------三探椭圆周长的计算（终结篇）

四川省美姑县中学 周钰承

★ 关键词：椭圆周长，标准公式，近似计算，初等公式。

★ 内容提要：本文搜集了各种椭圆周长公式。无论是标准公式还是近似公式，

本文将对部分公式给予证明，或推导，或否定，或检验、评价与应用，希

望广大读者喜欢。

★ 目录：一、椭圆周长标准公式的推导与椭圆周长准确值的计算 二、两个高精度的椭圆周长初等公式 三、椭圆周长公式集锦与评价

一、椭圆周长的标准公式的推导与椭圆周长精确值的计算

宇宙间宏观物体的运动轨迹大都是椭圆，但其周长不能准确的计算出来。经过数学家的计算与证明，最终得出椭圆周长没有准确的初等公式，但可以用椭圆积分的级数形式表示。下面对椭圆周长的一个标准公式进行证明和计算。

在平面直角坐标系内，椭圆的标准方程是：

xa22?yb22?1，a?0,b?0.

参数方程是： x?acos?,y?bsin?,?0???2?? 函数图像为：

若某条光滑曲线，能用参数方程表示：

x?X?t?，y?Y?t?

??t??，该曲线长度可表示为：

L?22????????X't?Y'tdt

年第刀‘刀

期

数学通报

梅,

,

刀‘刀

办,

,

‘

文

中」的推广是不同的那里相应于三维空间,,

办由此可以验证卫‘

式成立

但

‘

式不成‘

的情形是分别在四面体四个面或其延展面上的四个点共面的条件参考资料刘毅

此例表明本文推广定理的结论不能取的形式即梅耐劳斯定理和塞瓦定理的空间推广,

,

三维空间中塞瓦定理

数学通报

,

定理的结论形式是不尽相同的最后我们指出,

张晗方

定理的高维推广数学通报

,

梅耐劳斯定理的本文推广与

椭圆周长近似公式周祖遣首都师大数学系

设椭圆的长半轴为的理论知,

,

短半轴为

,

由定积分

由椭圆的两个半轴的各种平均值,

和

,

使我们想到它们

椭圆的周长一‘

为

如

关

万

‘丫一“

‘‘‘一“

,

‘

,

,

其中函数表示,

止二二,

训了灭丁丽二是椭圆的离心率

,

‘

,

,

、

、

、

这是第二

一

丽了

可嚓正好与半径为、饭石的圆面,

类椭圆积分

它的被积函数的原函数不能用初等

积分值必须利用近似积分法或展开成,

等等椭圆的面积

无穷级数来求出

也可以由查椭圆积分表得到、

利用级数公式二二、

积相等因而我们有理由相信以不等式中各数。为半径的圆周长丽句及币淤耳甲了武

骊的

都可作为椭圆周长的近似值

为了将这些值与公

一

恤

干二一

几

艺一一一一一蔽一一一一一一

…

丁’

一几‘

山

式

作精确比较

,

下面我们分别将它们按

正整次幂展成幂级数石训了二飞百了

一,

椭圆的焦点弦长公式

F1F2?2ab2222a?ccos?及其应用

在有关椭圆的综合题中，常常遇到椭圆焦点弦的问题，如何解决这类问题呢？首先我们有命题：

若椭圆的焦点弦F1F2所在直线的倾斜角为?，a、b、c分别表示椭圆的长半轴长、

2ab2222短半轴长和焦半距，则有F1F2?a?ccos?。

上面命题的证明很容易得出，在此笔者只谈谈该命题的应用。

例1、已知椭圆的长轴长AB?8，焦距F1F2?42，过椭圆的焦点F1作一直线交椭圆于P、Q两点，设?PF1X??(0????)，当?取什么值时，PQ等于椭圆的短轴长？

分析：由题意可知PQ是椭圆的焦点弦，且a?4，c?22，从而b?22，故由焦

2ab2222点弦长公式F1F2?a?ccos?及题设可得：

2?4?(22)16?8cos?22?42，解得

cos???2?2，即??arccos2?2或??arccos2?2。

例2、在直角坐标系中，已知椭圆E的一个焦点为F（3，1），相应于F的准线为Y轴，

16?直线l通过点F，且倾斜角为，又直线l被椭圆E截得的线段的长度为，求椭圆E的

35方程。

分析：由题意可设椭圆E的方程为

(x?c?3)a22?(y?1)b22?1，又椭圆E相应于F的

椭圆的焦点弦长公式

F1F2?2ab2222a?ccos?及其应用

在有关椭圆的综合题中，常常遇到椭圆焦点弦的问题，如何解决这类问题呢？首先我们有命题：

若椭圆的焦点弦F1F2所在直线的倾斜角为?，a、b、c分别表示椭圆的长半轴长、

2ab2222短半轴长和焦半距，则有F1F2?a?ccos?。

上面命题的证明很容易得出，在此笔者只谈谈该命题的应用。

例1、已知椭圆的长轴长AB?8，焦距F1F2?42，过椭圆的焦点F1作一直线交椭圆于P、Q两点，设?PF1X??(0????)，当?取什么值时，PQ等于椭圆的短轴长？

分析：由题意可知PQ是椭圆的焦点弦，且a?4，c?22，从而b?22，故由焦

2ab2222点弦长公式F1F2?a?ccos?及题设可得：

2?4?(22)16?8cos?22?42，解得

cos???2?2，即??arccos2?2或??arccos2?2。

例2、在直角坐标系中，已知椭圆E的一个焦点为F（3，1），相应于F的准线为Y轴，

16?直线l通过点F，且倾斜角为，又直线l被椭圆E截得的线段的长度为，求椭圆E的

35方程。

分析：由题意可设椭圆E的方程为

(x?c?3)a22?(y?1)b22?1，又椭圆E相应于F的

直线与椭圆的位置关系(2课)_椭圆弦长公式 (1)

椭圆的简单几何性质(三)直线与椭圆的位置关系

直线与椭圆的位置关系(2课)_椭圆弦长公式 (1)

椭圆的简单几何性质(三)前面我们用椭圆方程发现了一些椭圆的 几何性质 , 可以体会到坐标法研究几何图形 的重要作用 , 其实通过坐标法许多几何图形 问题都可以转化为方程知识来处理. 当然具体考虑问题,我们的思维要灵活, 用形直觉,以数解形,数形结合思维这能大大 提高分析问题、解决问题的能力. 本节课 , 我们来学习几个有关直线与椭 圆的综合问题.

直线与椭圆的位置关系(2课)_椭圆弦长公式 (1)

问题1:直线与圆的位置关系有哪几种？

怎么判断它们之间的位置关系？ d=r 几何法： d>r 代数法： <0 =0

d<r

>0

直线与椭圆的位置关系(2课)_椭圆弦长公式 (1)

直线与椭圆的位置关系的判定问题2:椭圆与直线的位置关系？

Ax+By+C=0 代数法 2 2 由方程组： x y 2 1 ----求解直线与二次曲线有 2 a b 2 mx +nx+p=0(m≠ 0) 关问题的通法。

= n2-4mp>0 =0 <0方程组有两解 方程组有一解 方程组无解 两个交点 一个交点 无交

何为算命，为什么有人算的准有人算不准？

作者： 算卦传奇 在古代,这些涉及算卦卜筮的事都要先向易师献上礼金后才气求问天机,如许才不会因求问天机而折福,易师命吃天粮也不会因泄露天机而遭天谴。 可现代人视算卦卜筮如同文娱,到处找人帮算卦,天天闲着没事就卜筮,尤其现在很多社会上的人热衷于网络上的不收费算卦,恨不得遇到什么样的高人都给不收费算算卦。 孰不知就如许将自己的命越算越短,福越卜越薄。 各人牢牢记住知道天机是要支付代价的!命有元辰,卦有卦神,你随意亵渎这些禁忌文化,那末你的命运也该会被亵渎的。

妙手很少不收费帮人算卦,除了让各人知道算卦是要支付代价的,毕竟让你支付金钱好于让你支付福报,也为了让各人知道算卦卜筮是一件很严肃和庄重之事,不要将自己的命给”看贱”了!

你向易师先献润金就代表已经”破财”了,易师给你的趋吉避凶之道才气不会让你折福。

而易师也应该将所得的润金留少许作为自己养身的补贴,剩下应多用于护持三宝回馈社会公益事业为自己广积功德,如许才不至于因泄露天机而遭天谴有损自己福报。 很多伴侣学习法术知识和预先推测运程,为了和

区一小的施工路段在施工过程中，要制造 如图所示的弯形管道，必须先按中心线计算 “展直长度”,再根据比例尺下料，你能计 算图中所示管道的展直长度吗？

(1)半径为R的圆,周长是多少？

C=2πR

.

R

(2)圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧 360°

1°圆心角所对弧长是多少？

1 R 2 R 360 180R 1°

90°圆心角所对的弧长是1°圆心角所对的弧长 的多少倍？ 90 倍90°

R R 1°

90°圆心角所对弧长是多少？

90

R180

R2

n°圆心角所对的弧长是1°圆心角所对的弧长 的多少倍？ n 倍

R

1°

R

n°

n°圆心角所对弧长是多少？

n R 180

若设⊙O半径为R, n°的圆心 角所对的弧长为l,则n R l 180

如图,圆心角为60°的扇形的半径为10cm, 求这个扇形的周长. 分析: 周长C OA OB l AB

B

解：周长 C OA OB l AB

10 10 3 20 3

O

A

制造弯形管道时，要先按中心线计算“展

关于抛物线焦点弦的弦长公式补充

(1)已知：抛物线的方程为

y2?2px(p?0)，过焦点F的弦AB交抛物线于A B两点，

且弦AB的倾斜角为?，求弦AB的长。 解：由题意可设直线AB的方程为y?k(x?p?)(??)将其代入抛物线方程整理得：

224k2x2?(4pk?8p)x?12pk122?0 ，且k?tan?

?pk?2p，

x2设A,B两点的坐标为(x,y),(x,y) 则：x?x2212k21x2?p42

|AB|?1?k2(x1?x2)2?4x1x2?2p(sin?)2

当???2时，斜率不存在，sin??1，|AB|=2p.即为通径

而如果抛物线的焦点位置发生变化，则以上弦长公式成立吗？这只能代表开口向右时的弦长计算公式，其他几种情况不尽相同。 现在我们来探讨这个问题。

(2)已知：抛物线的方程为

x2?2py(p?0)，过焦点的弦AB交抛物线于A,B两点，

直线AB倾斜角为?，求弦AB的长。

解：设A,B的坐标为(故AB的方程为y?x1,y),(x2,y)，斜率为k(k?tan?)，而焦点坐标为(0,)，

12p2p?kx，将其代入抛物线的方程整理得： 22x2?2pkx?p?0,从而x1?x2?2pk,x1x2??p，

22弦长为：|

篇一：动物怎样过冬教学设计

动物怎样过冬

教学目标：

知识与技能：通过学习，学生能够认识季节变化对动物的影响。 过程与方法：通过学习，学生知道动物对环境的适应方式。 情感态度与价值观：体会动物与环境之间的相互关系。

教学重、难点：

重点： 认识季节变化对动物的影响。难点：了解动物对环境的适应方式。

教学准备：多媒体、课件。

教学过程：

一、导入（谈话导入课题）

1、谈话

师：同学们“现在是什么季节？你感觉怎样？”

生：秋天，天气开始凉了。

师：好，那么再过一个月是什么季节呢？感觉天气怎样呢？ 生：（冬天，天气寒冷。）

师：那么，“请大家想一想，冬天人们是怎样过冬的？”

自由回答：穿棉衣、安装取暖设备、常在室内活动、加强锻炼、晚上睡觉加被子等。

2、导入课题：人们有这么多的好办法过冬，那么小动物在寒冷的天气里又是怎样过冬的呢？季节的变化又是怎样影响动物的呢？今天，我们就一起来走进奇妙的动物世界，去研究一下“动物怎样过冬”。

3、板书课题：动物怎样过冬。

二、新授

下面请同学们一起来看一个小视频。看的时候思考问题：“这里面有几种动物？它们是怎样过冬的？”大家边看边记，记时可以用简单的方式去记，比如说青蛙----冬眠，咱们来比一下，看谁记的最多，最准确。准备好了吗？

1、播放视频：动物

为什么读古书？一个是充实精神，一则与传统或个人精神活动之背景有关，第三个方面是找乐趣。不论哪个，略一张望，似有现成的答案，但细细想来，义各不安

随意地、不带目的地读点前人的书，也还是有用的。

□ 刀尔登 | 文

有人说我古书读得多，实在是谬奖。古书只读过一点点，多则远谈不上，至于写些说今道古的文章，不过是觑个空子，蒙一蒙圆家，方家若是见了，准定笑倒。我们这一代人，所谓“老底子”，谁也没有，就是偶承家学的，比起除了旧书旧文一无可见的前人，相去也很远。这差距尤其是在语感上，不过今人接触的知识，远迈古人，所以只要不去写什么旧诗旧文，也没什么可遗憾的。

有这么一个问题：今天的人，为什么还要读古书？这个问题包含许多方面的意思。第一种意思，是读古书有什么用，而这里的“用”，在不同人那里，意义又各不同。我的朋友缪哲，一遇到这种提问，立刻斩钉截铁地说：“没屁用。”不过他一边说没用，一边读旧书，别人听其言观其行，对他的回答，也不怎么信服，说不定还以为他在藏私，好比挖宝的，路人问他在挖什么，他一定说：“废铁，废铁。”

我明白他的意思。一种用处是实际的，比如他研究艺术史，既然曰“史”，古书非读不可，就算不喜欢，捏着