人教版初中数学反证法

反证法（又称背理法）是一种论证方式，他首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），

然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。反证法与归谬法相似，但归谬法不仅包括推理出矛盾结果，也包括推理出不符事实的结果或显然荒谬不可信的结果。

1定义

反证法常称作Reductio ad absurdum，是拉丁语中的“转化为不可能”。

2原理

很多教科书中提到反证法时，只简单地讲了反证法的逻辑原理是逆否命题和原命题的真假性相同。但是实际的操作过程还用到了另一个原理，即：

原命题和原命题的否定是对立的存在：原命题为真，则原命题的否定为假；原命题为假，则原命题的否定为真。这一点可以从集合论的角度理解。

3操作过程

1）原理

若原命题：p≧q为真

先对原命题的结论进行否定，即写出原命题的否定：p≧非q

从这个否定的结论出发，推出矛盾，即命题：非q≧p为假（即存在矛盾） 从而该命题的否定为真：非q≧非p为真

再利用原命题和逆否命题的真假性一致，即原命题：p≧q为真

2）误区

否命题与命题的否定是两个不同的概念

命题的否定只针对原命题的结论进行否定。而否命题同时否定条件和结论： 原命题：p≧q

否命题：非p≧非q 命题的否定：p≧非q

《三角形的中位线》教案

教学目标

1、了解反证法的含义. 2、了解反证法的基本步骤. 3、会利用反证法证明简单命题．

4、了解定理“在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另一”在同一平面内，条也相交“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”.

教学重难点

本节教学的重点是反证法的含义和步骤.

课本“合作学习”要求用两种方法完成平行线的传递性的证明，有较高难度，是本节教学的难点.

教学过程

一、情境导入

故事引入“反证法”：中国古代有一个叫《路边苦李》的故事:王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么？王戎回答说:“树在道边而多子，此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下，果然是苦李.

王戎是怎样知道李子是苦的？他运用了怎样的推理方法？

我们不得不佩服王戎，小小年纪就具备了反证法的思维．反证法是数学中常用的一种方法．人们在探求某一问题的解决方法而正面求解又比较困难时，常常采用从反面考虑的策略，往往能达到柳暗花明又一村的境界．

那么什么叫反证法呢？(板书课题) 二、探究新知 (一)整体感知

在证明一个命题时，人们有时先假设命题不成立，

浅谈反证法在中学数学中的应用

论文摘要： 阐明反证法的定义、逻辑依据、种类、证明的一般步骤、，探索了反证

法在中学数学中的应用。

关 键 词： 反证法 证明 矛盾

Reduction to Absurdity Applied in Mathematics in Middle School

Wu-shilei

Abstract: In this paper, we give the definition ，the logical basis and

species of reduction to absurdity. Besides, we illustrate its procedures and

explore its applications of on mathematics in the middle school.

Key-words: reduction to absurdity proof contradict

一. 引言

有个很著名的“道旁苦李”的故事：从前有个名叫王戎的小孩，一天，他和小朋友发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘，尝了之后才知是苦的，

独有王戎没动，王戎说：“假如李子不苦的话

七、反证法

与前面所讲的方法不同，反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。

反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”。反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假。再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。所以反证法是以逻辑思维

论文提要

反证法是数学中应用广泛的一种重要的间接证明方法，在许多方面都有着不可替代的作用。从最基本的性质定理，到某些难度很大的世界难题都是用反证法来证明的。法国数学家阿达玛说过，“这种证法在于表明，若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾。”这是对反证法精辟的概括。

反证法不仅可以单独使用，也可以结合其他方法一同使用，还可以在论证同一命题时多次使用。它以其独特的思维方式和证明方法对培养学生的逻辑思维和创造性思维有着重大的意义。在现代数学中，反证法已经成为了最有效的解决数学问题的方法之一。本文主要从反证法的概念、依据、使用方法、优点、适合解的题型和应用举例六个方面浅谈反证法。

浅谈反证法在中学数学中的应用

李雪

摘 要：反证法是数学中一种应用广泛的证明方法，在许多方面都有着不可替代的作用。从最基本的性质定理，到某些难度很大的世界难题都是用反证法来证明的。反证法不仅可以单独使用，也可以结合其他方法一同使用，还可以在论证同一命题时多次使用。本文主要从什么是反证法、反证法的依据、如何使用反证法、反证法的优点、反证法适合解的题型和反证法的应用举例六个方面浅谈反证法。

关键词：反证法 证明 矛盾 应用

反证法是一种应用广泛的数学证明方

反证法证明多项式不可约

在有理数域上，直接判别一个多项式是否不可约，是一件及其困难和复杂的事情，此时我们可以利用反证法来判别．

例1 已知p(x)是次数大于零的多项式，若对于任意两个多项式f(x)和

g(x)，由p(x)|f(x)g(x)可以推出p(x)|f(x)或p(x)|g(x)，则p(x)是不可约多

项式．

证明 假设p(x)可约，则必存在次数小于?(p(x))的多项式f(x)与g(x)，使得p(x)?f(x)g(x)，即p(x)|f(x)g(x)，又由已知条件，知p(x)|f(x)，p(x)|g(x)，但?(f(x))??(p(x))，?(g(x))??(p(x))，所以不可能实现，从而p(x)必不为可约多项式．

例2 次数大于1的整系数多项式f(x)对于任意整数的函数值都是素数，则

f(x)为有理数域Q上的不可约多项式．

证明 假设f(x)不是有理数域Q上的不可约多项式，因为?(f(x))?1，所以f(x)在整数环Z上也可约，即有整系数多项式f1(x)与f2(x)，使得

f(x)?f1(x)f2(x)，其中?(fi(x))??(f(x))，i?1,2．

由已知条件知，若a为一个整数，则f(a)为素数，即f(a)?f1(a)f2(a

七、反证法

与前面所讲的方法不同，反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。

反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”。反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假。再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。所以反证法是以逻辑思维

不等式证明一（比较法）

比较法是证明不等式的一种最重要最基本的方法。比较法分为：作差法和作商法 一、 作差法w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

若a，b∈R，则： a－b＞0?a＞b；a－b＝0?a＝b；a－b＜0?a＜b 它的三个步骤：作差——变形——判断符号（与零的大小）——结论.

作差法是当要证的不等式两边为代数和形式时，通过作差把定量比较左右的大小转化为定性判定左—右的符号，从而降低了问题的难度。作差是化归，变形是手段，变形的过程是因式分解（和差化积）或配方，把差式变形为若干因子的乘积或若干个完全平方的和，进而判定其符号，得出结论.

例1、求证：x2 + 3 > 3x

证：∵(x2 + 3) ? 3x = x?3x?()?()?3?(x?)? ∴x2 + 3 > 3x

例2、 （课本P22例2）已知a, b, m都是正数，并且a < b，求证：

23223223223?0 4a?ma? b?mb 证：

a?mab(a?m)?a(b?m)m(b?a)??? b?mbb(b?m)b(b?m)∵a,b,m都是正数，并且a 0 , b ? a > 0 ∴

a?mam(b?a)? ?0 即：b?mbb(b?m)

千古第一定理——勾股定理

在西方，毕达哥拉斯的名字可以说尽人皆知，这主要来自所谓毕达哥拉斯定理，即直角三角形的三条边长度为a、b、c，则

a2+b2=c2

反过来，如果三角形的三条边a，b，c满足

a2+b2=c2

则它是个直角三角形．实际上，早在毕达哥拉斯之前，许多民族已经发现了这个事实，而且巴比伦、埃及、中国、印度等的发现都有真凭实据，有案可查．相反，毕达哥拉斯的著作却什么也没有留传下来，关于他的种种传说都是后人辗转传播的，可以说真伪难辨．这个现象的确不太公平，其所以这样，是因为现代的数学和科学来源于西方，而西方的数学及科学又来源于古希腊，古希腊流传下来的最古老的著作是欧几里得的《几何原本》，而其中许多定理再往前追溯，自然就落在毕达哥拉斯的头上．他常常被推崇为“数论的始祖”，而在他之前的泰勒斯被称为“几何的始祖”，西方的科学史一般就上溯到此为止了．至于希腊科学的起源只是近一二百年才有更深入的研究．因此，毕达哥拉斯定理这个名称一时半会儿改不了．不过，在中国，因为我们的老祖宗也研究过这个问题，因此称为商高定理，而更普遍地则称为勾股定理．

不管怎么说，勾股定理是数学中头一个最伟大的定理，它的重要性怎么说也不为过：

（1）勾股定理是联系数学中最基本也是最原始的

人教版初中数学目录

初一上第一章 有理数

1.1正数和负数 1.2有理数的加减法 1.3有理数的乘除法 1.4有理数的乘方 复习题1 小结

第二章 整式的加减

2.1整式

中考状元对新初三学生建议 2.2整式的加减

信息技术应用 电子表格与数据计算 复习题2 小结

第三章 一元一次方程

3.1从算式到方程

中考状元对新初三学生建议

3.2解一元一次方程（一）——合并同类项与移项

状元分享中学三年学习经

3.3解一元一次方程（二）——去括号与去分母

3.4实际问题与一元一次方程 复习题3 小结

第四章 图形认识初步

4.1多姿多彩的图形 中考状元对新初三学生建议 4.2直线、射线、线段 状元分享中学三年学习经 4.3角

4.4课题学习 设计制作长方体形状的包装纸盒

复习题4 小结

初一下第五章 相交线与平行线

5.1相交线 5.2平行线及其判定 5.3平行线的性质

第六章 平面直角坐标系

6.1平面直角坐标系 6.2坐标方法的简单应用

第七章 三角形

7.1与三角形有关的线段 中考状元对新初三学生建议 7.2与三角形有关的角 状元分享中学三年学习经 7.3多边形及其内角和 7.4课题学习 镶嵌 小结

第八章 二元一次方程组

8.1二元一次方程组